クラッチング構成

要点：$[E,u]$ からの写像は、$\pi_0^*E$ と $\pi_\infty^*E$ の上で別々に定めて $|z|=1$ で両立すれば連続に定まる。各ファイバーで線形同型な束写像は束同型である（ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」）。局所自明性は、継ぎ目の近くで片側の自明化をクラッチング関数でずらして作る。

$Y:=X\times[0,1]$ はコンパクト Hausdorff であり、prop-clt-basic の 1 により $G:=[\mathrm{pr}^*E,U]$ は $Y\times S^2$ 上の束である。$i_t\colon X\to Y$、$i_t(x):=(x,t)$ とおくと、同じ命題の 2 により $(i_t\times\mathrm{id})^*G\cong[E,u_t]$（$t=0,1$）である。$(x,z,t)\mapsto(x,t,z)$ は $i_0\times\mathrm{id}$ と $i_1\times\mathrm{id}$ のホモトピーなので、ホモトピー不変性により $[E,u_0]\cong[E,u_1]$ である。$\square$

1：$h_t(x,z):=(x,(1-t)z+t)$ は、$D_0$ が凸で $1$ を含むので $X\times D_0$ の中の写像で、恒等写像と $s\circ\pi_0$ を結ぶホモトピーである。ホモトピー不変性により束同型 $\psi_0\colon F|_{X\times D_0}\to\pi_0^*E$ がある。$s(X)$ の上では両辺とも $E$ なので、$\psi_0$ の制限は $E$ の束自己同型 $c$ であり、$\varphi_0:=(\pi_0^*c)^{-1}\psi_0$ は $s(X)$ の上で恒等写像になる。$D_\infty$ では $k_t(x,z):=(x,\iota((1-t)\iota^{-1}(z)+t))$ が恒等写像と $s\circ\pi_\infty$ を結ぶホモトピーなので、同じようにして $s(X)$ の上で恒等写像になる束同型 $\varphi_\infty\colon F|_{X\times D_\infty}\to\pi_\infty^*E$ を得る。
$u:=\varphi_\infty\varphi_0^{-1}$（$X\times S^1$ への制限）は $\pi^*E$ の束自己同型で、$u(x,1)=\mathrm{id}$ である。$[E,u]\to F$ を $(x,z,v)_0\mapsto\varphi_0^{-1}(x,z,v)$、$(x,z,w)_\infty\mapsto\varphi_\infty^{-1}(x,z,w)$ で定めると、$|z|=1$ で $\varphi_\infty^{-1}(uv)=\varphi_0^{-1}v$ なので両立し、ファイバーごとに線形同型な束写像であるから束同型である。$s(X)$ の上では恒等写像である。
2：prop-clt-basic の 1 により、$\Psi$ の $X\times D_0$ 上への制限は束同型 $\alpha\colon\pi_0^*E\to\pi_0^*E'$、$X\times D_\infty$ 上への制限は束同型 $\beta\colon\pi_\infty^*E\to\pi_\infty^*E'$ と見なせる。$|z|=1$ で $(x,z,v)_0=(x,z,uv)_\infty$ の像を比べると、$(x,z,\alpha v)_0=(x,z,\beta uv)_\infty$ が $[E',u']$ で成り立つので $u'\alpha v=\beta uv$、すなわち $X\times S^1$ の上で
$$ u'=\beta u\alpha^{-1} $$
である。$u(x,1)=u'(x,1)=\mathrm{id}$ なので $\alpha(x,1)=\beta(x,1)=\theta_x$ である。$t\in[0,1]$、$(x,z)\in X\times S^1$ について
$$ \alpha_t(x,z):=\alpha(x,(1-t)z+t),\qquad\beta_t(x,z):=\beta\bigl(x,\iota((1-t)\iota^{-1}(z)+t)\bigr),\qquad U_t:=\beta_tu\alpha_t^{-1} $$
とおくと、$U_t$ は $\pi^*E'$ の束自己同型で $(x,t,z)$ について連続であり、$U_0=u'$、$U_1=\theta u\theta^{-1}$、$U_t(x,1)=\theta_x\theta_x^{-1}=\mathrm{id}$ である。$\square$

thm-clt-represent の 1 により $F\cong[E,u]$ である。位相的K理論 の定理「補束の存在」により束同型 $\theta\colon E\oplus E'\to\varepsilon^N$ がある。prop-clt-basic の 4・3・5 により $F\oplus p^*E'\cong[E,u]\oplus[E',\mathrm{id}]\cong[E\oplus E',u\oplus\mathrm{id}]\cong[\varepsilon^N,\theta(u\oplus\mathrm{id})\theta^{-1}]$ であり、$g:=\theta(u\oplus\mathrm{id})\theta^{-1}$ は正規化されている。$\square$

要点：$\sigma_ng$ は成分ごとの Fejér 平均であり、Fejér 核が原点の近くに集中することと、コンパクト性から来る $y$ について一様な連続性で一様収束が出る。2 は Neumann 級数による。

$(z,a)_0\mapsto(\phi(z),a\,(1,z))$（$z\in D_0$）、$(z,a)_\infty\mapsto(\phi(z),a\,(\iota^{-1}(z),1))$（$z\in D_\infty$）とおく。後者は $\iota^{-1}(\infty)=0$ により $z=\infty$ でも連続である。$|z|=1$ では $(z,a)_0$ と $(z,za)_\infty$ が同一視され、その像は $a(1,z)$ と $za\,(z^{-1},1)=a\,(1,z)$ で一致する。$(1,z)$ も $(\iota^{-1}(z),1)$ も $\phi(z)$ の直線の $0$ でないベクトルなので、この写像はファイバーごとに線形同型な束写像 $[\mathbb{C},z]\to\phi^*\gamma$ であり、束同型である。$\square$

$R_t:=\begin{pmatrix}\cos(\pi t/2)&-\sin(\pi t/2)\\ \sin(\pi t/2)&\cos(\pi t/2)\end{pmatrix}$ とし、$t\in[0,1]$、$z\in S^1$ について
$$ w_t(z):=\begin{pmatrix}z&0\\0&1\end{pmatrix}R_t\begin{pmatrix}z&0\\0&1\end{pmatrix}R_t^{-1} $$
とおく。$w_t(z)$ は可逆行列の積なので可逆で、$(t,z)$ について連続である。$w_0(z)=\mathrm{diag}(z^2,1)$ であり、$R_1\,\mathrm{diag}(z,1)R_1^{-1}=\mathrm{diag}(1,z)$ なので $w_1(z)=\mathrm{diag}(z,z)$ である。thm-clt-homotopy と prop-clt-basic の 3 により $H^2\oplus H^0\cong[\mathbb{C}^2,\mathrm{diag}(z^2,1)]\cong[\mathbb{C}^2,\mathrm{diag}(z,z)]\cong H\oplus H$ である。$K(S^2)$ に移すと $[H]^2+1=2[H]$、すなわち $([H]-1)^2=0$ である。$\square$

$L$ を直線束とする。thm-clt-represent の 1 により、正規化された連続写像 $g\colon S^1\to\mathbb{C}^\times=\mathrm{GL}_1(\mathbb{C})$ で $L\cong[\mathbb{C},g]$ となるものがある。$g_t:=g/|g|^t$（$t\in[0,1]$）は正規化されたクラッチング関数のホモトピーで、$g_1$ は $S^1$ に値をとる。$s\mapsto g_1(e^{2\pi is})$ は $1$ を基点とする $S^1$ のループなので、ある $n\in\mathbb{Z}$ について $s\mapsto e^{2\pi ins}$ と基点を止めてホモトピックである（Hat02 Theorem 1.7、p. 29）。このホモトピーは正規化されたクラッチング関数のホモトピーなので、thm-clt-homotopy により $L\cong[\mathbb{C},z^n]=H^n$ である。
一意性：$H^m\cong H^n$ とする。thm-clt-represent の 2 で $\theta$ は $0$ でない複素数なので $\theta z^m\theta^{-1}=z^m$ であり、$z^n$ と $z^m$ は正規化された $\mathbb{C}^\times$ 値の写像のホモトピー $U_t$ で結ばれる。$U_t/|U_t|$ は $1$ を基点とする $S^1$ のループのホモトピーなので、同じ定理の一意性から $m=n$ である。$\square$