随伴関手(∞圏)

同義語：∞圏の随伴

概要

前提知識: 圏, 随伴関手, ∞-圏, 関手(∞圏), 自然変換(∞圏)

定義

$\mathcal C,\mathcal D$ を準圏で表示した $(\infty,1)$-圏（∞-圏）とする。関手（関手(∞圏)）は単体的集合の写像、自然変換（自然変換(∞圏)）は $\mathcal C\times\Delta^1\to\mathcal D$ という写像であり、すべての高次整合性を含む。$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ は射と高次ホモトピーを記録する写像空間（写像空間(∞圏)）である。右写像空間 $\operatorname{Hom}^R$・左写像空間 $\operatorname{Hom}^L$・円柱モデルのどれで表示してもよく、これらは互いに弱同値である（HTT09 §4.2.1）。

∞圏の随伴

関手 $L:\mathcal C\to\mathcal D$ と $R:\mathcal D\to\mathcal C$ に対し、自然変換 $\eta:1_{\mathcal C}\to RL$ が与えられ、すべての $c,d$ で合成
$$ \operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,d) \xrightarrow{R} \operatorname{Map}_{\mathcal C}(RLc,Rd) \xrightarrow{\eta_c^*} \operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,Rd) $$
が空間の同値となるとき、$L$ は $R$ の左随伴であるといい、$L\dashv R$ と書く。$\eta$ を随伴の単位と呼ぶ。

これは HTT09 §5.2.2 の Definition 5.2.2.7 と Proposition 5.2.2.8 による随伴の特徴づけを定義として採用したもの。各写像空間の間に無関係な同値を選ぶのではなく、自然変換 $\eta$ による整合的な同値を要求する。
同値に、$c,d$ に自然な写像空間の同値
$$\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,d)\simeq\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,Rd)$$
で表せる。自然性は関手∞圏（関手圏(∞圏)）の意味で、すべての高次整合性を含む。

単位からの復元と自然同値による定式化の同値

単位 $\eta$ を与える定義と、$c,d$ に自然な写像空間の同値を与える定式化とが同値であることは、∞圏の米田の補題（米田の補題(∞圏)）による。対応の向きは、自然な同値 $\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,d)\simeq\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,Rd)$ で $d=Lc$ とし恒等射の像を取れば $\eta_c$ が復元され、逆に $\eta$ からは定義の合成で自然な同値が得られる、というものである。両者が同じ概念を定めることの証明は本記事では扱わない。出典は HTT09 §5.2.2。

直感

通常の随伴（随伴関手）は解の集合を自然に翻訳した。∞圏の随伴は解の空間を自然に翻訳し、解同士のホモトピーや高次の対称性も保持する。
従ってホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）で随伴があることは必要条件だが、それだけでは十分でない。$\pi_0$ を取って失われる情報が、随伴の写像空間の条件に現れる。

例

通常の随伴

通常の随伴 $L:A\rightleftarrows B:R$ に脈体を取ると∞圏の随伴になる。Hom集合の自然な全単射は、離散写像空間の自然な同値に対応する。自由群と忘却関手などの古典的な例を含む。

空間の直積と写像空間

固定した空間 $K$ に対し、空間の∞圏（空間の∞圏）$\mathcal S$ では
$$K\times-\dashv\operatorname{Map}_{\mathcal S}(K,-)$$
である。写像空間の自然な同値
$$ \operatorname{Map}_{\mathcal S}(K\times X,Y) \simeq\operatorname{Map}_{\mathcal S} (X,\operatorname{Map}_{\mathcal S}(K,Y)) $$
が随伴を与える。

懸垂とループ

点付き空間の∞圏では、懸垂 $\Sigma X$ を押し出し $*\coprod_X*$、ループ空間 $\Omega Y$ を引き戻し $*\times_Y*$ として定める。これらはホモトピー的な押し出し・引き戻し、すなわち∞圏の余極限（余極限(∞圏)）・極限（極限(∞圏)）である。普遍性から
$$\operatorname{Map}_*(\Sigma X,Y)\simeq\operatorname{Map}_*(X,\Omega Y)$$
となり、$\Sigma\dashv\Omega$ を得る。一般の点付き空間では随伴同値ではない。安定∞圏では懸垂とループが互いに逆の同値になることが、重要な比較点である。HA17 §1.1。

反例：ホモトピー圏上の随伴では足りない

2次元球面のホモトピー型 $X$ と基点を取り、$L:*\to X$、$R:X\to*$ とする。$X$ が連結かつ単連結なので、ホモトピー圏では両者は同値、従って随伴である。
しかし∞圏の随伴には $\operatorname{Map}_X(L*,x)\simeq*$ が必要である。$x=L*$ ではこの写像空間は $\Omega S^2$ であり、ホモトピー群 $\pi_1\cong\mathbb Z$ を持つため可縮でない。従って $L$ は $R$ の∞圏の左随伴ではない。

性質

合成

$L:\mathcal C\rightleftarrows\mathcal D:R$ と $L':\mathcal D\rightleftarrows\mathcal E:R'$ が随伴なら $L'L\dashv RR'$ である。HTT09 §5.2.2 Proposition 5.2.2.6。

写像空間の同値を合成する

自然な同値
$$ \operatorname{Map}_{\mathcal E}(L'Lc,e) \simeq\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,R'e) \simeq\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,RR'e) $$
を合成すれば、合成関手に対する自然な同値を得る。単位は $c\to RLc\to RR'L'Lc$ という合成として構成できる。

左随伴は余極限を保つ

図式 $F:J\to\mathcal C$ が余極限を持つなら、$L(\operatorname{colim}_J F)$ は $LF$ の余極限となる。双対に右随伴は存在する極限を保つ。HTT09 §5.2.3。

普遍性による確認

余極限の普遍性は写像空間の言葉で $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(\operatorname{colim}F,c)\simeq\lim_{j}\operatorname{Map}_{\mathcal C}(Fj,c)$（$c$ について自然。HTT09 §4.2.4）と書ける。任意の $d\in\mathcal D$ に対し
$$ \operatorname{Map}_{\mathcal D}(L(\operatorname{colim}F),d) \simeq\operatorname{Map}_{\mathcal C}(\operatorname{colim}F,Rd) \simeq\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\operatorname{Map}_{\mathcal C}(Fj,Rd) \simeq\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\operatorname{Map}_{\mathcal D}(LFj,d). $$
最後の空間は $LF$ から $d$ への余錐の空間であり、余極限の普遍性を得る。

単位・余単位とHTTの定義

写像空間の同値の逆により、$1_{Rd}$ に対応する射 $\epsilon_d:LRd\to d$ を得る。これらは余単位 $\epsilon:LR\to1_{\mathcal D}$ をなし、$\epsilon L\circ L\eta\simeq1_L$、$R\epsilon\circ\eta R\simeq1_R$ という三角形の整合性を持つ。単に二本のホモトピーを任意に指定することを、随伴全体の定義としない。
HTT09 §5.2.2 の Definition 5.2.2.1 では、$\Delta^1$ 上のファイブレーション $p:\mathcal M\to\Delta^1$ を用いる。ファイバーが端点0で $\mathcal C$、端点1で $\mathcal D$ となり、coCartesianな輸送が $L$、Cartesianな逆向きの輸送が $R$ を表す。同じ $p$ が両方の普遍的な輸送を持つことが随伴になる。上の単位と写像空間による定義との同値は同節の Proposition 5.2.2.8 で保証される。
このファイブレーション表示はモデル比較のための別の定式化であり、本文の主定義をその専門語への参照で代用してはいない。

豊穣圏・モデル圏・安定∞圏への接続

単体的モデル圏の単体的Quillen随伴は、適切な置換後に導来随伴を与える。左側ではcofibrant置換、右側ではfibrant置換を用い、bifibrant部分圏や局所化表示で導来写像空間を比較する。HTT09 §5.2.4 Proposition 5.2.4.6。
豊穣圏の随伴のHom対象の厳密な同型と、∞随伴の写像空間の同値は区別する。一般の基礎圏から、仮定なしに∞随伴を得るわけではない。
安定化では懸垂・ループの随伴が中心的な役割を持つ。ホモロジー代数との比較では、テンソル・Homの導来随伴、導来圏への忘却、写像スペクトルの情報を分けて扱う。HA17 §§1.1, 1.4。