原始関数

$G=F+C$ なら $G'=F'=f$ である。逆に $G$ も原始関数なら $(G-F)'=0$ なので、平均値の定理 の記事の系「導関数が0なら定数」により $G-F$ は $I$ 上で定数である（微分積分学の基本定理 の記事の系「連続関数の原始関数」の後半と同じ議論）。$\square$

1：$x\in U$ について、$x$ を含み $U$ に含まれる開区間全体の和集合を $J_x$ とする。$U$ は開集合なので、そのような開区間は少なくとも 1 つある。$x$ を共通に含む区間の和集合は区間であり（その 2 点 $y< z$ をとると、$y$ を含む区間と $z$ を含む区間はともに $x$ を含むので、合わせて $[y,z]$ を含む）、開区間の和集合なので開集合であるから、$J_x$ は $U$ に含まれる開区間で、$x$ を含むものの中で最大である。$J_x\cap J_y\ne\emptyset$ なら $J_x\cup J_y$ は共通の点を含む 2 つの開区間の和として $U$ に含まれる開区間であり、$x$ を含むので $J_x$ の最大性から $J_x\cup J_y\subset J_x$、同様に $\subset J_y$ となって $J_x=J_y$ である。よって $\{J_x\mid x\in U\}$ は $U$ を互いに交わらない開区間に分け、各 $J_x$ は $U$ に含まれる開区間の中で極大である。逆に、$U$ に含まれる極大な開区間 $J$ は、その点 $x$ について $J\subset J_x$ なので $J=J_x$ であり、分け方はただ 1 通りである。
2：$G=F+c_\lambda$（$J_\lambda$ 上）なら $G'=F'=f$ である。逆に $G$ も原始関数なら、$G-F$ は各開区間 $J_\lambda$ 上で微分可能で導関数が $0$ なので、prop-antider-interval と同じく 平均値の定理 の記事の系「導関数が0なら定数」により $J_\lambda$ 上で定数である。

$\varepsilon>0$ をとる。$L$ の定義から、$0<\delta\le\eta$ を、$c< t< c+\delta$ ならば $|F'(t)-L|<\varepsilon$ となるようにとる。$c< x< c+\delta$ とすると、$F$ は $[c,x]$ 上で連続（$c$ では右に連続、$(c,x]$ では微分可能なので連続）、$(c,x)$ 上で微分可能なので、平均値の定理 により
$$ \frac{F(x)-F(c)}{x-c}=F'(\xi) $$
となる $\xi\in(c,x)$ がある。$c<\xi< c+\delta$ なので $\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-L\right|=|F'(\xi)-L|<\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので主張が成り立つ。左側は $x\mapsto F(-x)$ に当てればよい。

$F$ は $c$ で微分可能なので右に連続であり、thm-antider-one-sided により右側微分係数は $\lim_{x\to c+0}f(x)$ に等しい。一方、$F$ は $c$ で微分可能なので右側微分係数は $F'(c)=f(c)$ である。左側も同様である。両側の極限が存在して $f(c)$ に等しければ $f$ は $c$ で連続なので、最後の主張が従う。

$c=0$ のとき。 $\varphi(x):=x^2\cos\frac1x$（$x\ne0$）、$\varphi(0):=0$ とおく。$x\ne0$ では積の微分法と連鎖律により
$$ \varphi'(x)=2x\cos\frac1x+x^2\cdot\Bigl(-\sin\frac1x\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac1{x^2}\Bigr)=2x\cos\frac1x+\sin\frac1x $$
である。$x=0$ では $\left|\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\right|=\left|x\cos\frac1x\right|\le|x|$ なので $\varphi'(0)=0$ である。次に $h(x):=2x\cos\frac1x$（$x\ne0$）、$h(0):=0$ とおくと、$|h(x)|\le2|x|$ なので $h$ は $0$ で連続であり、$0$ 以外でも連続である。微分積分学の基本定理 の記事の系「連続関数の原始関数」により、$H(x):=\int_0^xh(t)\,dt$ は $\mathbb{R}$ 上で $H'=h$ を満たす。$G:=\varphi-H$ とおくと、$x\ne0$ で $G'(x)=\varphi'(x)-h(x)=\sin\frac1x$、$x=0$ で $G'(0)=0-0=0$ である。よって $G'=s_0$ であり、$G$ は $s_0$ の原始関数である。
$c\ne0$ のとき。 $s_c$ が原始関数 $K$ をもつと仮定する。$K-G$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で、$(K-G)'=s_c-s_0=c\,\delta_0$（$\delta_0$ は ex-antider-no-antiderivative の 2 の関数）である。$c\,\delta_0$ は $0$ で右側極限 $0$ をもつので、cor-antider-no-jump により $c\,\delta_0(0)=0$、すなわち $c=0$ となり、仮定に反する。

$x\ne0$ では $s_0(x)^2=\sin^2\frac1x=\frac12-\frac12\cos\frac2x$ であり、$s_0(0)^2=0$ である。まず $u(x):=\cos\frac2x$（$x\ne0$）、$u(0):=0$ が原始関数をもつことを示す。$\psi(x):=x^2\sin\frac2x$（$x\ne0$）、$\psi(0):=0$ は、prf-antider-oscillating と同じ計算で $\mathbb{R}$ 上微分可能で、$\psi'(x)=2x\sin\frac2x-2\cos\frac2x$（$x\ne0$）、$\psi'(0)=0$ である。$k(x):=2x\sin\frac2x$（$x\ne0$）、$k(0):=0$ は連続なので原始関数 $K$ をもち、$\frac12(K-\psi)$ の導関数は、$x\ne0$ で $\cos\frac2x$、$x=0$ で $0$ である。よって $u$ は原始関数 $U:=\frac12(K-\psi)$ をもつ。
すると $w(x):=\frac12-\frac12u(x)$ は原始関数 $\frac x2-\frac12U(x)$ をもち、$w(0)=\frac12$、$x\ne0$ で $w(x)=s_0(x)^2$ である。つまり $s_0^2=w-\frac12\delta_0$ である。$s_0^2$ が原始関数をもつなら、$\frac12\delta_0=w-s_0^2$ も原始関数をもつことになるが、これは ex-antider-no-antiderivative の 2 に反する。