コンパクト台de Rhamコホモロジー

前提知識: de Rhamコホモロジー, 固有写像, 1の分割, ファイバーに沿った積分

コンパクト台 de Rham コホモロジー（compactly supported de Rham cohomology）とは、多様体 $M$ 上の台がコンパクトな微分形式だけで作った de Rham 複体 $\Omega^\bullet_c(M)$ のコホモロジー $H^\bullet_c(M)$ である。$\mathbb R^n$ の普通の de Rham コホモロジーは 1 点と同じだが、コンパクト台の版は次数 $n$ にだけ $\mathbb R$ が現れ、その類は「全積分が $1$ の山形の $n$ 形式」で代表される。
コンパクト台の形式は、固有写像でしか引き戻せない代わりに、開集合から全体へ $0$ で延ばして押し出せる。このため $H^\bullet_c$ はホモトピー不変ではなく、Mayer–Vietoris 完全列は普通の版と矢印の向きが逆になる。向き付けられた多様体では、積分の対 $H^q(M)\times H^{n-q}_c(M)\to\mathbb R$ が Poincaré 双対を与え、コンパクトでない多様体の双対定理の片方の相手になる。
この記事では、定義と関手性を述べたあと、$M\times\mathbb R$ と $M$ のコンパクト台コホモロジーが次数を $1$ ずらして同型であること（コンパクト台の Poincaré の補題）をホモトピー作用素を書いて証明し、$H^\bullet_c(\mathbb R^n)$ を求める。コンパクト台の Mayer–Vietoris 完全列を示し、2 点を除いた平面と開いた Möbius の帯を計算する。後者は普通のコホモロジーが $0$ でないのにコンパクト台の版がすべて $0$ になり、向きの仮定が Poincaré 双対に欠かせないことを示す。

定義

多様体は Hausdorff で第 2 可算な、境界のない $C^\infty$ 級多様体とする。$\Omega^q(M)$ は $M$ 上の $C^\infty$ 級 $q$ 形式の空間で、$q<0$ なら $0$ とする。形式 $\omega$ の台 $\operatorname{supp}\omega$ は $\{x\in M\mid\omega_x\ne0\}$ の閉包である。

分母は $\Omega^{q-1}_c(M)$ の形式の外微分に限る。コンパクト台の閉形式が普通の意味で完全でも、原始形式をコンパクト台にとれるとは限らない。$M$ がコンパクトなら $\Omega^\bullet_c(M)=\Omega^\bullet(M)$ であり、$H^\bullet_c(M)=H^\bullet(M)$（普通の de Rham コホモロジー）である。
0 次では完全形式がないので、$H^0_c(M)$ はコンパクト台の閉 $0$ 形式、すなわち局所定数でコンパクト台の関数の全体である。$M$ が連結なら局所定数関数は定数であり、$0$ でない定数関数の台は $M$ 全体なので、$M$ がさらにコンパクトでなければ $H^0_c(M)=0$ である。

関手性

$H^\bullet_c$ は固有写像について反変、開集合の包含について共変な関手になる（BT82 §2, p. 26）。
普通の de Rham コホモロジーと違い、$H^\bullet_c$ はホモトピー不変でない。$\mathbb R$ と 1 点は同じホモトピー型をもつが、$H^1_c(\mathbb R)\cong\mathbb R$ である（下の cor-csdr-euclid）。実際、コンパクト台の $1$ 形式 $g(t)\,dt$ が $df$（$f$ はコンパクト台）と書けることは $\int_{\mathbb R}g\,dt=0$ と同値で、全積分が $0$ でない山形の形式は完全でない（BT82 Example 1.6, p. 18）。定数写像 $\mathbb R\to\{\text{点}\}$ は固有でないので、その引き戻しはコンパクト台の版では定義されない。

コンパクト台の Poincaré の補題

$M$ を多様体、$\pi\colon M\times\mathbb R\to M$ を射影、$t$ を $\mathbb R$ の座標とする。$M\times\mathbb R$ 上の $q$ 形式 $\omega$ は、$dt$ を含まない $q$ 形式 $\alpha$ と $q-1$ 形式 $\beta$（どちらも係数が $t$ にもよる）によって
$$ \omega=\alpha+\beta\wedge dt $$
と一意に書ける。$\omega$ がコンパクト台なら、ファイバー $\mathbb R$ に沿った積分（ファイバーに沿った積分、ファイバーの向きは $t$ の増える向き）は
$$ \pi_*\omega=\int_{-\infty}^{\infty}\beta(\cdot,s)\,ds\in\Omega^{q-1}_c(M) $$
であり（ファイバーに沿った積分 の命題「定義の整合性と局所表示」）、台は $\pi(\operatorname{supp}\omega)$ に含まれる。同じ記事の定理「ファイバーに沿った積分の性質」の 1 により $\pi_*d=d\pi_*$ である。
逆向きの写像を作るため、コンパクト台の $C^\infty$ 級関数 $\rho\colon\mathbb R\to\mathbb R$ で $\int_{\mathbb R}\rho=1$ となるものを 1 つ固定し、
$$ e_*\colon\Omega^q_c(M)\to\Omega^{q+1}_c(M\times\mathbb R),\qquad e_*\varphi:=\pi^*\varphi\wedge\rho(t)\,dt $$
とおく。$d(\rho(t)dt)=0$ なので $de_*=e_*d$ であり、射影公式（同じ定理の 2）により $\pi_*e_*\varphi=\varphi\int\rho=\varphi$ である。

次数 $q$ の部分で $H:=(-1)^{q-1}K$ とおけば、上の式は $dH+Hd=1-e_*\pi_*$ という普通のホモトピーの形になる。この証明は BT82 Proposition 4.6・4.7（pp. 38–39）と同じ作用素によるが、ここでは $dt$ を右に置く分解で計算を書いた。普通の de Rham コホモロジーでは $H^q(M\times\mathbb R)\cong H^q(M)$ と次数がずれない（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」）のに対し、コンパクト台では次数が $1$ ずれる。Thom同型 の補題「垂直コンパクト台の Poincaré の補題」は、台の条件を垂直方向だけにした同じ型の主張である。

これは BT82 Corollary 4.7.1（p. 39）で、特異コホモロジーの版は コンパクト台コホモロジー の定理「Euclid 空間のコンパクト台コホモロジー」である。生成元の台はいくらでも小さくとれる。

Mayer–Vietoris 完全列

これは BT82 Proposition 2.7・(2.8)（p. 26）である。普通の de Rham コホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列は制限で $H^q(M)\to H^q(U)\oplus H^q(V)\to H^q(U\cap V)$ と進む（Čech–de Rham複体 の定理「一般化 Mayer–Vietoris 原理」の 2 つの開集合の場合）のに対し、コンパクト台では零延長で逆向きに進む。

例

$d\chi_P$ は $\mathbb R^2$ 全体では完全形式 $d\chi_P$ だが、$\chi_P$ は $P$ の近くで $1$ なので $X$ 上のコンパクト台の関数ではなく、$X$ では完全でない。普通のコホモロジーでは $H^1(X)\cong\mathbb R^2$、$H^2(X)=0$ であり、下の Poincaré 双対 $H^q(X)\cong H^{2-q}_c(X)^*$ と次元が合っている。
開いた Möbius の帯を、$\mathbb R\times\mathbb R$ を $\tau(t,s):=(t+1,-s)$ が生成する群 $\mathbb Z$ の作用で割った多様体
$$ B:=(\mathbb R\times\mathbb R)/\bigl((t,s)\sim(t+1,-s)\bigr) $$
として扱う（$\mathbb Z$ は自由かつ固有不連続に作用するので $B$ は 2 次元多様体で、商写像 $p$ は局所微分同相である）。$B$ は向き付け可能でない（Möbiusの帯 の注意「Möbius の帯は向き付け可能でない」）。

これは BT82 Exercise 4.8（p. 40）が求める計算である。同じ計算を開いた円柱 $S^1\times\mathbb R=(\mathbb R\times\mathbb R)/\bigl((t,s)\sim(t+1,s)\bigr)$ で行うと、$B_0$ の上の座標変換は $(t,s)\mapsto(t+1,s)$ で向きを保つので、$b$ の $V$ での積分も $+1$ になり、行列は $\det=0$ の $\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ になって $H^1_c\cong H^2_c\cong\mathbb R$ となる。違いは貼り合わせが向きを反転するかどうかだけである。

Poincaré 双対との関係

$M$ を向き付けられた $n$ 次元多様体とする。$\omega\in\Omega^q(M)$、$\eta\in\Omega^{n-q}_c(M)$ について $\int_M\omega\wedge\eta$ は Stokes の定理によりコホモロジー類だけで決まり、対
$$ H^q(M)\times H^{n-q}_c(M)\to\mathbb R $$
を定める。$M$ が有限個の開集合からなる良い開被覆をもつとき、これは完全対である（Poincaré双対 の定理「de Rham コホモロジーの双対」、BT82 §5, pp. 44–46）。有限性を外すと、$H^{n-q}_c(M)\cong H^q(M)^*$ は一般には成り立たない。有限型の多様体の可算個の非交和では $H^q$ が直積、$H^{n-q}_c$ が直和になるためである（BT82 Remark 5.7, pp. 46–47）。連結で向き付けられた $M$ では積分が同型 $H^n_c(M)\cong\mathbb R$ を与える（Lee12 Theorem 17.30, p. 454。この記事では証明しない）ので、連結な $M$ の小さな山形の $n$ 形式はどこに置いても同じ類を表す。
prop-csdr-mobius の $B$ では $H^0(B)\cong\mathbb R$ だが $H^2_c(B)=0$ で、向きの仮定を外すと双対が崩れる。prop-csdr-two-points では $H^1_c(X)\cong\mathbb R^2\cong H^1(X)^*$ で、双対と合っている。
有限の良い被覆をもつ多様体 $M$、$N$ については Künneth の公式 $H^\bullet_c(M\times N)\cong H^\bullet_c(M)\otimes H^\bullet_c(N)$ も成り立つ（BT82 Exercise 5.12, p. 50 が演習として挙げている。この記事では証明しない）。$N=\mathbb R$ の場合が thm-csdr-poincare である。
特異コホモロジーのコンパクト台版（コンパクト台コホモロジー）とは、向き付けられて有限の良い被覆をもつ $M$ なら、実ベクトル空間として同型である。実際、上の完全対と de Rham の定理（de Rhamコホモロジー の定理「de Rham の定理：特異コホモロジーとの同型」）、体係数の普遍係数定理により $H^q_c(M)\cong H^{n-q}(M;\mathbb R)^*\cong H_{n-q}(M;\mathbb R)$ であり（有限次元性は良い被覆による）、右辺は特異版の Poincaré 双対（Poincaré双対 の定理「コンパクトでない多様体の双対」）により $H^q_c(M;\mathbb R)$ と同型である。

仮定を外したときの反例

関連項目

• 前提: de Rhamコホモロジー, 固有写像, 1の分割, ファイバーに沿った積分
• 比較: コンパクト台コホモロジー, Thom同型, Čech–de Rham複体, Möbiusの帯
• 直後に読む: Poincaré双対, 閉部分多様体のPoincaré双対, 写像の相対de Rhamコホモロジー