Vivianiの定理

$A(0,3)$、$B(-\sqrt3,0)$、$C(\sqrt3,0)$ とする。$AB=BC=CA=2\sqrt3$ で、三角形 $ABC$ は正三角形、高さ（$A$ から辺 $BC$ までの距離）は $3$ である。3 辺を含む直線の方程式は次のとおりである。

• 辺 $BC$：$y=0$
• 辺 $CA$：$\sqrt3x+y-3=0$（$C(\sqrt3,0)$ と $A(0,3)$ を代入すると $0$ になる）
• 辺 $AB$：$\sqrt3x-y+3=0$（$A(0,3)$ と $B(-\sqrt3,0)$ を代入すると $0$ になる）
  点 $(x_0,y_0)$ から直線 $px+qy+r=0$ までの距離は $\dfrac{\lvert px_0+qy_0+r\rvert}{\sqrt{p^2+q^2}}$ である。どちらの直線でも $\sqrt{p^2+q^2}=\sqrt{3+1}=2$ である。

1. $P(0,1)$ のとき。辺 $BC$ まで $1$、辺 $CA$ まで $\dfrac{\lvert0+1-3\rvert}2=1$、辺 $AB$ まで $\dfrac{\lvert0-1+3\rvert}2=1$ で、和は $1+1+1=3$ である。
2. $P\left(\dfrac12,1\right)$ のとき。辺 $BC$ まで $1$、辺 $CA$ まで
   $$ \frac{\left\lvert\frac{\sqrt3}2+1-3\right\rvert}2=\frac{2-\frac{\sqrt3}2}2=1-\frac{\sqrt3}4 $$
   （$\dfrac{\sqrt3}2<2$ なので絶対値の中は負）、辺 $AB$ まで
   $$ \frac{\left\lvert\frac{\sqrt3}2-1+3\right\rvert}2=\frac{2+\frac{\sqrt3}2}2=1+\frac{\sqrt3}4 $$
   で、和は
   $$ 1+\left(1-\cancel{\frac{\sqrt3}4}\right)+\left(1+\cancel{\frac{\sqrt3}4}\right)=3 $$
   である。
3. 辺 $BC$ の中点 $P(0,0)$ のときも、和は $3$ になる。
   (3) の計算を開く

   辺 $BC$ まで $0$、辺 $CA$ まで $\dfrac{\lvert-3\rvert}2=\dfrac32$、辺 $AB$ まで $\dfrac{\lvert3\rvert}2=\dfrac32$ で、和は $0+\dfrac32+\dfrac32=3$ である。

$A(0,3)$、$B(0,0)$、$C(4,0)$ とする。$a=BC=4$、$b=CA=5$、$c=AB=3$、$S=\dfrac12\cdot4\cdot3=6$ で、$2S=12$ である。辺 $CA$ を含む直線は $3x+4y-12=0$（$\sqrt{3^2+4^2}=5$）、辺 $AB$ は $x=0$、辺 $BC$ は $y=0$ である。
(1) $P(1,1)$ のとき。$d_a=1$、$d_b=\dfrac{\lvert3+4-12\rvert}5=1$、$d_c=1$ で、
$$ a\,d_a+b\,d_b+c\,d_c=4\cdot1+5\cdot1+3\cdot1=12=2S $$
である。3 つの距離がどれも $1$ なので、$P$ は内接円の中心（内心）で、内接円の半径は $1$ である。距離の和は $3$ である。
(2) $P\left(2,\dfrac12\right)$ のとき。$d_a=\dfrac12$、$d_b=\dfrac{\lvert6+2-12\rvert}5=\dfrac45$、$d_c=2$ で、
$$ a\,d_a+b\,d_b+c\,d_c=4\cdot\frac12+5\cdot\frac45+3\cdot2=2+4+6=12=2S $$
である。距離の和は $\dfrac12+\dfrac45+2=\dfrac{33}{10}$ で、(1) の $3$ と違う。

ex-viv-start の三角形の内部の点 $P(x,y)$ で、3 つの距離を絶対値なしで書く。$P$ は辺 $BC$ より上にあるので $d_a=y$ である。$P$ は直線 $CA$ について原点と同じ側にあり、原点で $\sqrt3\cdot0+0-3=-3<0$ なので、$\sqrt3x+y-3<0$ である。よって $d_b=\dfrac{3-\sqrt3x-y}2$ である。同じく原点で $\sqrt3\cdot0-0+3=3>0$ なので $\sqrt3x-y+3>0$ で、$d_c=\dfrac{\sqrt3x-y+3}2$ である。足すと
$$ d_a+d_b+d_c=y+\underbrace{\frac{3-\sqrt3x-y}2+\frac{\sqrt3x-y+3}2}_{\sqrt3x\text{ は打ち消し合い }\frac{6-2y}2=3-y}=y+(3-y)=3 $$
となり、$x$ も $y$ も消える。ex-viv-start の (2) で $\pm\dfrac{\sqrt3}4$ が打ち消し合ったのは、この $\pm\dfrac{\sqrt3}2x$ の打ち消し合いである。

1. 正三角形の内部の点から 3 辺までの距離が $1$、$2$、$3$ であるとき、thm-viv-main により高さは $h=1+2+3=6$ で、1 辺は $a=\dfrac{2h}{\sqrt3}=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$ である。
2. 1 辺 $6$ の正三角形の中心から各辺までの距離（内接円の半径）は $\sqrt3$ で、高さ $3\sqrt3$ の $\dfrac13$ である。
   (2) の計算を開く

   高さは $h=\dfrac{\sqrt3}2\cdot6=3\sqrt3$ である。中心（3 辺から等しい距離にある点）から各辺までの距離は、thm-viv-main により和が $3\sqrt3$ で、3 つが等しいので $\sqrt3$ である。

ex-viv-345 の三角形では $L=5$、$m=3$、$2S=12$ なので、和は $\dfrac{12}5$ 以上 $4$ 以下である。

• 頂点 $B(0,0)$（最も長い辺 $CA$ の向かい）：$d_b=h_b=\dfrac{12}5$、$d_a=d_c=0$ で、和は $\dfrac{12}5$。
• 頂点 $C(4,0)$（最も短い辺 $AB$ の向かい）：$d_c=h_c=4$、$d_a=d_b=0$ で、和は $4$。
• 頂点 $A(0,3)$：$d_a=h_a=3$ で、和は $3$。
  内部の点では、ex-viv-345 で求めた $3$ と $\dfrac{33}{10}$ がこの範囲に入っている。座標で書くと、内部の点 $P(x,y)$ では $d_a=y$、$d_c=x$、$d_b=\dfrac{12-3x-4y}5$ なので
  $$ d_a+d_b+d_c=x+y+\frac{12-3x-4y}5=\frac{2x+y+12}5 $$
  である。

ex-viv-345 の三角形では $h_a=3$、$h_b=\dfrac{12}5$、$h_c=4$ で、重心は $G\left(\dfrac43,1\right)$ である。prf-viv-converse の段 3 の式は
$$ 3+t\left(\frac{3+\frac{12}5+4}3-3\right)=3+t\left(\frac{47}{15}-3\right)=3+\frac{2}{15}t $$
で、$t$ の係数 $\dfrac2{15}$ は $0$ でない。$t=1$ の点 $G$ では和は $\dfrac{47}{15}$ で、頂点 $A$ に近い点ほど $3$ に近い。

ex-viv-start の三角形と、辺 $BC$ の下の点 $P(1,-1)$ をとる。
3 辺までの距離は、辺 $BC$ まで $1$、辺 $CA$ まで $\dfrac{\lvert\sqrt3-1-3\rvert}2=2-\dfrac{\sqrt3}2$、辺 $AB$ まで $\dfrac{\lvert\sqrt3+1+3\rvert}2=2+\dfrac{\sqrt3}2$ である。$P$ は直線 $BC$ に関して $A$ と反対側にあり、直線 $CA$ に関しては $B$ と、直線 $AB$ に関しては $C$ と同じ側にあるので、$\delta_a=-1$、$\delta_b=2-\dfrac{\sqrt3}2$、$\delta_c=2+\dfrac{\sqrt3}2$ である。

4 点 $(0,0)$、$(5,0)$、$(8,4)$、$(3,4)$ を順に結ぶと、4 辺の長さはどれも $5$（たとえば $(5,0)$ と $(8,4)$ の距離は $\sqrt{3^2+4^2}=5$）で、ひし形である。底辺 $5$、高さ $4$ なので $S=20$ で、prop-viv-polygon の値は $\dfrac{2\cdot20}5=8$ である。4 辺を含む直線は $y=0$、$y=4$、$4x-3y=0$、$4x-3y-20=0$ である。

• 点 $(4,2)$：$2+2+\dfrac{\lvert16-6\rvert}5+\dfrac{\lvert16-6-20\rvert}5=2+2+2+2=8$。
  もう 1 つの点 $(2,1)$ での計算を開く

  $1+3+\dfrac{\lvert8-3\rvert}5+\dfrac{\lvert8-3-20\rvert}5=1+3+1+3=8$ である。

  ひし形では、平行な 2 辺までの距離の和が 2 辺の間の幅になる、と見ることもできる。

原点から出発し、長さ $2,1,2,1,2,1$ の辺を、向きを $60^\circ$ ずつ回しながらつなぐと、頂点
$$ (0,0),\ (2,0),\ \left(\frac52,\frac{\sqrt3}2\right),\ \left(\frac32,\frac{3\sqrt3}2\right),\ \left(\frac12,\frac{3\sqrt3}2\right),\ \left(-\frac12,\frac{\sqrt3}2\right) $$
の六角形ができる。内部のどの点でも、6 本までの距離の和は $\dfrac{9\sqrt3}2$ で一定である（辺の長さは等しくないので、prop-viv-polygon は使えない）。

4 点 $(0,0,0)$、$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ を頂点とする四面体は、どの 2 点の距離も $\sqrt2$ なので正四面体である。頂点 $(0,0,0)$ から向かいの面（平面 $x+y+z=2$）までの距離は $\dfrac{\lvert0+0+0-2\rvert}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}3$ で、これが高さ $H$ である（点と平面の距離）。残りの 3 面は $x+y-z=0$、$x-y+z=0$、$-x+y+z=0$ である。

• 中心 $\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)$：4 つの距離はどれも $\dfrac{1}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}6$ で、和は $\dfrac{4\sqrt3}6=\dfrac{2\sqrt3}3$。
• 点 $\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac14\right)$：4 つの距離は $\dfrac{\sqrt3}4$、$\dfrac{\sqrt3}4$、$\dfrac{\sqrt3}{12}$、$\dfrac{\sqrt3}{12}$ で、和は $\dfrac{2\sqrt3}3$。
  中心でない点での計算を開く

  平面 $x+y+z=2$ まで $\dfrac{\frac34}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}4$、$x+y-z=0$ まで $\dfrac{\frac34}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}4$、$x-y+z=0$ と $-x+y+z=0$ まで $\dfrac{\frac14}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{12}$ で、和は $\dfrac{3+3+1+1}{12}\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}3$ である。

  どちらも高さ $H$ に等しい。体積の分割は 四面体の外接球と内接球 で内接球の半径を求めるときにも使う。

4 点 $(0,0)$、$(4,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$ を順に結ぶ四角形は、辺の長さが $4$、$2\sqrt2$、$2$、$2$ で、内角は $90^\circ$、$45^\circ$、$135^\circ$、$90^\circ$ である。辺を含む直線は $y=0$、$x+y-4=0$、$y=2$、$x=0$ である。
点 $(1,1)$ では和は $3+\sqrt2=4.41\ldots$、点 $\left(\dfrac52,\dfrac12\right)$ では和は $\dfrac92+\dfrac{\sqrt2}2=5.20\ldots$ で、一定ではない。