円周角の定理

$\angle XOQ=|\xi|$ は角 $\xi$ の定め方そのものである。$OP=OX=r$ なので三角形 $OPX$ は二等辺三角形であり、底角 $\angle OPX$ と $\angle OXP$ は等しい。その値を $a$ とおく。$O$ は線分 $PQ$ の上にあるので、$\angle XOQ$ は三角形 $OPX$ の頂点 $O$ における外角であり、外角の定理により $\angle XOQ=a+a=2a$ である。また半直線 $PO$ と半直線 $PQ$ は一致するので $\angle XPQ=\angle XPO=a$ である。よって $\angle XPQ=\frac12\angle XOQ=\frac{|\xi|}2$ である。$\square$

$A,B$ を表す角を $\alpha,\beta$ とし、必要なら $A$ と $B$ の名前を入れ替えて $-180^\circ<\alpha<\beta<180^\circ$ とする。$P$（$\xi=180^\circ$）を含まない方の弧は、表す角が $\alpha$ と $\beta$ の間にある点の全体なので、def-inscribed-angle-arc によりその中心角は $\theta=\beta-\alpha$ である。直径 $PQ$ の端点 $Q$（$\xi=0$）の位置で次の 3 つの場合に分ける。
（1）$Q$ が $A$ または $B$ に一致する場合（中心 $O$ が角の辺の上にある場合）。$Q=A$ なら $\alpha=0<\beta$ であり、lem-inscribed-angle-diameter により $\angle APB=\angle QPB=\frac\beta2=\frac{\beta-\alpha}2$ である。$Q=B$ の場合も同様に $\angle APB=\angle APQ=\frac{|\alpha|}2=\frac{0-\alpha}2=\frac{\beta-\alpha}2$ である。
（2）$Q$ が $P$ を含まない方の弧の上にある場合（中心 $O$ が角の内部にある場合）。このとき $\alpha<0<\beta$ であり、$A$ と $B$ は直線 $PQ$ の反対側にある。lem-inscribed-angle-diameter により、半直線 $PA$ と $PB$ は半直線 $PQ$ とそれぞれ角 $\frac{|\alpha|}2$、$\frac\beta2$ をなし、その和 $\frac{\beta-\alpha}2$ は $180^\circ$ より小さい。反対側にある 2 本の半直線のなす角は、それらが共通の半直線 $PQ$ となす角の和なので
$$ \angle APB=\angle APQ+\angle QPB=\frac{-\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\beta-\alpha}{2} $$
である。
（3）$Q$ が $P$ を含む方の弧の上にある場合（中心 $O$ が角の外部にある場合）。このとき $\alpha,\beta$ は同じ符号である。$0<\alpha<\beta$ のとき、$A$ と $B$ は直線 $PQ$ の同じ側にあり、lem-inscribed-angle-diameter により $\angle APQ=\frac\alpha2<\frac\beta2=\angle BPQ$ である。同じ側にある 2 本の半直線のうち半直線 $PQ$ となす角が小さい $PA$ は角 $\angle BPQ$ の内部にあるので
$$ \angle APB=\angle BPQ-\angle APQ=\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2} $$
である。$\alpha<\beta<0$ のときも同様に $\angle APB=\angle APQ-\angle BPQ=\frac{|\alpha|}2-\frac{|\beta|}2=\frac{\beta-\alpha}2$ である。
$Q\ne P$ なので、どの場合も $\angle APB=\frac{\beta-\alpha}2=\frac\theta2$ が成り立つ。最後の主張は、$\theta<180^\circ$ なら $\theta=\angle AOB$、$\theta>180^\circ$ なら $\theta=360^\circ-\angle AOB$ であることから従う。$\square$

$P$ と $P'$ は同じ弧の上にあるので、$P$ を含まない方の弧と $P'$ を含まない方の弧は同じ弧 $AB$ である。その中心角を $\theta$ とすると、thm-inscribed-angle-main により $\angle APB=\frac\theta2=\angle AP'B$ である。$\square$

$A,B$ は直径の両端なので、$P$ を含まない方の弧は半円で、その中心角は $180^\circ$ である。thm-inscribed-angle-main により $\angle APB=90^\circ$ である。$\square$

$A,C$ を結ぶ 2 つの弧の中心角を $\theta_1,\theta_2$ とし、$B$ は中心角 $\theta_2$ の弧の上、$D$ は中心角 $\theta_1$ の弧の上にあるとする。$B$ を含まない方の弧の中心角は $\theta_1$、$D$ を含まない方の弧の中心角は $\theta_2$ なので、thm-inscribed-angle-main により
$$ \angle ABC+\angle CDA=\frac{\theta_1}2+\frac{\theta_2}2=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ $$
である。$\square$

$X$ は三角形の内部にあるので、半直線 $AX$ は辺 $PB$ と、その端点でない点 $Y$ で交わり、$X$ は線分 $AY$ の内部にある。$\angle AXB$ は三角形 $XYB$ の頂点 $X$ における外角なので、外角の定理により $\angle AXB=\angle XYB+\angle XBY>\angle XYB=\angle AYB$ である。また $\angle AYB$ は三角形 $AYP$ の頂点 $Y$ における外角なので $\angle AYB=\angle YAP+\angle APY>\angle APY=\angle APB$ である（$Y$ は線分 $PB$ の上にあるので半直線 $PY$ と $PB$ は一致する）。よって $\angle AXB>\angle APB$ である。$\square$

直線 $AB$ で分けられる 2 つの側のうち $C$ のある側を $H$ とする。$\Gamma$ の点で $H$ にあるもの全体は $A,B$ を結ぶ 1 つの弧であり、$C$ はその上にある。したがって cor-inscribed-angle-same-arc により、この弧の上のどの点 $X$ でも $\angle AXB=\angle ACB$ である。これで 2 が示された。
線分 $AB$ の中点を $M$ とする。$M$ は弦の内部の点なので $\Gamma$ の内部にある。
1 の場合、$M$ から $P$ を通る半直線をとる。$M$ と $P$ は $\Gamma$ の内部にあるので、この半直線は $P$ の先でちょうど 1 点 $X$ で $\Gamma$ と交わり、$P$ は線分 $MX$ の内部にある。$X$ は $M$ から $H$ の側へ延びる半直線の上にあるので $H$ にあり、$\angle AXB=\angle ACB$ である。$M$ は三角形 $ABX$ の辺 $AB$ の内部の点で、$P$ は頂点 $X$ と $M$ を結ぶ線分の内部にあるので、三角形 $ABX$ の内部にある。lem-inscribed-angle-interior-point により $\angle APB>\angle AXB=\angle ACB$ である。
3 の場合、線分 $MP$ の上の点の中心 $O$ からの距離は $M$ で半径より小さく、$P$ で半径より大きく、連続に変わるので、中間値の定理により、$M$ と $P$ の間に距離がちょうど半径になる点 $X$ がある。$X$ は $\Gamma$ の上にあり、$M$ から $H$ の側へ延びる線分の上にあるので $H$ にあり、$\angle AXB=\angle ACB$ である。$X$ は三角形 $ABP$ の頂点 $P$ と辺 $AB$ の内部の点 $M$ を結ぶ線分の内部にあるので、三角形 $ABP$ の内部にある。lem-inscribed-angle-interior-point により $\angle ACB=\angle AXB>\angle APB$ である。
$P$ は $\Gamma$ の内部・周上・外部のどれか 1 つにあるので、最後の主張は 1〜3 から従う。$\square$

$\Gamma$ を $A,B,C$ を通る円とする（3 点は一直線上にない）。凸四角形なので、$B$ と $D$ は対角線を含む直線 $AC$ の反対側にある。$\Gamma$ の点で直線 $AC$ について $B$ と反対側にあるものは $A,C$ を結ぶ弧をなすので、その上に点 $D'$ をとる。$A,B,C,D'$ はこの順に $\Gamma$ の上に並ぶので、cor-inscribed-angle-cyclic-quadrilateral により $\angle AD'C=180^\circ-\angle ABC=\angle ADC$ である。$D$ と $D'$ は直線 $AC$ の同じ側にあるので、thm-inscribed-angle-converse（$A,C,D'$ を通る円 $\Gamma$ について）により $D$ は $\Gamma$ の上にある。$\square$

半径を $1$ とし、$O$ を原点、$B=(0,-1)$、$\ell$ を直線 $y=-1$、$T=(t,-1)$（$t>0$）となるように座標をとる（必要なら左右を反転する）。このとき $B$ から $T$ の側へ向かう向きは反時計回りである。$D$ を $(\cos\varphi,\sin\varphi)$（$-90^\circ<\varphi<270^\circ$）と表し、$\psi:=\varphi+90^\circ$ とおくと、$0<\psi<360^\circ$ で、$B$ から反時計回りに $D$ に至る弧の中心角は $\theta=\psi$ である。$\cos\varphi=\sin\psi$、$\sin\varphi=-\cos\psi$ と倍角の公式から
$$ D-B=(\sin\psi,\ 1-\cos\psi)=2\sin\frac\psi2\Bigl(\cos\frac\psi2,\ \sin\frac\psi2\Bigr) $$
であり、$0<\frac\psi2<180^\circ$ なので $\sin\frac\psi2>0$ である。よって半直線 $BD$ は、半直線 $BT$ の向き $(1,0)$ から反時計回りに角 $\frac\psi2$ だけ回した向きをもち、$\angle TBD=\frac\psi2=\frac\theta2$ である。$E$ がこの弧の上になければ、$E$ を含まない方の弧 $BD$ はこの弧なので、thm-inscribed-angle-main により $\angle BED=\frac\theta2=\angle TBD$ である。$\square$