Cartan行列

1. $a_{ii}=2(\alpha_i,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)=2$ である。$i\neq j$ なら $(\alpha_i,\alpha_j)\le0$ なので（ルート系 の補題「単純ルートどうしの内積」）$a_{ij}\le0$ であり、$a_{ij}$ と $a_{ji}$ はどちらも $(\alpha_i,\alpha_j)$ の正の数倍なので同時に $0$ になる。$\alpha_i,\alpha_j$ は線形独立なので、同記事の補題「二つのルートのなす角」により $m_{ij}\in\{0,1,2,3\}$ である。$m_{ij}\ge1$ のとき、$-a_{ij}$ と $-a_{ji}$ は積が $1,2,3$ の正の整数で、$2,3$ は素数なので一方は $1$、他方は $m_{ij}$ である。最後に $a_{ij}/a_{ji}=(\alpha_j,\alpha_j)/(\alpha_i,\alpha_i)$ なので、$\lvert a_{ij}\rvert\ge\lvert a_{ji}\rvert$ は $\alpha_i$ が短い方であることと同値で、$a_{ij}=-m_{ij}$、$a_{ji}=-1$ なら長さの 2 乗の比は $m_{ij}$ である（$m_{ij}=1$ なら両方 $-1$ で長さも等しい）。
2. $(DA)_{ij}=\dfrac{(\alpha_i,\alpha_i)}{2}\cdot\dfrac{2(\alpha_j,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)}=(\alpha_i,\alpha_j)$ である。$x\in\mathbb{R}^l$ について ${}^txGx=\bigl\|\sum_ix_i\alpha_i\bigr\|^2$ で、$\alpha_1,\dots,\alpha_l$ は線形独立なので $x\neq0$ なら正である。
3. $\det A=\det G/\det D$ で、正定値な対称行列の行列式は正（固有値がすべて正）であり、$\det D>0$ である。$I\times I$ の部分行列についても、$D$ と $G$ の $I\times I$ の部分行列で同じ式が成り立ち、正定値行列の部分行列 $G_I$ は正定値である（$x$ を $I$ の外で $0$ とおけばよい）。$\square$

$\alpha:=\alpha_i$、$\beta:=\alpha_j$ とし、$S:=\{t\in\mathbb{Z}\mid\beta+t\alpha\in R\}$ とおく。$R$ は有限なので $S$ は有限で、$0\in S$ である。$t< 0$ なら $\beta+t\alpha$ の $\Delta$ に関する係数は $\beta$ の位置で $1$、$\alpha$ の位置で $t< 0$ と符号が混ざるので、基の条件 (b) によりルートでない。よって $S\subset\{0,1,2,\dots\}$ である。$q:=\max S$ とおく。
$S=\{0,1,\dots,q\}$ を示す。そうでないとすると、$p\in S$、$p+1\notin S$、$p< q$ となる $p$ があり、$s:=\min\{t\in S\mid t>p\}$ とおくと $s\in S$、$s-1\notin S$、$s\ge p+2$ である。$\beta+p\alpha$ と $\alpha$ はルートで、$\beta$ の係数が $1$ なので線形独立である。もし $(\alpha,\beta+p\alpha)< 0$ なら、ルート系 の補題「二つのルートのなす角」により $\beta+(p+1)\alpha\in R$ となって $p+1\notin S$ に反するので、$(\alpha,\beta+p\alpha)\ge0$ である。同様に、もし $(\alpha,\beta+s\alpha)>0$ なら同じ補題により $\beta+(s-1)\alpha\in R$ となって矛盾するので、$(\alpha,\beta+s\alpha)\le0$ である。ところが
$$ (\alpha,\beta+s\alpha)-(\alpha,\beta+p\alpha)=(s-p)(\alpha,\alpha)>0 $$
なので $0\le(\alpha,\beta+p\alpha)<(\alpha,\beta+s\alpha)\le0$ となり、矛盾する。
次に $q=-a_{ij}$ を示す。$s_\alpha(\beta+t\alpha)=\beta-a_{ij}\alpha-t\alpha=\beta+(-a_{ij}-t)\alpha$ であり、$s_\alpha$ は $R$ を保つので、$t\mapsto-a_{ij}-t$ は $S$ をそれ自身に写す。$0\in S$ の像から $-a_{ij}\in S$、すなわち $-a_{ij}\le q$ である。$q\in S$ の像 $-a_{ij}-q$ も $S$ に入るので $-a_{ij}-q\ge0$、すなわち $q\le-a_{ij}$ である。よって $q=-a_{ij}$ である。最後の主張は prop-cm-basic の 1 による。$\square$

必要性は prop-cm-basic の 1 と 2 である。一意性は Dynkin図形 の定理「Dynkin 図形による同型定理」による。十分性を $l$ についての帰納法で示す。$D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_l)$ を (C4) のものとする。
段 1（成分の値）。$DA$ が対称なので $d_ia_{ij}=d_ja_{ji}$ であり、$a_{ij}=0$ と $a_{ji}=0$ は同値である。$DA$ の $\{i,j\}\times\{i,j\}$ の部分行列の行列式 $d_id_j(4-a_{ij}a_{ji})$ は正なので、$m_{ij}:=a_{ij}a_{ji}\in\{0,1,2,3\}$ であり、prf-cm-basic の 1 と同じく $m_{ij}\ge1$ なら $\{a_{ij},a_{ji}\}=\{-1,-m_{ij}\}$ である。頂点 $1,\dots,l$ を $m_{ij}$ 本の辺で結んだグラフを $\Gamma_A$ とする。
段 2（連結でない場合）。$\Gamma_A$ が連結でなければ、番号を付けかえて $A=\begin{pmatrix}A_1&0\\0&A_2\end{pmatrix}$ と書け、$A_1,A_2$ も (C1)〜(C4) を満たす（$D$ の対応する部分をとる）。帰納法の仮定により、ルート系 $R_k\subset V_k$ とその基 $\Delta_k$ で Cartan 行列が $A_k$ のものがある（$k=1,2$）。直交直和 $V_1\oplus V_2$ の中の $R_1\sqcup R_2$ はルート系で、$\Delta_1\sqcup\Delta_2$ はその基であり、Cartan 行列は $A$ である。実際、$\alpha\in R_1$ の鏡映は $V_1$ 上で $R_1$ の鏡映、$V_2$ 上で恒等写像なので (RS2) が成り立ち、$\alpha\in R_1$、$\beta\in R_2$ なら $n(\alpha,\beta)=0$ なので (RS3) が成り立ち、(RS1)・(RS4) と基の条件は成分ごとに成り立つ。
段 3（連結な場合）。$\Gamma_A$ が連結であるとする。$E:=D^{1/2}AD^{-1/2}$ とおくと、$DA=D^{1/2}ED^{1/2}$ なので $E$ は対称かつ正定値で、対角成分は $2$、$i\neq j$ の成分は $E_{ij}=d_i^{1/2}a_{ij}d_j^{-1/2}\le0$ で $E_{ij}^2=d_ia_{ij}^2/d_j=a_{ij}a_{ji}=m_{ij}$ である。よって $E_{ij}=-\sqrt{m_{ij}}$ であり、${}^tzEz$ は Dynkin図形 の定理「Dynkin 図形の分類」の証明の段 1 の 2 次形式 $q_{\Gamma_A}(z)$ にほかならない。同じ証明の段 2〜4 は、$q_\Gamma$ が正定値な連結な Coxeter グラフ $\Gamma$ を決める議論で、ルート系から来たことは使っていない。したがって $\Gamma_A$ は同記事の分類の表の図形から矢印を忘れたものと同型である。
段 4（矢印を付けて実現する）。$m_{ij}\ge2$ の組 $\{i,j\}$ は表の図形では高々 1 つで、$a_{ij}=-m_{ij}$（$a_{ji}=-1$）となる $i$ の方へ矢印を付ける。得られる図形は表のどれかと同型である（端の辺が 2 本の道では、矢印が端を向けば $B_n$、内側を向けば $C_n$ で、$F_4$ と $G_2$ は向きによらない）。同記事の分類の定理の 2 により、この図形を Dynkin 図形にもつルート系 $R$ と基 $\Delta$ があり、図形の同型に従って $\Delta$ に番号を付ける。Dynkin 図形は Cartan 行列を決め（同記事の命題「図形は基のとり方によらない」の 1）、その対応は prop-cm-basic の 1（短い方の $\alpha_i$ で $a_{ij}=-m_{ij}$）のとおりなので、$R$ の Cartan 行列は $A$ である。$\square$

$\lambda\in V$ は $\lambda=\sum_i(\lambda,\alpha_i^\vee)\varpi_i$ と書ける（両辺と $\alpha_j^\vee$ の内積が等しい）。$\lambda=\alpha_j$ とすると $(\alpha_j,\alpha_i^\vee)=a_{ij}$ なので前半を得る。$a_{ij}$ は整数なので $Q\subset P$ である。基底 $\varpi_i$ で $P\cong\mathbb{Z}^l$ と同一視すると、$Q$ は $A$ の列が張る部分群 $A\mathbb{Z}^l$ になる。Smith標準形 の定理「Smith標準形の存在」により $A=U\operatorname{diag}(e_1,\dots,e_l)W$（$U,W$ は整数行列で逆行列も整数行列）と書けるので、$\mathbb{Z}^l/A\mathbb{Z}^l\cong\bigoplus_i\mathbb{Z}/e_i\mathbb{Z}$ であり、$\det A\neq0$ より各 $e_i\neq0$ で、その位数は $\lvert e_1\cdots e_l\rvert=\lvert\det A\rvert=\det A$ である（prop-cm-basic の 3）。$\square$

同定理の 4 により $\alpha_j(h_i)=2(\alpha_j,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)=a_{ij}$ なので、$e_j\in\mathfrak{g}_{\alpha_j}$ から $[h_i,e_j]=a_{ij}e_j$、$f_j\in\mathfrak{g}_{-\alpha_j}$ から $[h_i,f_j]=-a_{ij}f_j$ である。$[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]\subset\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ により $(\operatorname{ad}e_i)^{t}(e_j)\in\mathfrak{g}_{\alpha_j+t\alpha_i}$ である。$t=1-a_{ij}$ では prop-cm-string により $\alpha_j+t\alpha_i$ はルートでなく、$\alpha_i,\alpha_j$ が線形独立なので $0$ でもないから、ルート分解により $\mathfrak{g}_{\alpha_j+t\alpha_i}=0$ である。$f$ の側は $-\alpha_j-t\alpha_i$ について同じである。$\square$