曲率形式

両辺は交代的な 2 形式なので、各点で接空間を張るベクトル場の組で値が一致すればよい。$T_uP$ の元は $A^\#_u+\xi^h$ と書け、水平ベクトル $\xi^h$ は、$\xi^h$ を値にもつ任意のベクトル場の水平成分をとれば水平なベクトル場に延びる。したがって、基本ベクトル場 $A^\#,B^\#$ と水平なベクトル場 $X,Y$ について、次の 3 つの場合を確かめればよい。外微分は $d\omega(\xi,\eta)=\xi(\omega(\eta))-\eta(\omega(\xi))-\omega([\xi,\eta])$ で計算する。
まず補題：$X$ が水平なら $[A^\#,X]$ も水平である。実際、$A^\#$ の流れは $\phi_t=R_{\exp(tA)}$ であり、Lie 括弧は Lie 微分 $[A^\#,X]_u=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}(\phi_{-t})_*X_{\phi_t(u)}$ に等しい（Lie括弧 の命題「Lie 括弧は Lie 微分である」）。接続の条件 $(R_g)_*H=H$ により、右辺の曲線は固定されたベクトル空間 $H_u$ の中を動くので、その微分も $H_u$ に入る。
(1) $A^\#,B^\#$ の場合．$\omega(A^\#)=A$、$\omega(B^\#)=B$ は定数関数であり、主束の接続 の補題「基本ベクトル場と Maurer–Cartan 形式」の 3 により $[A^\#,B^\#]=[A,B]^\#$ なので
$$ d\omega(A^\#,B^\#)+[A,B]=-\omega([A,B]^\#)+[A,B]=0 $$
である。一方、垂直ベクトルの水平成分は $0$ なので $\Omega(A^\#,B^\#)=0$ である。
(2) $A^\#,X$ の場合．$\omega(X)=0$、$\omega(A^\#)=A$ は定数、補題により $\omega([A^\#,X])=0$ なので $d\omega(A^\#,X)=0$ であり、$[\omega(A^\#),\omega(X)]=[A,0]=0$ である。一方 $\Omega(A^\#,X)=d\omega(0,X)=0$ である。
(3) $X,Y$ の場合．$\omega(X)=\omega(Y)=0$ なので右辺は $d\omega(X,Y)$ であり、$X^h=X$、$Y^h=Y$ なので $\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y)$ に等しい。さらに $d\omega(X,Y)=-\omega([X,Y])$ である。$\square$

要点：$R_g$ は水平分布を保つので水平成分をとる操作と可換であり、$\omega$ の同変性がそのまま $\Omega$ に移る。あとはテンソル的形式と同伴束に値をもつ形式の対応を使う。

構造方程式を微分する。$d\circ d=0$ と括弧の Leibniz 則により
$$ d\Omega=\tfrac12\bigl([d\omega\wedge\omega]-[\omega\wedge d\omega]\bigr)=[d\omega\wedge\omega] $$
である（$d\omega$ は 2 形式、$\omega$ は 1 形式なので $[\omega\wedge d\omega]=-(-1)^{2}[d\omega\wedge\omega]=-[d\omega\wedge\omega]$）。$[d\omega\wedge\omega]$ を水平ベクトル $\xi_0^h,\xi_1^h,\xi_2^h$ で評価すると、各項は $\omega(\xi_i^h)=0$ を因子に含むので $0$ である。よって $D\Omega=0$ である。
次に構造方程式 $d\omega=\Omega-\tfrac12[\omega\wedge\omega]$ を代入すると
$$ d\Omega=[\Omega\wedge\omega]-\tfrac12\bigl[\,[\omega\wedge\omega]\wedge\omega\bigr] $$
である。基底 $X_a$ で $\omega=\sum\omega^aX_a$ と書くと $\bigl[\,[\omega\wedge\omega]\wedge\omega\bigr]=\sum_{a,b,c}\omega^a\wedge\omega^b\wedge\omega^c\,[\,[X_a,X_b],X_c]$ で、$\omega^a\wedge\omega^b\wedge\omega^c$ は巡回置換で変わらないので、和は $\tfrac13\sum\omega^a\wedge\omega^b\wedge\omega^c\bigl([\,[X_a,X_b],X_c]+[\,[X_b,X_c],X_a]+[\,[X_c,X_a],X_b]\bigr)$ に等しく、Jacobi の恒等式により $0$ である。よって $d\Omega=[\Omega\wedge\omega]$ である。
局所形は $s_\alpha^*$ で引き戻して $dF_\alpha=[F_\alpha\wedge A_\alpha]$ を得、$[A_\alpha\wedge F_\alpha]=-(-1)^{1\cdot2}[F_\alpha\wedge A_\alpha]=-[F_\alpha\wedge A_\alpha]$ を使えばよい。行列 Lie 群では $[F\wedge A]=F\wedge A-A\wedge F$ である。$\square$

要点：$\nabla$ の接続行列は $\rho_*(A_\alpha)$ で、$\rho_*$ は Lie 環の準同型なので $\rho_*(\tfrac12[A\wedge A])=\rho_*(A)\wedge\rho_*(A)$ となる。

1 ⇔ 2．水平なベクトル場 $X,Y$ について、構造方程式により $\omega([X,Y])=-\Omega(X,Y)$ である。したがって $H$ が包合的であることと、$\Omega$ が $H\times H$ の上で $0$ であることは同値であり、$\Omega$ は水平なので後者は $\Omega=0$ と同値である。
2 ⇒ 3．Frobenius の定理（Frobeniusの定理、Lee13 Theorem 19.12）により、$u\in P$ を通る $H$ の積分多様体 $N$ が、平板座標の切り口として局所的に埋め込まれた部分多様体としてとれる。$T_uP=V_u\oplus H_u$ で $V_u=\ker dp_u$ なので、$dp_u\colon T_uN=H_u\to T_{p(u)}M$ は同型である。逆関数定理により、$p|_N$ は $u$ の近傍から $p(u)$ の開近傍 $U$ への微分同相を与え、その逆 $s\colon U\to N\subset P$ は $C^\infty$ な局所切断である。$ds(T_xM)\subset TN=H$ なので $s^*\omega=0$ である。
3 ⇒ 4．3 の切断 $s_\alpha$ で $M$ を覆う。$s_\beta=s_\alpha g_{\alpha\beta}$ のとき、局所接続形式の変換則（主束の接続 の定理「局所接続形式の変換則と貼り合わせ」の 2）から
$$ 0=s_\beta^*\omega=\mathrm{Ad}(g_{\alpha\beta}^{-1})\cdot0+g_{\alpha\beta}^*\theta $$
であり、$\theta_g\colon T_gG\to\mathfrak g$ は同型なので $dg_{\alpha\beta}=0$、すなわち $g_{\alpha\beta}$ は局所定数である。
4 ⇒ 1．$A_\alpha=s_\alpha^*\omega=0$ なので、prop-cf-curvature-2form の 2 により $F_\alpha=s_\alpha^*\Omega=0$ である。$\Omega$ はテンソル的なので $p^{-1}(U_\alpha)$ 上で成分 $F_\alpha$ から決まり（主束の接続 の命題「テンソル的形式と同伴束に値をもつ形式」）、$\Omega=0$ である。
最後の主張：平坦なら 4 の族がとれる。逆に変換関数 $g_{\alpha\beta}$ が局所定数なら、$g_{\alpha\beta}^*\theta=0$ なので $A_\alpha:=0$ の族は変換則を満たし、主束の接続 の同じ定理の 3 により $s_\alpha^*\omega=0$ となる接続形式 $\omega$ がある。これは 4 ⇒ 1 により平坦である。$\square$

thm-cf-flat の 4 の族 $\{(U_\alpha,s_\alpha)\}$ をとる。$G^\delta$ を離散位相を入れた $G$ とし、$\bigsqcup_\alpha U_\alpha\times G^\delta$ に $(\beta,x,h)\sim(\alpha,x,g_{\alpha\beta}(x)h)$ で同値関係を入れた商空間を $P^\delta$、射影を $\pi[\alpha,x,h]:=x$ とする（コサイクル条件から同値関係である）。$g_{\alpha\beta}$ は局所定数なので $h\mapsto g_{\alpha\beta}(x)h$ は $(U_\alpha\cap U_\beta)\times G^\delta$ の同相写像を与え、主束 の補題「貼り合わせ」の証明の位相に関する部分と同じ議論により、$\Phi_\alpha\colon U_\alpha\times G^\delta\to\pi^{-1}(U_\alpha)$、$(x,h)\mapsto[\alpha,x,h]$ は開集合の上への同相写像である。$U_\alpha$ を連結にとっておけば、$\pi^{-1}(U_\alpha)$ は $U_\alpha$ と同相な開集合 $\Phi_\alpha(U_\alpha\times\{h\})$（$h\in G$）の非交和なので、$\pi$ は被覆写像である（被覆空間）。
$M$ は多様体なので弧状連結かつ局所弧状連結で、単連結である。持ち上げの判定法（Hat02 Proposition 1.33）により、恒等写像 $M\to M$ は $\pi$ に沿って連続写像 $\sigma\colon M\to P^\delta$ に持ち上がる。$U_\alpha$ 上で $\sigma(x)=[\alpha,x,k_\alpha(x)]$ と書くと、$k_\alpha\colon U_\alpha\to G^\delta$ は連続、すなわち局所定数であり、$[\beta,x,k_\beta(x)]=[\alpha,x,g_{\alpha\beta}(x)k_\beta(x)]$ から
$$ k_\alpha=g_{\alpha\beta}\,k_\beta\qquad(U_\alpha\cap U_\beta\text{ 上}) $$
である。そこで $U_\alpha$ 上で $s(x):=s_\alpha(x)k_\alpha(x)$ とおくと、$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $s_\beta k_\beta=s_\alpha g_{\alpha\beta}k_\beta=s_\alpha k_\alpha$ なので $s$ は大域的な $C^\infty$ 切断である。変換則により $s^*\omega=\mathrm{Ad}(k_\alpha^{-1})s_\alpha^*\omega+k_\alpha^*\theta=0$ である（$k_\alpha$ は局所定数なので $k_\alpha^*\theta=0$）。主束 の命題「主束の基本性質」の 1 により $(x,g)\mapsto s(x)g$ は同型であり、主束の接続 の定理「局所接続形式の変換則と貼り合わせ」の 1 により、この同型で $\omega$ を引き戻したものは $\mathrm{Ad}(g^{-1})\cdot0+\mathrm{pr}_2^*\theta=\mathrm{pr}_2^*\theta$ である。$\square$