Poisson分布

1。 $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$ なら $G_X(s)=\sum_ke^{-\lambda}\frac{(\lambda s)^k}{k!}=e^{-\lambda}e^{\lambda s}$ である。逆に $[0,1]$ で $G_X(s)=e^{\lambda(s-1)}$ とする。右辺は冪級数 $H(s):=\sum_ke^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}s^k$（収束半径 $\infty$）の和である。$G_X-H$ は収束半径 $1$ 以上の冪級数で、点列 $s_j:=1/(j+1)$（$s_j\ne0$、$s_j\to0$）の上で $0$ になる。冪級数 の命題「中心に近づく点列の上で0になる冪級数」により $G_X-H$ の係数はすべて $0$ であり、$P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ がすべての $k$ で成り立つ。

2。 $k< r$ では $k(k-1)\cdots(k-r+1)=0$、$k\ge r$ では $k(k-1)\cdots(k-r+1)=k!/(k-r)!$ なので、$j=k-r$ とおいて$$E[X(X-1)\cdots(X-r+1)]=\sum_{k\ge r}\frac{k!}{(k-r)!}\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\lambda^r\sum_{j\ge0}e^{-\lambda}\frac{\lambda^j}{j!}=\lambda^r$$である（項はすべて $0$ 以上なので和の順序や添字のずらしは自由にできる）。$r=1$ で $E[X]=\lambda$、$r=2$ で $E[X^2]=E[X(X-1)]+E[X]=\lambda^2+\lambda$ なので $\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\lambda$ である。$\square$

事象 $\{X+Y=n\}$ は互いに交わらない事象 $\{X=j,Y=n-j\}$（$0\le j\le n$）の和集合なので、独立性から $P(X+Y=n)=\sum_{j=0}^nP(X=j)P(Y=n-j)$ である。右辺は 2 つの絶対収束する冪級数 $G_X,G_Y$ の積の $s^n$ の係数であり、$\lvert s\rvert\le1$ では $\sum_j\sum_kP(X=j)P(Y=k)\lvert s\rvert^{j+k}=G_X(\lvert s\rvert)G_Y(\lvert s\rvert)\le1$ なので二重級数 $\sum_{j,k}P(X=j)P(Y=k)s^{j+k}$ は絶対収束し、項をどうまとめても和は変わらない。$j+k=n$ ごとにまとめると $G_X(s)G_Y(s)=\sum_nP(X+Y=n)s^n=G_{X+Y}(s)$ となる。$\square$

有限個の場合。 2 個の場合を示せば帰納法で $n$ 個の場合が従う。$S':=X_1+\cdots+X_{n-1}$ と $X_n$ は独立である。実際 $P(S'=s,X_n=x)$ は、和が $s$ になる $(x_1,\dots,x_{n-1})$ についての $P(X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1},X_n=x)=\prod_{i< n}P(X_i=x_i)\cdot P(X_n=x)$ の和であり、それは $P(S'=s)P(X_n=x)$ に等しい。$X\sim\mathrm{Po}(a)$、$Y\sim\mathrm{Po}(b)$ が独立なら、prop-poi-pgf-product と thm-poi-pgf の 1 により $s\in[0,1]$ で$$G_{X+Y}(s)=e^{a(s-1)}e^{b(s-1)}=e^{(a+b)(s-1)}$$であり、ふたたび thm-poi-pgf の 1 により $X+Y\sim\mathrm{Po}(a+b)$ である。

無限個の場合。 $S_n:=X_1+\cdots+X_n$、$\Lambda_n:=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ とおく。有限個の場合により $S_n\sim\mathrm{Po}(\Lambda_n)$ である。$S_n$ は $n$ について単調に増加して $S$（値 $\infty$ も許す）に収束するので、整数 $k\ge0$ について事象 $\{S_n\le k\}$ は単調に減少し、その共通部分は $\{S\le k\}$ である。確率の連続性により$$P(S\le k)=\lim_{n\to\infty}P(S_n\le k)=\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^ke^{-\Lambda_n}\frac{\Lambda_n^j}{j!}=\sum_{j=0}^ke^{-\lambda}\frac{\lambda^j}{j!}$$である（有限和なので項ごとに $\Lambda_n\to\lambda$ の極限をとった）。$k$ と $k-1$ の差をとると $P(S=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ であり、$k$ について足すと $P(S< \infty)=1$ である。$\square$

1。 $A_+:=\{k:\mu(\{k\})>\nu(\{k\})\}$、$D:=\mu(A_+)-\nu(A_+)$ とする。$\mu,\nu$ の総和はともに $1$ なので $\nu(A_+^c)-\mu(A_+^c)=D$ であり、$\sum_k\lvert\mu(\{k\})-\nu(\{k\})\rvert=D+D=2D$ である。任意の $A$ について、$A\cap A_+$ の点では $\mu>\nu$、$A\setminus A_+$ の点では $\mu\le\nu$ なので $\mu(A)-\nu(A)\le\mu(A\cap A_+)-\nu(A\cap A_+)\le D$ であり、同様に $\nu(A)-\mu(A)\le\nu(A\setminus A_+)-\mu(A\setminus A_+)\le\nu(A_+^c)-\mu(A_+^c)=D$ である。$A=A_+$ で等号が成り立つので $d(\mu,\nu)=D$ である。

2。 $A\subset\mathbb{Z}_{\ge0}$ について、$\{X=Y\}$ の上では $X\in A$ と $Y\in A$ は同じ事象なので$$P(X\in A)-P(Y\in A)=P(X\in A,\ X\ne Y)-P(Y\in A,\ X\ne Y)\le P(X\ne Y)$$である。$X$ と $Y$ を入れ替えても同じなので主張を得る。$\square$

離散確率空間の積の上で、独立な $U\sim\mathrm{Po}(a)$、$V\sim\mathrm{Po}(b-a)$ をとる（独立性(確率論) の定理「積の確率空間の座標は互いに独立」）。thm-poi-sum により $U+V\sim\mathrm{Po}(b)$ であり、$U\ne U+V$ は $V\ge1$ と同じなので、lem-poi-tv の 2 により $d(\mathrm{Po}(a),\mathrm{Po}(b))\le P(V\ge1)=1-e^{-(b-a)}$ である。最後の不等号は $e^{-x}\ge1-x$ による。$\square$

$\lambda_n:=\sum_jp_{n,j}$ とおく。三角不等式、thm-poi-lecam、lem-poi-two により$$d\bigl(\mathcal{L}(S_n),\mathrm{Po}(\lambda)\bigr)\le\sum_jp_{n,j}^2+\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\le\Bigl(\max_jp_{n,j}\Bigr)\lambda_n+\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\to0$$である。$A=\{k\}$ とすれば後半を得る。$p_{n,j}=\lambda/n$ なら $\lambda_n=\lambda$ で、右辺の第 1 項は $n\cdot\lambda^2/n^2=\lambda^2/n$ である。$\square$