開埋め込み

(i) ⇒ (ii)：$f=j_U\circ\alpha$ と書く。同型 $\alpha$ は同相写像で茎の写像はすべて同型であり、$j_U$ は $U$ から開集合 $U$ への同相写像で、茎の写像は恒等写像である（開部分スキーム の記事の定義の後の段落）。茎の写像は合成と両立する（$f^\sharp_y=\alpha^\sharp_y\circ j_U{}^\sharp_{\alpha(y)}$）ので、$f^\sharp_y$ は同型である。
(ii) ⇒ (i)：$U:=f(Y)$ とおく。$f$ の像は $U$ に入るので、開部分スキーム の記事の定理「開部分スキームの普遍性」により、$j_U\circ g=f$ となる射 $g\colon Y\to U$ がある。$j_U$ は単射なので、連続写像として $g$ は $f$ を $U$ への写像とみたものであり、仮定から同相写像である。点 $y$ での茎の写像は $f^\sharp_y=g^\sharp_y\circ j_U{}^\sharp_{f(y)}$ で、$j_U{}^\sharp_{f(y)}$ は恒等写像なので $g^\sharp_y=f^\sharp_y$ は同型である。
$g$ が同型であることを示す。$g$ は同相写像なので、$Y$ の開集合はすべて $U$ の開集合 $V$ の逆像 $g^{-1}(V)$ であり、$g(y)$ の開近傍 $V$ を動かすと $g^{-1}(V)$ は $y$ の開近傍全体を動く。よって押し出し $g_*\mathcal{O}_Y$ の $g(y)$ での茎は $\mathcal{O}_{Y,y}$ であり、層の射 $g^\sharp\colon\mathcal{O}_U\to g_*\mathcal{O}_Y$ の $g(y)$ での茎は $g^\sharp_y$ である。$g$ は全射なので $U$ のすべての点で茎の写像が同型であり、茎ですべて同型な層の射は同型である（層）。したがって $g$ は同相写像と層の同型の組、すなわち環付き空間の同型であり、逆射の茎の写像も同型（とくに局所準同型）なので、スキームの同型である。$\alpha:=g$ とおけば $f=j_U\circ\alpha$ である。$\square$

いずれも prop-open-immersion-criterion の条件 (ii) を確かめる。茎の写像は合成と両立し、開部分スキームの茎はもとの茎そのものなので、茎の写像の同型性は 1〜3 のどれでもただちに従う。以下、位相の条件を確かめる。
1．$f(Z)$ は $Y$ の開集合で、$g$ は $Y$ から開集合 $g(Y)$ への同相写像なので、$g(f(Z))$ は $g(Y)$ の開集合、したがって $X$ の開集合である。同相写像 $Z\to f(Z)$ と $f(Z)\to g(f(Z))$ の合成として、$g\circ f$ は $Z$ から $g(f(Z))$ への同相写像である。
2．$f$ は $Y$ から開集合 $f(Y)$ への同相写像なので、その制限は $f^{-1}(V)$ から $f(Y)\cap V$ への同相写像であり、$f(Y)\cap V$ は $V$ の開集合である。
3．単射性：$f(y)=f(y')\in V_i$ なら $y,y'\in f^{-1}(V_i)$ であり、$f_i$ は単射なので $y=y'$ である。$Y$ の開集合 $W$ について $f(W)=\bigcup_if_i(W\cap f^{-1}(V_i))$ であり、各 $f_i(W\cap f^{-1}(V_i))$ は $V_i$ の開集合、したがって $X$ の開集合なので、$f(W)$ は開集合である。よって $f$ は単射な連続開写像であり、像 $f(Y)$ は開集合で、$f$ は $Y$ から $f(Y)$ への同相写像である。$\square$

def-open-immersion により $f=j\circ\alpha$（$j\colon f(U)\to X$ は包含射、$\alpha\colon U\to f(U)$ は同型）と書く。
$g'$ の存在と一意性。$g\circ i$ の像は $g(V)\subset f(U)$ に入るので、開部分スキーム の記事の定理「開部分スキームの普遍性」により $j\circ h=g\circ i$ となる射 $h\colon V\to f(U)$ がただ 1 つある。$g':=\alpha^{-1}\circ h$ とおくと $f\circ g'=j\circ h=g\circ i$ である。$f\circ g''=g\circ i$ なら $j\circ(\alpha\circ g'')=j\circ h$ なので、同じ定理の一意性により $\alpha\circ g''=h$、すなわち $g''=g'$ である。
普遍性。$f\circ a=g\circ b$ とする。$g(b(T))=f(a(T))\subset f(U)$ なので $b(T)\subset V$ であり、同じ定理を開部分スキーム $V\subset X'$ に使うと、$i\circ c=b$ となる射 $c\colon T\to V$ がただ 1 つある。このとき
$$ f\circ(g'\circ c)=g\circ i\circ c=g\circ b=f\circ a $$
であり、$f$ はモノ射である（下の prop-open-immersion-monomorphism の前半。その証明はこの命題を使わない）から $g'\circ c=a$ である。$c$ の一意性は、$i\circ c=b$ だけで $c$ が決まることから従う。
最後の主張：底変換 $U\times_XX'\to X'$ はファイバー積の同型を除いて包含射 $i$ であり、$i$ は開埋め込みで、像は $V=g^{-1}(f(U))$ である。$\square$

$f=j\circ\alpha$ と書く。$f\circ a=f\circ b$ なら $j\circ(\alpha\circ a)=j\circ(\alpha\circ b)$ であり、包含射 $j$ はモノ射（開部分スキーム の記事の系「包含射はモノ射」）なので $\alpha\circ a=\alpha\circ b$、$\alpha$ は同型なので $a=b$ である。
後半。prop-open-immersion-base-change を $g=f$ に使うと、$V=f^{-1}(f(Y))=Y$、$i=\mathrm{id}_Y$ であり、$g'$ は $f\circ g'=f$ をみたすので前半により $g'=\mathrm{id}_Y$ である。よって $(Y,\mathrm{id}_Y,\mathrm{id}_Y)$ が $Y\times_XY$ であり、対角射は $\mathrm{id}_Y$ と同一視されて同型である。$\square$

1．閉埋め込みの像は閉集合である。逆に $f(Y)$ が閉集合とする。$f$ は $Y$ から閉集合 $f(Y)$ への同相写像である。層の射 $f^\sharp\colon\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_Y$ の全射性を茎で確かめる。閉埋め込み の記事の補題「閉集合への同相による押し出しの茎」により、$x=f(y)$ では $(f_*\mathcal{O}_Y)_x\cong\mathcal{O}_{Y,y}$ で、$f^\sharp$ の茎はこの同一視のもとで $f^\sharp_y$ に当たり、prop-open-immersion-criterion により同型、とくに全射である。$x\notin f(Y)$ では同じ補題により $(f_*\mathcal{O}_Y)_x=0$ なので全射である。よって $f$ は閉埋め込みの定義（同記事の定義「閉埋め込み」）の 2 条件をみたす。
2．$f$ が全射なら、$f$ は $Y$ から $X$ 全体への同相写像で、すべての点で茎の写像が同型である。prop-open-immersion-criterion の証明と同じく、層の射 $f^\sharp\colon\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_Y$ はすべての茎で同型なので同型であり、$f$ はスキームの同型である。
3．$f(Y)$ は空でない開かつ閉集合で、$X$ は連結なので $f(Y)=X$ である。2 により $f$ は同型である。$\square$