正則関数

1. $f(a+h)-f(a)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot h\to f'(a)\cdot0=0$（$h\to0$）である。
2. 和と定数倍は極限の線形性から従う。積については
   $$\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,g(a+h)+f(a)\,\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$$
   であり、$g$ の連続性（1）から右辺は $f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ に収束する。商については、まず $1/g$ を考える。$g(a)\neq0$ で $g$ は連続だから、$h$ が小さいとき $g(a+h)\neq0$ であり、
   $$\frac{1}{h}\Bigl(\frac{1}{g(a+h)}-\frac{1}{g(a)}\Bigr)=-\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\cdot\frac{1}{g(a+h)g(a)}\longrightarrow-\frac{g'(a)}{g(a)^2}$$
   である。$f/g=f\cdot(1/g)$ に積の公式を用いれば商の公式を得る。
3. $b:=h(a)$ とおき、$U$ 上の関数 $\varphi$ を $\varphi(w):=\dfrac{f(w)-f(b)}{w-b}$（$w\neq b$）、$\varphi(b):=f'(b)$ で定めると、$f$ が $b$ で複素微分可能であることは $\varphi$ が $b$ で連続であることと同じである。任意の $w\in U$ に対し $f(w)-f(b)=\varphi(w)(w-b)$ が成り立つ（$w=b$ でも両辺 $0$）。したがって $k\neq0$ に対し
   $$\frac{f(h(a+k))-f(h(a))}{k}=\varphi\bigl(h(a+k)\bigr)\,\frac{h(a+k)-h(a)}{k}$$
   であり、$k\to0$ のとき $h(a+k)\to b$（$h$ の連続性）と $\varphi$ の $b$ での連続性から、右辺は $\varphi(b)h'(a)=f'(b)h'(a)$ に収束する。この書き方は $h(a+k)=b$ となる $k$ があっても正しい。

$f$ を $\mathbb{R}^2$ の開集合上の写像 $(x,y)\mapsto(u,v)$ とみる。$f$ が $a$ で複素微分可能で $f'(a)=\alpha+i\beta$ であるとは、$h=s+it\to0$ のとき
$$f(a+h)-f(a)-f'(a)h=o(|h|)$$
となることである。$f'(a)h=(\alpha s-\beta t)+i(\beta s+\alpha t)$ だから、この式は、写像 $(u,v)$ が $(x_0,y_0)$ で全微分可能であり、その Jacobi 行列が
$$\begin{pmatrix}u_x&u_y\\ v_x&v_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta&\alpha\end{pmatrix}$$
であることと同値である（全微分の一意性による）。この行列の形は $u_x=v_y=\alpha$、$u_y=-v_x=-\beta$ を意味し、これが Cauchy–Riemann の方程式である。逆に $u,v$ が全微分可能で Cauchy–Riemann の方程式を満たせば、Jacobi 行列は上の形をしており、$\alpha:=u_x$、$\beta:=v_x$ とおくと全微分は $h\mapsto(\alpha+i\beta)h$ という複素数倍になるので、$f$ は $a$ で複素微分可能で $f'(a)=\alpha+i\beta$ である。最後の主張は、偏導関数が近傍で連続なら増分を座標軸に沿う二つの線分へ分け、各成分に一変数の平均値の定理を適用することで、剰余が $o(|h|)$ になることから従う。

平行移動により $a=0$ としてよい。収束半径の定義と性質（絶対収束と Cauchy–Hadamard の公式 $1/R=\limsup|a_n|^{1/n}$）は Taylor展開(複素解析) の記事の命題（収束半径の性質）による。$\limsup(n|a_n|)^{1/n}=\limsup|a_n|^{1/n}$（$n^{1/n}\to1$ による）だから、項別微分した級数 $g(z):=\sum_{n\geq1}na_nz^{n-1}$ の収束半径も $R$ である。
$|z_0|< R$ を固定し、$|z_0|<\rho< R$ をとる。$|z|<\rho$、$z\neq z_0$ に対し
$$\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-g(z_0)=\sum_{n\geq1}a_n\Bigl(\frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}-nz_0^{n-1}\Bigr)$$
である（両級数とも絶対収束するので項ごとに引いてよい）。恒等式 $\dfrac{z^n-z_0^n}{z-z_0}=\sum_{j=0}^{n-1}z^jz_0^{n-1-j}$ により
$$\frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}-nz_0^{n-1}=\sum_{j=0}^{n-1}z_0^{n-1-j}\bigl(z^j-z_0^j\bigr)=(z-z_0)\sum_{j=1}^{n-1}z_0^{n-1-j}\sum_{k=0}^{j-1}z^kz_0^{j-1-k}$$
であり、右辺の二重和は $|z|,|z_0|<\rho$ のとき絶対値が $\sum_{j=1}^{n-1}j\rho^{n-2}\leq n^2\rho^{n-2}$ 以下である。したがって
$$\Bigl|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-g(z_0)\Bigr|\leq|z-z_0|\sum_{n\geq2}n^2|a_n|\rho^{n-2}$$
である。右辺の級数は $\limsup(n^2|a_n|)^{1/n}=1/R$ より収束半径 $R$ の冪級数の $\rho< R$ における値なので有限である。ゆえに $z\to z_0$ のとき左辺は $0$ に収束し、$f'(z_0)=g(z_0)$ である。
$g$ もまた収束半径 $R$ の冪級数だから、同じ議論を繰り返して $f$ は何回でも微分可能であり、$k$ 回項別微分した式が得られる。$z=0$ を代入すると $f^{(k)}(0)=k!\,a_k$ である。

まず $U$ に含まれる開円板 $B$ 上で $f$ が定数であることを示す。$a,z\in B$ とし、実変数の関数 $\gamma(t):=f(a+t(z-a))$（$0\leq t\leq1$）を考える。線分 $a+t(z-a)$ は $B$ に含まれる（円板は凸である）。$z=a$ なら示すことはないので $z\neq a$ とし、$h:=s(z-a)$（$s$ は実数）とおくと、複素微分可能性の定義から
$$\frac{\gamma(t+s)-\gamma(t)}{s}=\frac{f(a+t(z-a)+h)-f(a+t(z-a))}{h}\,(z-a)\longrightarrow f'(a+t(z-a))(z-a)=0\qquad(s\to0)$$
であり、$\gamma$ は微分可能で $\gamma'=0$ である。$\gamma$ の実部と虚部はそれぞれ導関数が $0$ の実関数だから、実変数の 平均値の定理により定数であり、$f(z)=\gamma(1)=\gamma(0)=f(a)$ である。
次に $c\in f(U)$ を 1 つとり、$A:=\{z\in U\mid f(z)=c\}$ とおく。$A$ は連続関数による 1 点の逆像なので $U$ の 閉集合 であり、前段により $A$ の各点のまわりの開円板は $A$ に含まれるので $A$ は開集合でもある。$A\neq\emptyset$ で $U$ は連結だから $A=U$ である。

$f=u+iv$ とおく。$f$ が実数値なら $v=0$ であり、thm-holomorphic-function-cauchy-riemann により $u_x=v_y=0$、$u_y=-v_x=0$ なので $f'=u_x+iv_x=0$ であり、prop-holomorphic-function-zero-derivative により $f$ は定数である。$\operatorname{Re}f=u$ が定数のときも $u_x=u_y=0$ から $v_x=v_y=0$ となり同様である。$|f|$ が定数 $c$ のとき、$c=0$ なら $f=0$ であり、$c\neq0$ なら $f$ は零点を持たず $\bar f=c^2/f$ は正則である（prop-holomorphic-function-algebra）。すると $u=(f+\bar f)/2$ は実数値の正則関数だから定数であり、前段により $f$ は定数である。