トーリック多様体

要点：1 は「有限生成の錐は多面体」という Fourier–Motzkin の消去法の帰結で、2・3 は Farkas の補題による分離、4 は 3 を 2 回使う。

1. lem-toric-duality の 2 により $\sigma^\vee=\operatorname{cone}(m_1,\dots,m_s)$、$m_j\in M$ と書ける。$K:=\{\sum_jt_jm_j\mid0\le t_j\le1\}$ は有界なので $K\cap M$ は有限集合である。$m\in S_\sigma$ を $m=\sum_j\lambda_jm_j$（$\lambda_j\ge0$）と書くと、$m=\sum_j\lfloor\lambda_j\rfloor m_j+p$、$p:=\sum_j(\lambda_j-\lfloor\lambda_j\rfloor)m_j$ であり、$p=m-\sum_j\lfloor\lambda_j\rfloor m_j\in M\cap K$ である。よって有限集合 $(K\cap M)\cup\{m_1,\dots,m_s\}$ が $S_\sigma$ を生成し、対応する $\chi^m$ が $k[S_\sigma]$ を生成する。
2. lem-toric-duality の 1 の $m_j$ について $m_0:=m_1+\dots+m_s\in S_\sigma$ とおく。$u\in\sigma$ で $\langle m_0,u\rangle=0$ なら、すべての $j$ で $\langle m_j,u\rangle=0$、したがって $\langle m_j,-u\rangle\ge0$ で $-u\in\sigma$ となり、強凸性から $u=0$ である。よって $\sigma=\operatorname{cone}(u_1,\dots,u_r)$（$u_i\ne0$）について $\langle m_0,u_i\rangle>0$ であり、任意の $m\in M$ に対し十分大きい整数 $p$ で $m+pm_0\in S_\sigma$ となる。ゆえに $\chi^m=\chi^{m+pm_0}/\chi^{pm_0}\in k[S_\sigma]_{\chi^{m_0}}$ であり、$k[S_\sigma]_{\chi^{m_0}}=k[M]$ である。$k[S_\sigma]\subset k[M]$ は整域なので $U_\sigma$ は整で、空でない開集合 $D(\chi^{m_0})=T_N$ は稠密である。次元が $n$ であることは Dan78 3.1 による（関数体 $k(M)$ の $k$ 上の超越次数が $n$）。
3. $\sigma=\operatorname{cone}(u_1,\dots,u_r)$、$u_i\ne0$ と書き（$\sigma=\{0\}$ なら $r=0$ で $k[S_\sigma]=k[M]$）、$H_i:=\{m\in M\mid\langle m,u_i\rangle\ge0\}$ とおくと $S_\sigma=\bigcap_iH_i$ である。単項式の台の言い換えにより $k[S_\sigma]=\bigcap_ik[H_i]$（$k[M]$ の中で）である。各 $k[H_i]$ は正規である。
   詳細

   $u_i=d\,u'$（$d$ は正の整数、$u'\in N$ は原始的、すなわち $u'=d'w$、$w\in N$ なら $d'=\pm1$）と書く。$N/\mathbb{Z}u'$ は捩れのない有限生成アーベル群なので自由であり、$u'$ は $N$ の基底 $u'=e_1,e_2,\dots,e_n$ に延びる。双対基底 $e_j^*$ を使うと $H_i=\{\sum a_je_j^*\mid a_1\ge0\}$ なので、$k[H_i]=k[x_1,x_2^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]$（$x_j=\chi^{e_j^*}$）である。これは多項式環の局所化で一意分解整域であり、一意分解整域は整閉である（$a/b$ が既約分数で整なら、$b$ の素因子 $p$ は $a^{\ell}$ を割り、$p\mid a$ となって矛盾）。

   $k[S_\sigma]$ と各 $k[H_i]$ の商体はどれも $k(M)$ である（2 による）。$z\in k(M)$ が $k[S_\sigma]$ 上整なら、各 $k[H_i]$ 上整なので $z\in k[H_i]$、よって $z\in\bigcap_ik[H_i]=k[S_\sigma]$ である。
4. $S_\sigma\subset S_\tau$ と $-m\in S_\tau$（$\tau\subset m^\perp$）から $\supset$ は明らか。$m'\in S_\tau$ をとる。$\sigma=\operatorname{cone}(u_1,\dots,u_r)$ の生成元のうち、$u_i\in\tau$ なら $\langle m',u_i\rangle\ge0$、$\langle m,u_i\rangle=0$ であり、$u_i\notin\tau$ なら $\langle m,u_i\rangle>0$ である。よって十分大きい整数 $p$ で $\langle m'+pm,u_i\rangle\ge0$（すべての $i$）、すなわち $m'+pm\in S_\sigma$ で、$m'=(m'+pm)+p(-m)$ である。環については $k[S_\sigma+\mathbb{Z}_{\ge0}(-m)]=k[S_\sigma]_{\chi^m}$ による。
5. $m\in S_\sigma$ なら $\chi^m\otimes\chi^m\in k[M]\otimes_kk[S_\sigma]$ なので、$\chi^m\mapsto\chi^m\otimes\chi^m$ は $k$ 代数の準同型 $k[S_\sigma]\to k[M]\otimes_kk[S_\sigma]$ を定める。結合律と単位元の条件は $\chi^m$ ごとに確かめればよく、$T_N$ の積と同じ式である。$\square$

有限型・正規・整・次元・$T_N$ の稠密性は、有限個の $U_\sigma$ で覆われ、それらがすべて $T_N$ を稠密な開集合として含むこと（thm-toric-affine）から従う。分離性を示す。$\sigma,\sigma'\in\Sigma$、$\tau:=\sigma\cap\sigma'$ とすると $U_\sigma\cap U_{\sigma'}=U_\tau$ はアフィンなので、Stacks Tag 01KP により
$$ k[S_\sigma]\otimes_kk[S_{\sigma'}]\to k[S_\tau]\quad\text{が全射}\qquad\Longleftarrow\qquad S_\tau=S_\sigma+S_{\sigma'} $$
を示せばよい。
分離の補題：$m\in S_\sigma$、$-m\in S_{\sigma'}$ で $\tau=\sigma\cap m^\perp=\sigma'\cap m^\perp$ となる $m$ がある。これを認めると、thm-toric-affine の 4 により $S_\tau=S_\sigma+\mathbb{Z}_{\ge0}(-m)\subset S_\sigma+S_{\sigma'}$ で、逆の包含は明らかである。
補題の証明：$\tau$ は $\sigma$ の面なので $\tau=\sigma\cap m_1^\perp$（$m_1\in S_\sigma$）、$\sigma'$ の面なので $\tau=\sigma'\cap m_2^\perp$（$m_2\in S_{\sigma'}$）と書ける。$-m_1\in\tau^\vee$ なので、lem-toric-duality の 4・5 と 2 により $-m_1=a_1+b_1$（$a_1\in\sigma^\vee$、$b_1\in\sigma'^\vee$、ともに有理点）と書け、同様に $-m_2=a_2+b_2$ と書ける。
$$ m:=m_1+a_1+a_2=-(m_2+b_2+b_1) $$
とおくと（両辺が等しいことは $m_1+a_1=-b_1$、$m_2+b_2=-a_2$ から）、$m\in\sigma^\vee$、$-m\in\sigma'^\vee$ である。$v\in\sigma$ で $\langle m,v\rangle=0$ なら、3 つの項はどれも $\ge0$ なので $\langle m_1,v\rangle=0$、すなわち $v\in\tau$ である。逆に $v\in\tau$ なら $\langle m_1,v\rangle=0$ であり、$\langle a_1,v\rangle+\langle b_1,v\rangle=0$ で両項は $\ge0$（$v\in\sigma\cap\sigma'$）なので $\langle a_1,v\rangle=0$、同様に $\langle a_2,v\rangle=0$ で、$\langle m,v\rangle=0$ である。よって $\sigma\cap m^\perp=\tau$ であり、$\sigma'$ の側も対称な議論で $\sigma'\cap m^\perp=\tau$ である。$m$ は有理点なので、正の整数倍して $M$ の元にとれる。$\square$

1. 延びることは、$k[S_\sigma]\to K$、$\chi^m\mapsto t^{\langle m,v\rangle}$ の像が $R$ に入ること、すなわち $t^{\langle m,v\rangle}\in R$（すべての $m\in S_\sigma$）と同値である。$t^a\in R$ と $a\ge0$ は同値なので、これは $\langle m,v\rangle\ge0$（すべての $m\in S_\sigma$）である。$\sigma^\vee$ は $S_\sigma$ の元で生成されるので（lem-toric-duality の 2）、これは $v\in(\sigma^\vee)^\vee=\sigma$（同 3）と同値である。
2. $v\in\sigma\in\Sigma$ なら 1 により延びる。逆に延長 $\operatorname{Spec}R\to X_\Sigma$ があるとき、閉点の像を含む $U_\sigma$ をとる。生成点の像は $T_N\subset U_\sigma$ にあり、$\operatorname{Spec}R$ は 2 点からなるので、延長は $U_\sigma$ を経由する。1 により $v\in\sigma$ である。$\square$

$X_\Sigma$ は分離的な有限型の $k$ スキームなので（thm-toric-separated）、固有射 の定理「固有性の付値判定法」を付値環 $R=k[t]_{(t)}$ に使える。固有なら、任意の $v\in N$ について $\gamma_v$ は $\operatorname{Spec}R\to X_\Sigma$ に延び、prop-toric-limit の 2 により $v\in|\Sigma|$ である。$|\Sigma|$ は錐の和なので正の実数倍で閉じ、$N$ を含むから $N\otimes\mathbb{Q}$ を含む。$|\Sigma|$ は有限個の閉集合の和で閉であり、$N\otimes\mathbb{Q}$ は $N_{\mathbb{R}}$ で稠密なので $|\Sigma|=N_{\mathbb{R}}$ である。$\square$