Kolmogorov–Riesz–Fréchetの定理

$M:=\sup_{f\in\mathcal F}\|f\|_p$ と置き、$\varepsilon>0$ とする。(B) の $\delta$ をとり、自然数 $m$ を $a:=2R/m$ が $a\sqrt N<\delta$ を満たすように選ぶ。$K$ を一辺 $a$ の半開の立方体 $Q_1,\dots,Q_{m^N}$（各座標で $[-R+ka,-R+(k+1)a)$、$0\le k< m$ の積）に分け、
$$ Pf:=\sum_{i=1}^{m^N}\Bigl(\frac1{a^N}\int_{Q_i}f(z)\,dz\Bigr)\mathbf 1_{Q_i} $$
と置く。$Pf$ は $f|_K$ だけで決まり、有限次元の空間 $V:=\operatorname{span}\{\mathbf 1_{Q_i}\}\subset L^p(K)$ に入る。
$P$ の有界性。$x\in Q_i$ について、確率測度 $a^{-N}dz$ についての Hölder の不等式から $|Pf(x)|^p\le a^{-N}\int_{Q_i}|f(z)|^p\,dz$ である。$Q_i$ の上で積分して足すと $\|Pf\|_{L^p(K)}\le\|f\|_{L^p(K)}\le M$ である。
$f$ と $Pf$ の差。$x\in Q_i$ なら $f(x)-Pf(x)=a^{-N}\int_{Q_i}(f(x)-f(z))\,dz$ なので、同じ Hölder の不等式から
$$ |f(x)-Pf(x)|^p\le\frac1{a^N}\int_{Q_i}|f(x)-f(z)|^p\,dz\le\frac1{a^N}\int_D|f(x+h)-f(x)|^p\,dh $$
である。ここで $z=x+h$ と置換し、$x,z\in Q_i$ なら $h=z-x$ が $D:=(-a,a)^N$ に入ることを使った。$x\in Q_i$ について積分して $i$ について足し、Tonelli の定理で積分の順序を交換すると
$$ \|f-Pf\|_{L^p(K)}^p\le\frac1{a^N}\int_D\int_{\mathbb{R}^N}|f(x+h)-f(x)|^p\,dx\,dh=\frac1{a^N}\int_D\|\tau_hf-f\|_p^p\,dh $$
である。$h\in D$ なら $|h|< a\sqrt N<\delta$ なので $\|\tau_hf-f\|_p<\varepsilon$ であり、$|D|=(2a)^N$ だから $\|f-Pf\|_{L^p(K)}\le2^{N/p}\varepsilon$ がすべての $f\in\mathcal F$ で成り立つ。
結論。$P(\mathcal F)$ は有限次元のノルム空間 $V$ の有界集合なので全有界である（有限次元のノルムはすべて同値で、全有界 の記事の例「Euclid空間の有界集合」による）。$V$ の有限個の点 $v_1,\dots,v_k$ で、$P(\mathcal F)$ が半径 $\varepsilon$ の球 $B(v_j,\varepsilon)$ の和に含まれるものをとる。$f\in\mathcal F$ について $\|Pf-v_j\|<\varepsilon$ となる $j$ を選ぶと、$\|f|_K-v_j\|_{L^p(K)}\le2^{N/p}\varepsilon+\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので、$\mathcal F|_K$ は全有界である。$\square$

十分性。(A)(B)(C) を仮定し、$\varepsilon>0$ とする。(C) の有界集合 $\Omega$ を含む立方体 $K=[-R,R)^N$ をとると、すべての $f\in\mathcal F$ で $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^N\setminus K)}<\varepsilon$ である。lem-krf-cube により、$g_1,\dots,g_k\in L^p(K)$ で、各 $f\in\mathcal F$ に $\|f|_K-g_j\|_{L^p(K)}<\varepsilon$ となる $j$ があるものがとれる。$g_j$ を $K$ の外で $0$ として延ばした関数を $\bar g_j$ とすると
$$ \|f-\bar g_j\|_p^p=\|f|_K-g_j\|_{L^p(K)}^p+\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^N\setminus K)}^p<2\varepsilon^p $$
である。よって $\mathcal F$ は全有界であり、$L^p(\mathbb{R}^N)$ の完備性から相対コンパクトである。
必要性。$\mathcal F$ が相対コンパクトなら全有界である。(A)：半径 $1$ の球の有限個 $B(g_j,1)$ で覆えば $\|f\|_p<1+\max_j\|g_j\|_p$ である。(B)：$\varepsilon>0$ に対し、$\mathcal F$ を半径 $\varepsilon/3$ の球 $B(g_j,\varepsilon/3)$（$j=1,\dots,k$）で覆う。1 つの関数についての平行移動の連続性から、$|h|<\delta_j$ で $\|\tau_hg_j-g_j\|_p<\varepsilon/3$ となる $\delta_j>0$ があり、$\delta:=\min_j\delta_j$ とする。$f\in B(g_j,\varepsilon/3)$ と $|h|<\delta$ について
$$ \|\tau_hf-f\|_p\le\|\tau_h(f-g_j)\|_p+\|\tau_hg_j-g_j\|_p+\|g_j-f\|_p<\varepsilon $$
である。(C)：同じ被覆をとり、各 $g_j$ について $\|g_j\|_{L^p(\{|x|>R_j\})}<\varepsilon/3$ となる $R_j$ をとる。$\Omega:=\overline B(0,\max_jR_j)$ とすれば、$f\in B(g_j,\varepsilon/3)$ について $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^N\setminus\Omega)}\le\|f-g_j\|_p+\|g_j\|_{L^p(\mathbb{R}^N\setminus\Omega)}<\varepsilon$ である。$\square$

$M:=\sup_{f\in\mathcal F}\|f\|_p$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。$\rho>0$ を、$|h|<\rho$ なら $\mathcal F$ 全体で $\|\tau_hf-f\|_p<\varepsilon$ となるように選ぶ。中心 $0$、半径 $\rho$ の球を $B_\rho$ とし、球の上の平均
$$ A f(x):=\frac1{|B_\rho|}\int_{B_\rho}f(x+h)\,dh $$
を考える。Hölder の不等式から、すべての $x$ で $|Af(x)|\le|B_\rho|^{-1/p}\|f\|_p\le|B_\rho|^{-1/p}M$ である。また prf-krf-cube と同じく、確率測度 $|B_\rho|^{-1}dh$ についての Hölder の不等式と Tonelli の定理から
$$ \|Af-f\|_p^p\le\frac1{|B_\rho|}\int_{B_\rho}\|\tau_hf-f\|_p^p\,dh<\varepsilon^p $$
である。$|\Omega|<\infty$ なので、$R\to\infty$ のとき $|\Omega\setminus[-R,R)^N|\to0$ である（測度の上からの連続性）。$|B_\rho|^{-1/p}M\,|\Omega\setminus K|^{1/p}<\varepsilon$ となる立方体 $K=[-R,R)^N$ をとると、すべての $f\in\mathcal F$ で
$$ \|f\|_{L^p(\Omega\setminus K)}\le\|f-Af\|_p+\|Af\|_{L^p(\Omega\setminus K)}<2\varepsilon $$
である。lem-krf-cube により $\mathcal F|_K$ は全有界であり、$L^p(K)$ から $L^p(\Omega\cap K)$ への制限は距離を増やさないので $\mathcal F|_{\Omega\cap K}$ も全有界である。あとは prf-krf-main の十分性と同じく、$\Omega\cap K$ の外を $0$ で延ばして $\mathcal F|_\Omega$ の全有界性を得る。$L^p(\Omega)$ は完備なので、$\mathcal F|_\Omega$ は相対コンパクトである。$\square$