Lorentz空間

$q<\infty$ の場合：各 $s$ で $f^*(s)^q=\int_0^\infty qt^{q-1}\mathbf 1[f^*(s)>t]\,dt$ である（$f^*(s)=\infty$ でも両辺 $\infty$）。上の同値から $\{(s,t)\mid f^*(s)>t\}=\{(s,t)\mid s<\lambda_f(t)\}$ であり、$\lambda_f$ は単調なのでこの集合は可測である。Tonelli の定理で積分の順序を替えると
$$ \int_0^\infty s^{q/p}f^*(s)^q\,\frac{ds}{s}=\int_0^\infty qt^{q-1}\Bigl(\int_0^{\lambda_f(t)}s^{q/p-1}\,ds\Bigr)dt=\int_0^\infty qt^{q-1}\,\frac pq\,\lambda_f(t)^{q/p}\,dt $$
であり、これが主張の右辺である。
$q=\infty$ の場合：$V:=\sup_ss^{1/p}f^*(s)$、$W:=\sup_tt\lambda_f(t)^{1/p}$ とおく。$s>0$ と $0< t< f^*(s)$ をとると $s<\lambda_f(t)$ なので $ts^{1/p}< t\lambda_f(t)^{1/p}\le W$ であり、$t\uparrow f^*(s)$ として $s^{1/p}f^*(s)\le W$ を得る（$f^*(s)=\infty$ ならすべての $t>0$ で $ts^{1/p}\le W$ となり $W=\infty$）。よって $V\le W$ である。逆に $t>0$ と $0< s<\lambda_f(t)$ をとると $f^*(s)>t$ なので $s^{1/p}t< s^{1/p}f^*(s)\le V$ であり、$s\uparrow\lambda_f(t)$ として $t\lambda_f(t)^{1/p}\le V$ を得る（$\lambda_f(t)=\infty$ なら $V=\infty$）。よって $W\le V$ である。$\square$

1：prop-lorentz-distribution で $q=p$ とすると $\|f\|_{L^{p,p}}^p=\int_0^\infty pt^{p-1}\lambda_f(t)\,dt$ であり、右辺は 層ケーキ表示 の定理「重み付きの層ケーキ表示」（$g(t)=pt^{p-1}$、$G(s)=s^p$）により $\int|f|^p\,d\mu$ に等しい。2 は prop-lorentz-distribution の $q=\infty$ の場合である。$\square$

1：$a:=f^*(s_1)$、$b:=g^*(s_2)$ が有限としてよい。上の同値を $t=a$ に使うと、$f^*(s_1)>a$ は成り立たないので $s_1\ge\lambda_f(a)$ であり、同様に $s_2\ge\lambda_g(b)$ である。$\{|f+g|>a+b\}\subset\{|f|>a\}\cup\{|g|>b\}$ なので $\lambda_{f+g}(a+b)\le\lambda_f(a)+\lambda_g(b)\le s_1+s_2$ であり、$f^*$ の定義の下限から $(f+g)^*(s_1+s_2)\le a+b$ である。
2：1 で $s_1=s_2=s/2$ とすると $(f+g)^*(s)\le f^*(s/2)+g^*(s/2)$ である。置換 $s=2u$ により $s\mapsto s^{1/p}f^*(s/2)$ の $L^q(ds/s)$ ノルムは $2^{1/p}\|f\|_{L^{p,q}}$ に等しい。$L^q(ds/s)$ のノルムは $q\ge1$ なら三角不等式を、$0< q< 1$ なら $(x+y)^q\le x^q+y^q$ から定数 $2^{1/q-1}$ の準三角不等式を満たすので、主張を得る。
3：前半は $(cf)^*=|c|f^*$ による。$\|f\|_{L^{p,q}}=0$ なら $f^*(s)=0$ がほとんどすべての $s>0$ で成り立ち、$f^*$ は非増加なのですべての $s>0$ で成り立つ。ある $t>0$ で $\lambda_f(t)>0$ なら $[0,\lambda_f(t))$ の上で $f^*>t$ となり矛盾するので、すべての $t>0$ で $\lambda_f(t)=0$、すなわち $f=0$（ほとんどいたるところ）である。$\square$

$s>0$ を固定する。$s^{q/p}=\frac qp\int_0^su^{q/p}\,\frac{du}{u}$ であり、$u\le s$ では $f^*(s)\le f^*(u)$ なので
$$ \bigl(s^{1/p}f^*(s)\bigr)^q=\frac qp\int_0^su^{q/p}f^*(s)^q\,\frac{du}u\le\frac qp\int_0^s\bigl(u^{1/p}f^*(u)\bigr)^q\,\frac{du}u\le\frac qp\|f\|_{L^{p,q}}^q $$
である。$s$ について上限をとると $\|f\|_{L^{p,\infty}}\le(q/p)^{1/q}\|f\|_{L^{p,q}}$ を得る。$r<\infty$ なら、被積分関数を $(s^{1/p}f^*)^{r-q}\cdot(s^{1/p}f^*)^q$ と分けて前半を $\|f\|_{L^{p,\infty}}^{r-q}$ で抑えると
$$ \|f\|_{L^{p,r}}^r\le\|f\|_{L^{p,\infty}}^{r-q}\|f\|_{L^{p,q}}^q\le\Bigl(\frac qp\Bigr)^{(r-q)/q}\|f\|_{L^{p,q}}^r $$
であり、$r$ 乗根をとればよい。最後の包含は thm-lorentz-special の 1 による。$\square$

$s\ge\mu(X)$ ならすべての $t$ で $\lambda_f(t)\le s$ なので $f^*(s)=0$ である。$s>0$ では $f^*(s)\le s^{-1/p_1}\|f\|_{L^{p_1,\infty}}\le C_1s^{-1/p_1}\|f\|_{L^{p_1,q_1}}$ である（thm-lorentz-nesting）。$\varepsilon:=1/p_0-1/p_1>0$ とおくと、$q_0<\infty$ なら
$$ \|f\|_{L^{p_0,q_0}}^{q_0}\le C_1^{q_0}\|f\|_{L^{p_1,q_1}}^{q_0}\int_0^{\mu(X)}s^{\varepsilon q_0}\,\frac{ds}s=\frac{C_1^{q_0}}{\varepsilon q_0}\mu(X)^{\varepsilon q_0}\|f\|_{L^{p_1,q_1}}^{q_0} $$
であり、$q_0=\infty$ なら $\sup_{0< s< \mu(X)}s^{\varepsilon}\cdot C_1\|f\|_{L^{p_1,q_1}}$ で抑えられる。$\square$

2 を示す。$\log f(x)=-\frac1p\log x-a\log(b-\log x)$ の導関数は $\frac1x\bigl(\frac a{b-\log x}-\frac1p\bigr)$ で、$b-\log x>b=ap$ なので負である。よって $f$ は $(0,1)$ 上で連続かつ狭義減少であり、$\{f>t\}$ は区間 $(0,x_t)$ の形なので、$0< s< 1$ で $f^*(s)=f(s)$、$s\ge1$ で $f^*(s)=0$ である。$q<\infty$ なら、置換 $u=b-\log s$ により
$$ \|f\|_{L^{p,q}}^q=\int_0^1(b-\log s)^{-aq}\,\frac{ds}s=\int_b^\infty u^{-aq}\,du $$
であり、これは $aq>1$ のときに限り有限である。$q=\infty$ なら $\sup_{0< s< 1}(b-\log s)^{-a}=b^{-a}<\infty$ である。$\square$

層ケーキ表示 の定理「再配列不等式」を $|f|,|g|$ に使うと $\int_X|fg|\,d\mu\le\int_0^\infty f^*(s)g^*(s)\,ds$ である（$|f|$ の再配列は $f^*$）。$1/p+1/p'=1$ なので
$$ \int_0^\infty f^*(s)g^*(s)\,ds=\int_0^\infty\bigl(s^{1/p}f^*(s)\bigr)\bigl(s^{1/p'}g^*(s)\bigr)\,\frac{ds}s $$
であり、測度 $ds/s$ についての Hölderの不等式 から右辺は $\|f\|_{L^{p,q}}\|g\|_{L^{p',q'}}$ 以下である。$\square$