CW近似

$A=\emptyset$ なら $Z=\emptyset$ でよいので、$A\ne\emptyset$ とする。基点の取り替えは写像と可換なので（弱ホモトピー同値 の補題「一つの基点で足りる」の証明）、$f_*$ の単射性・全射性は各弧状連結成分の一点で確かめれば足りる。CW 複体の各弧状連結成分は $0$ 胞体を含む（閉胞体は弧状連結で、その境界は低い骨格に入る）。

$Z_n:=A$、$f_n:=g$ から始め、$k=n+1,n+2,\dots$ について、$Z_{k-1}$ に $k$ 胞体を貼った CW 複体 $Z_k$ と、$f_k|_{Z_{k-1}}=f_{k-1}$ となる $f_k\colon Z_k\to X$ で、次の $(\mathrm Q_k)$ を満たすものを作る：すべての $z\in Z_k$ について $f_{k*}\colon\pi_i(Z_k,z)\to\pi_i(X,f_k(z))$ は $n\le i< k$ で単射、$n< i\le k$ で全射である（$i=0$ の単射は $\pi_0$ の写像の単射）。$(\mathrm Q_n)$ は条件を含まない。

$k$ 段の構成．$Z_{k-1}$ の各弧状連結成分 $C$ に $0$ 胞体 $v_C$ を選ぶ。(i) $k=1$（このとき $n=0$）では、$f_0(v_C)$ と $f_0(v_{C'})$ が $X$ の同じ弧状連結成分にある $C\ne C'$ ごとに、$v_C$ と $v_{C'}$ を結ぶ $1$ 胞体を貼り、その上の $f_1$ を $X$ の中の道で定める。$k\ge2$ では、$f_{k-1*}\colon\pi_{k-1}(Z_{k-1},v_C)\to\pi_{k-1}(X,f_{k-1}(v_C))$ の核の元 $\alpha$ ごとに、代表 $\varphi_\alpha\colon(S^{k-1},s_0)\to(Z_{k-1},v_C)$ を 胞体近似定理 の定理「胞体近似定理」で基点を止めて胞体写像にとり（像は $(k-1)$ 骨格に入る）、これを接着写像として $k$ 胞体を貼る。$f_{k-1}\circ\varphi_\alpha$ は基点を止めて定値写像とホモトピックなので、lem-cwa-extension により $D^k$ へ延び、これで $f$ を延ばす。(ii) $\pi_k(X,f_{k-1}(v_C))$ の元 $\beta$ ごとに、定値写像 $S^{k-1}\to\{v_C\}$ で $k$ 胞体を貼り、その閉包の球面の上で $f$ を $\beta$ の代表で定める。接着写像は $(k-1)$ 骨格に値をもつので $Z_k$ は CW 複体で、$f_k$ は CW複体 の定理「胞体ごとの判定」により連続である。

$(\mathrm Q_k)$ の確かめ．$Z_k\setminus Z_{k-1}$ の胞体は $k$ 次元なので、胞体近似定理 の系「胞体の次元と対の連結度」（$m=k-1$）により、$Z_k$ の各点は $Z_{k-1}$ の点と道で結べ、$x\in Z_{k-1}$ について包含 $\iota$ は $\pi_i(Z_{k-1},x)\to\pi_i(Z_k,x)$ に $i< k-1$ で同型（$i=0$ を含む）、$i=k-1$ で全射を誘導する。$f_{k-1}=f_k\circ\iota$ なので、$(\mathrm Q_{k-1})$ の $i< k-1$ の単射性と $i\le k-1$ の全射性は $f_k$ に受け継がれる。$i=k-1\ge1$ の単射性：$f_{k*}\gamma=0$ なら $\gamma=\iota_*\alpha$ と書け、$f_{k-1*}\alpha=0$ なので $\alpha$ には (i) で胞体が貼られており、$\varphi_\alpha$ は $Z_k$ の中で $D^k$ に延びるので、lem-cwa-extension により $\gamma=0$ である（$\pi_{k-1}$ は群）。$k=1$ の $\pi_0$ の単射性は (i) の $1$ 胞体による。$i=k$ の全射性は (ii) による。$Z_k$ の各弧状連結成分はある $v_C$ を含むので、どの基点でもよい。

極限．$Z:=\bigcup_kZ_k$ に、各 $Z_k$ との共通部分が閉である集合を閉集合とする位相を入れると、$Z$ は各 $Z_k$ を部分複体とする CW 複体で、$f|_{Z_k}:=f_k$ は連続である。$z\in Z$ と $i\ge n$ について、$z\in Z_k$ かつ $k\ge i+2$ となる $k$ をとる。$Z\setminus Z_k$ の胞体の次元は $k$ より大きいので、包含 $Z_k\to Z$ は $\pi_i$（$i< k$）に同型を誘導する（同系の 3）。これと $(\mathrm Q_k)$ から、$f_*$ は $\pi_i$ で単射で、$i>n$ では全射でもある。$\square$

lem-cwa-improve を包含 $A\hookrightarrow X$ に当てて $Z$ と $f$ をとる。$Z$ の各点は $A$ の点と道で結べる（胞体近似定理 の系「胞体の次元と対の連結度」の 1）。$\pi_0$：$X$ の各弧状連結成分は $A$ と交わるので $f_*$ は全射である。$n=0$ では単射も補題による。$n\ge1$ では、$A$ の 2 点 $a,a'$ が $X$ の中で道で結べれば、その道は $\pi_1(X,A,a')=0$ の元なので、相対ホモトピー群 の定理「圧縮判定法」により端点を止めて $A$ の中の道に変形でき、$a,a'$ は $A$ の中で結べる。よって単射である。$\pi_i$（$i\ge1$）は基点 $a\in A$ で調べれば足りる。$i< n$ では、包含 $A\to Z$ は同型（同系の 3）、包含 $A\to X$ も同型（相対ホモトピー群 の定理「対の長完全列」で両隣の相対群が $0$）なので、$f_*$ は同型である。$i=n\ge1$ では、$\pi_n(X,A,a)=0$ から $A\to X$ が $\pi_n$ に全射を誘導するので $f_*$ は全射で、補題により単射でもある。$i>n$ は補題による。よって $f$ は弱ホモトピー同値である。

$Z,X$ は CW 複体なので、Whiteheadの定理 の定理「Whitehead の定理」の 1 により $f$ はホモトピー同値である。CW 対 $(Z,A)$、$(X,A)$ はホモトピー拡張性質をもち（同記事の命題「CW 対のホモトピー拡張性質」）、$f|_A=\mathrm{id}_A$ なので、$f$ は $A$ を止めたホモトピー同値である（Hat02 Proposition 0.19, p. 16）。この定理は同書 Proposition 4.15（pp. 353–354）である。$\square$

空間 $W$．$W$ を $(Z'\times I)\sqcup X'$ を $(z,1)\sim f'(z)$ と $(a,t)\sim a$（$a\in A'$）で割った空間とし、$q$ を商写像、$j(z):=q(z,0)$、$k(x):=q(x)$、$r(q(z,t)):=f'(z)$、$r(q(x)):=x$ とする。$r\circ j=f'$、$r\circ k=\mathrm{id}_{X'}$ である。$R(q(z,t),s):=q(z,t+s(1-t))$、$R(q(x),s):=q(x)$ は同値関係と両立し、$I$ は局所コンパクトなので $q\times\mathrm{id}_I$ は商写像で（Hat02 Proposition A.17, p. 532）、$R$ は連続である。$R$ は $\mathrm{id}_W$ と $k\circ r$ を結ぶので、$r$ はホモトピー同値である。

$j$ は像への同相写像である。単射は定義から分かる。$A'$ の $Z'$ からの相対位相と $X'$ からの相対位相はどちらも CW 複体 $A'$ の位相なので、$Z'$ の開集合 $U$ に対し、$O\cap A'=U\cap A'$ となる $X'$ の開集合 $O$ がある。$V:=(U\times[0,\tfrac13))\cup((U\cap f'^{-1}(O))\times I)\cup(f'^{-1}(O)\times(\tfrac23,1])$ と $O$ の和は同値関係で飽和した開集合で（$a\in A'$ の線分 $\{a\}\times I$ は $a\in U\cap A'=O\cap A'$ のときだけ全体が入り、そうでなければ交わらない）、$q(V\sqcup O)$ は $W$ の開集合、$j^{-1}(q(V\sqcup O))=U$ である。よって $j(U)$ は $j(Z')$ の開集合である。

相対ホモトピー群．$r$ はホモトピー同値で $r\circ j=f'$ なので、すべての $z\in Z'$ で $j_*\colon\pi_i(Z',z)\to\pi_i(W,j(z))$ は $i>n'$ で全単射、$i=n'$ で単射である。$Z'$ を $j(Z')$ と同一視した対の長完全列（相対ホモトピー群 の定理「対の長完全列」）で、$i>n'$ なら $\pi_i(Z')\to\pi_i(W)$ は全射、$\pi_{i-1}(Z')\to\pi_{i-1}(W)$ は単射なので、同記事の系「包含が弱ホモトピー同値であるための条件」の必要性の証明と同じ議論で $\pi_i(W,j(Z'),j(z))=0$ である。よって $(W,j(Z'))$ は $i>n'$ で Whiteheadの定理 の条件 $(\mathrm C_i)$ を満たす。

存在．$(Z,A)$ は $n$ 連結な CW 対なので、thm-cwa-connected-pair により、$K\setminus A$ の胞体の次元がすべて $n$ より大きい CW 対 $(K,A)$ と、$A$ の上で恒等写像であるホモトピー同値 $u\colon K\to Z$、$v\colon Z\to K$（$uv\simeq\mathrm{id}_Z$、$vu\simeq\mathrm{id}_K$、どちらも $A$ の上で動かない）がある。$G:=k\circ g\circ f\circ u\colon K\to W$ は $A$ の上で $j\circ g$ に等しい（$g(A)\subset A'$ の点では $k=j$）。$K\setminus A$ の胞体の次元は $n'$ より大きいので、Whiteheadの定理 の補題「圧縮の条件による圧縮補題」により、$A$ の上で動かないホモトピーで $G$ を像が $j(Z')$ に入る $G'$ に変形できる。$h_K:=j^{-1}\circ G'$ とおくと $h_K|_A=g|_A$ で、ホモトピーに $r$ を合成すると $gfu=rG\simeq rG'=f'h_K$（$A$ の上で動かない）である。$h:=h_K\circ v$ とおくと $h|_A=g|_A$ で、$gf\simeq gfuv\simeq f'h_Kv=f'h$（$A$ の上で動かない）である。

一意性．$h_0,h_1$ が条件を満たすとする。$c(z,t):=q(z,t)$ は $j$ から $k\circ f'$ への $A'$ の上で動かないホモトピーなので、$jh_\nu\simeq kf'h_\nu\simeq kgf$（$\nu=0,1$。$A$ の上で動かない）であり、$A$ の上で動かないホモトピー $H\colon Z\times I\to W$ で $jh_0$ と $jh_1$ を結ぶものがある。$H\circ(u\times\mathrm{id}_I)$ は CW 複体 $K\times I$ の部分複体 $K\times\partial I\cup A\times I$ を $j(Z')$ に写し、残りの胞体 $e\times(0,1)$ の次元は $n+1$ より大きい。圧縮補題でこの部分複体の上で動かずに像を $j(Z')$ に入れ、$j^{-1}$ と合成すると、$h_0u$ と $h_1u$ を結ぶ $A$ の上で動かないホモトピーを得る。$v$ を合成すると $h_0\simeq h_0uv\simeq h_1uv\simeq h_1$（$A$ の上で動かない）である。

模型の一意性．2 つの $n$ 連結 CW 模型 $f\colon Z\to X$、$f'\colon Z'\to X$ に $g=\mathrm{id}_X$ で前半を両向きに当てて $h\colon Z\to Z'$、$h'\colon Z'\to Z$ を得る。$fh'h\simeq f'h\simeq f$（$A$ の上で動かない）なので、一意性を $f$ 自身と $\mathrm{id}_X$ に当てると $h'h\simeq\mathrm{id}_Z$ である。同様に $hh'\simeq\mathrm{id}_{Z'}$ である（どちらも $A$ の上で動かない）。この定理は Hat02 Proposition 4.18・Corollary 4.19（p. 355）である。$\square$

構成．thm-cwa-existence により $X_0$ の CW 近似 $f_0\colon Z_0\to X_0$ をとる。$X_0$ と交わらない $X$ の弧状連結成分ごとに $0$ 胞体を 1 つ $Z_0$ に非交和で加えた CW 複体 $Z_0'$ と、その $0$ 胞体をその成分の点に送り $Z_0$ の上では $f_0$ である $g\colon Z_0'\to X$ をとる。$g$ は $\pi_0$ に全射を誘導する。lem-cwa-improve を $n=0$ で当てて $Z\supset Z_0'$ と $f$ をとると、$f$ は $\pi_0$ で単射、$\pi_i$（$i\ge1$）で全単射で、$\pi_0$ の全射は $g$ から受け継ぐので、弱ホモトピー同値である。$Z_0$ は $Z$ の部分複体で $f|_{Z_0}=f_0$ である。

$i\ge2$．$z\in Z_0$ を基点とする対の長完全列（相対ホモトピー群 の定理「対の長完全列」）の部分 $\pi_i(Z_0)\to\pi_i(Z)\to\pi_i(Z,Z_0)\to\pi_{i-1}(Z_0)\to\pi_{i-1}(Z)$ と $X$ の側の列を $f$ が結び、両端の 4 つの写像は同型である。$i\ge2$ ではどの項も群で写像は準同型なので、五項補題（非可換群でも同じ図式追跡で成り立つ）により中央も同型である。$i=1$ では $\pi_1(Z,Z_0,z)$ は基点付き集合にすぎず、五項補題は使えない。

$i=1$ の全射．$x:=f(z)$ とし、$X_0$ の点 $y$ から $x$ への道 $\gamma$ をとる。$f_0$ は $\pi_0$ で全射なので、$w\in Z_0$ と $X_0$ の中の $f(w)$ から $y$ への道 $\delta$ があり、始点を $X_0$ の中で動かすと $[\delta\gamma]=[\gamma]$ である。$f$ は $\pi_0$ で単射なので $Z$ の中の $w$ から $z$ への道 $\sigma$ があり、$f$ は $\pi_1(Z,w)$ で全射なので、ループ $(\delta\gamma)\cdot(f\sigma)^{-1}$ はあるループ $\lambda$ の像 $f\lambda$ と端点を止めてホモトピックである。よって $\delta\gamma\simeq f(\lambda\sigma)$ で、$[\gamma]=f_*[\lambda\sigma]$ である。

$i=1$ の単射．$Z_0$ の点 $a,b$ から $z$ への道 $\alpha,\beta$ について $f_*[\alpha]=f_*[\beta]$ とし、定義のホモトピー $H_t$ の始点がたどる $X_0$ の道を $c$（$f(a)$ から $f(b)$ へ）とすると、$f\alpha\simeq c\cdot f\beta$（端点を止める）である。$f_0$ は $\pi_0$ で単射、$\pi_1$ で全射なので、$Z_0$ の中の $a$ から $b$ への道 $\rho$ で $f\rho\simeq c$（端点を止める）となるものがある。すると $f\alpha\simeq f(\rho\beta)$ で、$f$ は $\pi_1(Z,a)$ で単射なので $\alpha\simeq\rho\beta$（端点を止める）であり、始点を $\rho$ に沿って $Z_0$ の中で動かすと $[\alpha]=[\rho\beta]=[\beta]$ である。この定理の構成は Hat02 Example 4.14（p. 353）による。$\square$