Bochnerの管状領域定理

$0<\rho< r$ を固定し、$K_\rho:=\{w+b\mid w\in K,\ \|b\|_\infty\le\rho\}$ とおく。$K_\rho$ はコンパクトで、$\Delta(w,r)\subset U$ から $K_\rho\subset U$ である。$M:=\sup_{K_\rho}|u|$ とおくと、多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」により、$w\in K$ で $|\partial^\alpha u(w)|\le M\,\alpha!\,\rho^{-|\alpha|}$ である。$\partial^\alpha u\in\mathcal O(U)$ なので、正則凸包の定義から $|\partial^\alpha u(\zeta)|\le\sup_K|\partial^\alpha u|\le M\,\alpha!\,\rho^{-|\alpha|}$ である。$\|z-\zeta\|_\infty\le s<\rho$ では項は $M(s/\rho)^{|\alpha|}$ 以下で、$\sum_\alpha(s/\rho)^{|\alpha|}=(1-s/\rho)^{-n}<\infty$ なので、級数は $\overline\Delta(\zeta,s)$ の上で正規収束する。$\rho< r$ は任意である。$\zeta$ のまわりの $U$ に含まれる多重円板の上では、多重円板 の定理「冪級数展開」により和は $u$ である。$\square$

段 1（$M_\varepsilon$）．$M_\varepsilon:=\{z\in V_\varepsilon\mid\operatorname{Re}z_1\ge0,\ \operatorname{Re}z_2\ge0,\ \operatorname{Re}(z_1+z_2)\le1\}$ とする。$z_j=x_j+iy_j$ と書くと、方程式の実部は $$x_1+x_2-\varepsilon(x_1^2+x_2^2)+\varepsilon(y_1^2+y_2^2)=1-\varepsilon$$ である。$M_\varepsilon$ では $x\in T_1$ なので $x_1^2+x_2^2\le(x_1+x_2)^2\le1$ で、$\varepsilon(y_1^2+y_2^2)\le1-\varepsilon+\varepsilon-(x_1+x_2)\le1$ である。よって $M_\varepsilon$ は有界閉集合でコンパクトであり、$\operatorname{Re}z\in T_1\subset\omega$ から $M_\varepsilon\subset U$ である。

段 2（縁）．$\partial M:=\{z\in M_\varepsilon\mid x_1=0\text{ または }x_2=0\text{ または }x_1+x_2=1\}$ とする。$x_1+x_2=1$ なら実部の式は $x_1^2+x_2^2-(y_1^2+y_2^2)=1$ となり、$x_1^2+x_2^2\le1$ で等号は $x\in\{e_1,e_2\}$ のときだけなので、$y=0$、$z\in\{e_1,e_2\}\subset k_\varepsilon$ である。$x_1=0$ なら $x\in[0,e_2]\subset k$ で、段 1 の評価から $z\in k_\varepsilon$ である。$x_2=0$ も同じである。よって $\partial M\subset k_\varepsilon$ である。

段 3（曲線の局所的な形）．$M_\varepsilon$ の点では $1-2\varepsilon z_1$ と $1-2\varepsilon z_2$ の一方は $0$ でない（両方 $0$ なら $\operatorname{Re}(z_1+z_2)=1/\varepsilon>1$）。$V_\varepsilon$ の上では $(1-2\varepsilon z_2)^2=1-4\varepsilon(z_2-\varepsilon z_2^2)=1-4\varepsilon(1-\varepsilon-z_1+\varepsilon z_1^2)=:\Theta(z_1)$ である。$q\in M_\varepsilon$ で $1-2\varepsilon q_2\ne0$ なら、$\Theta(q_1)\ne0$ なので $q_1$ の近くで $\sqrt{\Theta}$ の正則な分枝 $s$ を $s(q_1)=1-2\varepsilon q_2$ となるようにとれ、$q$ の近くの $V_\varepsilon$ の点は $z_2=\varphi(z_1):=(1-s(z_1))/(2\varepsilon)$ のグラフ $\{(z_1,\varphi(z_1),0,\dots,0)\}$ である（もう一方の根 $(1+s)/(2\varepsilon)$ は $q_2$ から離れている）。$1-2\varepsilon q_1\ne0$ なら $z_1$ と $z_2$ を入れ替える。とくに $V_\varepsilon$ のどの空でない開集合も無限集合である。

段 4（最大値原理）．$u\in\mathcal O(U)$ とし、$\mu:=\max_{M_\varepsilon}|u|$ を $p$ でとるとする。$p\in\partial M$ なら終わる。そうでなければ $p$ は $M^\circ:=M_\varepsilon\setminus\partial M$（$V_\varepsilon$ の開集合）に属する。$p$ を含む $M^\circ$ の連結成分を $C$ とする（$V_\varepsilon$ の開集合）。$|u|=\mu$ となる $C$ の点 $q$ では、段 3 のグラフの径数 $w$ について $w\mapsto u(w,\varphi(w),0,\dots)$（または入れ替えたもの）が $q$ で絶対値の極大をとるので、最大値原理(複素解析) により $q$ の近くで定数である。よって $\{|u|=\mu\}\cap C$ は $C$ の開かつ閉な空でない部分集合で、$C$ 全体である。連続性から閉包 $\overline C\subset M_\varepsilon$ でも $|u|=\mu$ である。$\overline C\setminus C$ の点 $q'$ があれば、$q'\in M^\circ$ とすると $q'$ を含む $M^\circ$ の連結成分は $C$ と交わる開集合なので $C$ に等しく矛盾するから、$q'\in\partial M$ で $|u(q')|=\mu$ である。$\overline C=C$ とすると $C$ はコンパクトである。同じ議論を座標関数 $z_1$ に当てると $|z_1|$ は $C$ の上で一定で、径数について正則な関数の絶対値が一定なら関数は定数なので、$z_1$ は連結な $C$ の上で定数である。$z_1$ を決めると $V_\varepsilon$ の点は $z_2$ の 2 次方程式の解で高々 2 個なので $C$ は有限集合だが、段 3 によりこれはありえない。以上から $\max_{M_\varepsilon}|u|\le\max_{k_\varepsilon}|u|$ である。

段 5（縮小と実の点）．$0<\lambda\le1$ について $\lambda T_1\subset T_1$ なので、$u_\lambda(z):=u(\lambda z)$ は底が $\lambda^{-1}\omega\supset T_1$ の管状領域の上で正則であり、段 4 をそれに当てると $\max_{\lambda M_\varepsilon}|u|\le\max_{\lambda k_\varepsilon}|u|\le\max_{k_\varepsilon}|u|$ である（$\lambda k_\varepsilon\subset k_\varepsilon$）。$x\in T_1$ で $x_1+x_2-\varepsilon(x_1^2+x_2^2)=1-\varepsilon$ をみたす実の点は $M_\varepsilon$ に属する（虚部の方程式 $y_1+y_2-2\varepsilon(x_1y_1+x_2y_2)=0$ は $y=0$ でみたされる）。$0\ne x\in T_{1-\varepsilon}$ について $\phi(\sigma):=\sigma(x_1+x_2)-\varepsilon\sigma^2(x_1^2+x_2^2)$ とおくと、$\phi(1)\le x_1+x_2\le1-\varepsilon$ で、$\sigma_1:=1/(x_1+x_2)$ では $\sigma_1x$ が辺 $x_1+x_2=1$ の上にあって $|\sigma_1x|^2\le1$ なので $\phi(\sigma_1)\ge1-\varepsilon$ である。中間値の定理により $\phi(\sigma)=1-\varepsilon$ となる $\sigma\in[1,\sigma_1]$ があり、$\sigma x\in M_\varepsilon$、$x=\sigma^{-1}(\sigma x)\in\sigma^{-1}M_\varepsilon$ である。$x=0$ は $k_\varepsilon$ に属する。よって $T_{1-\varepsilon}$ の各点で $|u|\le\max_{k_\varepsilon}|u|$ である。$\square$

$\zeta\in T(S)$ での Taylor 級数の和を $u_\zeta\in\mathcal O(\Delta(\zeta,\delta))$ とする（多重円板 の命題「Abel の補題（多変数）」と同じく和は正則である）。$u_\zeta$ は $\zeta$ の近くで $u$ に等しい。

段 1．$\zeta,p\in T(S)$、$p\in\Delta(\zeta,\delta)$ なら、$p$ の近くで $u_\zeta=u=u_p$ である。実際、$S$ が凸なので $T(S)$ は凸で、線分 $[\zeta,p]$ は $T(S)\subset T(W)$ にも凸な $\Delta(\zeta,\delta)$ にも含まれるので、$\Delta(\zeta,\delta)\cap T(W)$ の $\zeta$ を含む連結成分に $p$ が入る。その成分の上で $u_\zeta=u$（一致の定理）である。

段 2．$\zeta,\zeta'\in T(S)$ で $\Delta(\zeta,\delta)\cap\Delta(\zeta',\delta)\ne\emptyset$ なら、その上で $u_\zeta=u_{\zeta'}$ である。実際 $|\zeta_j-\zeta'_j|<2\delta$ なので、中点 $m:=(\zeta+\zeta')/2$ は $T(S)$ に属し、両方の多重円板に入る。段 1 により $m$ の近くで $u_\zeta=u_m=u_{\zeta'}$ で、2 つの多重円板の共通部分は凸で連結なので、一致の定理により全体で等しい。

段 3．$Y:=\bigcup_{\zeta\in T(S)}\Delta(\zeta,\delta)$ は $T(S+(-\delta,\delta)^n)$ に等しい（$z=s+h+iy$、$s\in S$、$h\in(-\delta,\delta)^n$ なら $\zeta:=s+iy$ について $\|z-\zeta\|_\infty< \delta$）。段 2 により $u_\zeta$ は $Y$ の上の正則関数 $\tilde u$ に貼り合う。$Y\cap T(W)=T\bigl((S+(-\delta,\delta)^n)\cap W\bigr)$ の底は $0$ について星形な集合の共通部分なので星形で、管状領域は連結である。$0\in T(S)$ の近くで $\tilde u=u_0=u$ なので、一致の定理により $Y\cap T(W)$ の上で $\tilde u=u$ である。よって $u$ と $\tilde u$ は $T(W')$ の上の正則関数 $v$ に貼り合う。$W'$ は $0$ について星形な 2 つの開集合の和なので星形な開集合である。$\square$

一意性は、$T(\operatorname{conv}\omega)$ が連結で $T(\omega)$ がその空でない開集合であることと、一致の定理（多変数の正則関数 の定理「多変数の一致の定理」）による。存在を示す。実の平行移動 $z\mapsto z-x^0$（$x^0\in\omega$）で $0\in\omega$ としてよい。

段 1（最大の星形の底）．$0$ について星形な開集合 $W\subset\mathbb R^n$ で、すべての $f\in\mathcal O(T(\omega))$ に対し、$0$ の近くで $f$ と一致する $F_W\in\mathcal O(T(W))$ があるものの族を $\mathcal W$ とする。$0$ を中心とする小さい球は $\mathcal W$ に属する。$W,W'\in\mathcal W$ なら $W\cap W'$ は星形で $T(W\cap W')$ は連結なので、$F_W$ と $F_{W'}$ は $0$ の近くの一致から $T(W\cap W')$ の上で一致する。よって $\mathcal W$ のすべての元の和 $W$ の上に延長 $F_W$ が貼り合い、$W\in\mathcal W$ は $\mathcal W$ の最大元である。

段 2（$W$ は凸）．$n=1$ なら、$0$ について星形な $\mathbb R$ の開集合は区間で凸である。$n\ge2$ とし、1 次独立な $p,q\in W$ をとる。$p,q$ を $e_1,e_2$ に写す実線形同型 $A$ を複素化して座標を取り替えると、$\omega$、$\mathcal W$、$W$ はそれぞれ $A\omega$、その族、$AW$ に移るので、$p=e_1$、$q=e_2$ としてよい。$k=[0,e_1]\cup[0,e_2]\subset W$ はコンパクトなので、$k+[-2\delta,2\delta]^n\subset W$ となる $\delta\in(0,1)$ がある。$E:=\{a\in(0,1]\mid T_a\subset W\}$ とおくと、$W$ は $0$ の近傍なので小さい $a>0$ は $E$ に属する。

$a\in E$ とし、$0<\varepsilon<\frac12$ を $\varepsilon a<\delta/2$ にとり、$c:=(1-\varepsilon)a$ とおく。$z\mapsto az$ は底が $a^{-1}W\supset T_1$ の管状領域を $T(W)$ へ写すので、lem-bt-curve と虚部の平行移動により、すべての $\eta\in\mathbb R^n$ について、$K:=ak_\varepsilon+i\eta$ の $T(W)$ での正則凸包は $T_c+i\eta$ を含む。$w\in K$ なら $\operatorname{Re}w\in ak\subset k$ なので $\Delta(w,2\delta)\subset T(W)$ である。lem-bt-taylor-hull により、すべての $u\in\mathcal O(T(W))$ と $\zeta\in T(T_c)$ について、$u$ の $\zeta$ での Taylor 級数は $\Delta(\zeta,2\delta)$ のコンパクト集合の上で正規収束する。各 $f$ の延長 $F_W$ に lem-bt-patch（$S=T_c$）を当てると、$W\cup(T_c+(-\delta,\delta)^n)$ は $\mathcal W$ に属し、最大性から $T_c+(-\delta,\delta)^n\subset W$ である。$b:=\min(1,a+\delta/2)$ とすると、$x\in T_b$ について $x':=(c/b)x\in T_c$ で $\|x-x'\|_\infty\le b-c\le\delta/2+\varepsilon a<\delta$ なので、$T_b\subset W$、$b\in E$ である。$a$ から始めて有限回くり返すと $1\in E$ で、$T_1\subset W$、とくに線分 $[e_1,e_2]\subset W$ である。

$p,q\in W$ が 1 次従属なら、$p,q$ は原点を通る直線の上にあり、同じ向きなら線分 $[p,q]$ は原点から遠い方への線分に含まれ、逆向きなら $[p,q]=[p,0]\cup[0,q]$ なので、どちらも星形性から $W$ に含まれる。よって $W$ は凸である。

段 3（底が星形の場合）．$\omega$ が $0$ について星形なら、$\omega\in\mathcal W$（$F_\omega=f$）なので $\omega\subset W$、凸性から $\operatorname{conv}\omega\subset W$ である。$T(\omega)$ は連結で $F_W=f$ が $0$ の近くで成り立つので、$T(\omega)$ の上で $F_W=f$ である。$F:=F_W|_{T(\operatorname{conv}\omega)}$ が求める延長である。

段 4（一般の場合）．$\omega\not\subset W$ と仮定し、$x^1\in\omega\setminus W$ をとる。$\omega$ は連結な開集合なので弧状連結で、$0$ と $x^1$ を結ぶ道 $\gamma\colon[0,1]\to\omega$ がある。$t_1:=\inf\{t\mid\gamma(t)\notin W\}$ とおくと、$W$ が開なので $b:=\gamma(t_1)\notin W$、$t_1>0$、$\gamma([0,t_1))\subset W\cap\omega$ である。$b$ を中心とする開球 $B\subset\omega$ をとり、$t'< t_1$ で $c:=\gamma(t')\in B$ となるものを選ぶ。$W\cap\omega$ の $0$ を含む連結成分 $C$ は $\gamma([0,t'])$ を含み、$T(C)$ は連結で $0$ の近くで $F_W=f$ なので、$T(C)$ の上で $F_W=f$ である。$W\cap B$ は凸で $c$ を含み、$c$ の近くで $F_W=f$ なので、$T(W\cap B)$ の上で $F_W=f$ である。よって $T(W)$ で $F_W$、$T(B)$ で $f$ となる正則関数 $f'$ が $T(W\cup B)$ の上に定まる。$W\cup B$ は凸な 2 つの集合の和で、ともに $c$ を含むので $c$ について星形である。段 3 を（$c$ を原点に平行移動して）$f'$ に当てると、$f'$ は $T(\operatorname{conv}(W\cup B))$ へ延び、延長は $0$ の近くで $F_W=f$ に等しい。$\operatorname{conv}(W\cup B)$ は $0$ を含む凸な開集合なので $\mathcal W$ に属し、最大性から $W$ に含まれるが、$b\in B\setminus W$ なので矛盾する。よって $\omega\subset W$ であり、段 3 と同じく $T(\omega)$ の上で $F_W=f$、$\operatorname{conv}\omega\subset W$ で、$F:=F_W|_{T(\operatorname{conv}\omega)}$ が求める延長である。$\square$