放物線（高校数学）

同義語：parabola (high school mathematics)

概要

放物線（parabola）とは、点 $F$（焦点）と $F$ を通らない直線 $\ell$（準線）から等距離にある点全体である。焦点 $(p,0)$、準線 $x=-p$（$p\ne0$）の放物線は $y^2=4px$、焦点 $(0,p)$、準線 $y=-p$ の放物線は $x^2=4py$ で表される。2 次関数 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）のグラフは、焦点 $\left(-\frac b{2a},\frac{4ac-b^2+1}{4a}\right)$、準線 $y=\frac{4ac-b^2-1}{4a}$ の放物線であり、逆に準線が $x$ 軸に平行な放物線は 2 次関数のグラフである。どの 2 つの放物線も相似で、開き方の違いは縮尺の違いにすぎない。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 2点間の距離, 2次関数の最大・最小, 直線の方程式と点と直線の距離

高校での出発点：2 つの「放物線」

数学 I では、2 次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフを 放物線 と呼んだ。数学 C では、放物線を「定点と定直線から等距離にある点の集まり」と定義し直し、方程式 $y^2=4px$ を習う。同じ名前の 2 つの曲線が本当に同じものかを、まず数で確かめる。

$y=\frac14x^2$ で距離を比べる

グラフ $y=\frac14x^2$ の上の点と、点 $F(0,1)$、直線 $\ell:y=-1$ を考える。点 $P$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

  1. $P(2,1)$：$PF=\sqrt{4+0}=2$、$PH=1-(-1)=2$。
  2. $P(4,4)$：$PF=\sqrt{16+9}=5$、$PH=4+1=5$。
  3. $P(-6,9)$：$PF=\sqrt{36+64}=10$、$PH=9+1=10$。
    どの点でも $PF=PH$ である。

放物線 y=x²/4 の上の点 P(4,4)、P(−6,9) から焦点 F(0,1) までの距離と準線 y=−1 までの距離がそれぞれ 5 と 10 で等しいことを見る図 放物線 y=x²/4 の上の点 P(4,4)、P(−6,9) から焦点 F(0,1) までの距離と準線 y=−1 までの距離がそれぞれ 5 と 10 で等しいことを見る図

$y=x^2$ では焦点はどこか

グラフ $y=x^2$ では、点 $F\left(0,\frac14\right)$ と直線 $y=-\frac14$ で同じことが起こる。$P(1,1)$ では $PF=\sqrt{1+\frac9{16}}=\frac54$、$PH=1+\frac14=\frac54$ である。$P(2,4)$ では $PF=\sqrt{4+\frac{225}{16}}=\sqrt{\frac{289}{16}}=\frac{17}4$、$PH=4+\frac14=\frac{17}4$ である。

2 つの例から、次の問いが出てくる。

  1. 「焦点と準線から等距離」と方程式 $y^2=4px$（または $x^2=4py$）は、ちょうど同じ点の集まりを表すのか。→ thm-par-standard
  2. どの 2 次関数のグラフも、焦点と準線をもつ放物線なのか。逆はどうか。→ thm-par-graph
  3. $y=x^2$ と $y=3x^2$ は「開き方」が違うが、形として違うのか。→ thm-par-similar
    高校の計算この記事での見方ボックス
    距離を 2 乗して整理する1 回の 2 乗で同値になるthm-par-standard
    平方完成して頂点を求める焦点は頂点から $\frac1{4a}$ だけ上（$a>0$ のとき）thm-par-graph
    $y=ax^2$ の $a$ を変えるすべての放物線は互いに相似thm-par-similar

放物線の定義

放物線

平面上の点 $F$ と、$F$ を通らない直線 $\ell$ について、$F$ までの距離と $\ell$ までの距離が等しい点 $P$ 全体を、$F$ を 焦点、$\ell$ を 準線 とする 放物線 という。$F$ を通り $\ell$ に垂直な直線を 軸、軸と放物線の交点を 頂点 という。

点 $P$ と直線 $\ell$ の距離は、$P$ から $\ell$ に下ろした垂線の足 $H$ との距離 $PH$ である。頂点は、$F$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $K$ とすると、線分 $FK$ の中点である（軸の上で $PF=PH$ を満たす点は中点だけ）。$F$ が $\ell$ の上にあるときを除く理由は ex-par-degenerate で見る。この定義と標準形 $y^2=4px$、$x^2=4py$ は Abr21 §10.3 にもある。

主定理 1：放物線の方程式

放物線の方程式（標準形）

$p\ne0$ とする。

  1. 焦点 $F(p,0)$、準線 $\ell:x=-p$ の放物線の方程式は $y^2=4px$ である。
  2. 焦点 $F(0,p)$、準線 $\ell:y=-p$ の放物線の方程式は $x^2=4py$ である。
    どちらも頂点は原点である。
両辺とも $0$ 以上なので 1 回の 2 乗で済む

方針：$PF$ と $PH$ を座標で書き、2 乗して整理する。楕円・双曲線と違い、根号は 1 つしかない。
段 1（距離を書く）。1 の場合、点 $P(x,y)$ について $PF=\sqrt{(x-p)^2+y^2}$ である。$\ell:x=-p$ は $y$ 軸に平行なので、垂線の足は $H(-p,y)$ で、$PH=|x+p|$ である。
段 2（2 乗する）。$PF\ge0$、$PH\ge0$ なので、$PF=PH$ と $PF^2=PH^2$ は同値である（$PF^2-PH^2=(PF-PH)(PF+PH)$ で、$PF+PH=0$ なら両方 $0$）。$PF^2=PH^2$ は
$$ (x-p)^2+y^2=(x+p)^2 $$
で、$(x+p)^2-(x-p)^2=4px$ なので $y^2=4px$ と同値である。
段 3（2 の場合）。$x$ と $y$ の役を入れかえれば、同じ計算で $x^2=4py$ を得る（$PF=\sqrt{x^2+(y-p)^2}$、$PH=|y+p|$）。
段 4（頂点）。軸は 1 では $x$ 軸、2 では $y$ 軸で、放物線との交点はどちらも原点である。$\square$

$p$ は負でもよい。$p<0$ のとき、$y^2=4px$ は左に開き、$x^2=4py$ は下に開く。焦点と頂点の距離 $|p|$ は、焦点と準線の距離 $2|p|$ の半分である。

焦点と準線を読む
  1. $y^2=8x$：$4p=8$ から $p=2$ で、焦点 $(2,0)$、準線 $x=-2$。点 $(2,4)$ では $PF=4$、$PH=2+2=4$ である。
  2. $x^2=-6y$：$4p=-6$ から $p=-\frac32$ で、焦点 $\left(0,-\frac32\right)$、準線 $y=\frac32$。下に開く。点 $\left(3,-\frac32\right)$ では $PF=3$、$PH=\frac32+\frac32=3$ である。
  3. 焦点 $(0,3)$、準線 $y=-3$：$p=3$ で、$x^2=12y$、つまり $y=\frac1{12}x^2$ である。

主定理 2：2 次関数のグラフは放物線

2 次関数のグラフと放物線
  1. $a\ne0$ とする。2 次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフは、焦点
    $$ \left(-\frac b{2a},\ \frac{4ac-b^2+1}{4a}\right),\qquad\text{準線}\qquad y=\frac{4ac-b^2-1}{4a} $$
    の放物線である。
  2. 逆に、準線が $x$ 軸に平行な放物線は、ある 2 次関数のグラフである。焦点 $(h,k)$、準線 $y=d$（$d\ne k$）の放物線は $y=\dfrac{(x-h)^2}{2(k-d)}+\dfrac{k+d}2$ のグラフである。
平方完成して平行移動する

方針：1 は、平方完成で頂点を求め、頂点を原点に移すと thm-par-standard の 2 の形になることを使う。2 は、定義の式を直接整理する。
段 1（平方完成）。$h=-\frac b{2a}$、$q=\frac{4ac-b^2}{4a}$ とおくと、$ax^2+bx+c=a(x-h)^2+q$ である（2次関数の最大・最小）。よってグラフは $y-q=a(x-h)^2$ である。
段 2（頂点を原点に移す）。$X=x-h$、$Y=y-q$ とおくと、グラフは $X^2=\frac1aY$、つまり $X^2=4pY$（$p=\frac1{4a}\ne0$）である。thm-par-standard の 2 から、これは $XY$ 座標で焦点 $(0,p)$、準線 $Y=-p$ の放物線である。
段 3（元に戻す）。平行移動 $(X,Y)=(x-h,y-q)$ は 2 点の座標の差を変えないので、距離を変えず、直線 $Y=-p$ を直線 $y=q-p$ に移し、垂線の足を垂線の足に移す。よって $xy$ 座標で、グラフは焦点 $(h,q+p)$、準線 $y=q-p$ の放物線である。$q\pm p=\frac{4ac-b^2}{4a}\pm\frac1{4a}$ なので、1 の式を得る。
段 4（2：定義の式を整理する）。点 $P(x,y)$ について $PF^2=(x-h)^2+(y-k)^2$、$PH=|y-d|$ である。段 2 と同じ理由で、$PF=PH$ は $(x-h)^2+(y-k)^2=(y-d)^2$ と同値で、$(y-d)^2-(y-k)^2=(k-d)(2y-k-d)$ なので
$$ (x-h)^2=2(k-d)y-(k-d)(k+d) $$
である。$k-d\ne0$ で割って $y$ について解くと、2 の式を得る。$\square$

$a>0$ のとき、焦点は頂点 $(h,q)$ から $\frac1{4a}$ だけ上にあり、準線は同じだけ下にある。$a$ が大きい（グラフの開きが狭い）ほど、焦点は頂点に近い。

グラフの焦点を求める
  1. $y=2x^2-4x+1=2(x-1)^2-1$：頂点 $(1,-1)$、$\frac1{4a}=\frac18$ で、焦点 $\left(1,-\frac78\right)$、準線 $y=-\frac98$ である。公式でも $\frac{4\cdot2\cdot1-16+1}8=-\frac78$、$\frac{8-16-1}8=-\frac98$ になる。グラフ上の点 $(0,1)$ では $PF=\sqrt{1+\frac{225}{64}}=\frac{17}8$、$PH=1+\frac98=\frac{17}8$ である。
  2. 焦点 $(0,1)$、準線 $y=-3$：2 の式で $h=0$、$k=1$、$d=-3$ として $y=\frac{x^2}8-1$ である。点 $(4,1)$ では $PF=4$、$PH=1+3=4$ である。

同じ事実を行列による平方完成の言葉で述べたものが 2次関数 の命題「2 次関数のグラフの焦点と準線」である。

主定理 3：放物線はすべて相似

$y=x^2$ と $y=3x^2$ では、後者のほうが細く見える。しかし $y=3x^2$ の点 $(x,y)$ を $3$ 倍に拡大した点 $(X,Y)=(3x,3y)$ は $Y=3y=9x^2=X^2$ を満たし、$y=x^2$ の上にある。つまり $y=3x^2$ は、$y=x^2$ を $\frac13$ 倍に縮めた図形である。開き方の違いは、大きさ（縮尺）の違いにすぎない。
ここで、平面の図形 $A$ と $B$ が 相似 であるとは、正の数 $r$ と、平面の点を平面の点に移してどの 2 点の距離も $r$ 倍にする写し方（比 $r$ の相似変換）で、$A$ の点を $B$ の点に 1 対 1 に対応させるものがあることとする（相似変換と相似の中心）。

放物線の相似

どの 2 つの放物線も相似である。焦点と準線の距離が $d$ の放物線と $d'$ の放物線は、比 $\frac{d'}d$ で相似である。

座標をうまく選んでから拡大する

方針：各放物線について、頂点を原点、軸を $y$ 軸に置く座標をとり、thm-par-standard の形にする。そのうえで原点を中心に拡大する。
段 1（座標の選び方）。焦点 $F$ から準線 $\ell$ に下ろした垂線の足を $K$ とし、線分 $FK$ の中点を原点、直線 $KF$ を $y$ 軸（$K$ から $F$ へ向かう向きを正）、それに垂直な直線を $x$ 軸とする座標をとる。$d=FK$ とおくと、$F=\left(0,\frac d2\right)$、$\ell:y=-\frac d2$ で、thm-par-standard の 2 から放物線は $x^2=2dy$ である。座標の取りかえは距離を変えないので、この座標で考えてよい。
段 2（拡大）。もう一方の放物線も同じように $x^2=2d'y$ とする。$r=\frac{d'}d$ とし、点 $(x,y)$ を $(rx,ry)$ に移す。2 点の座標の差が $r$ 倍になるので、どの 2 点の距離も $r$ 倍になる。$x^2=2dy$ を満たす点を移した $(X,Y)=(rx,ry)$ は
$$ X^2=r^2x^2=r^2\cdot2dy=2(rd)(ry)=2d'Y $$
を満たし、もう一方の放物線の上にある。
段 3（1 対 1）。逆に $X^2=2d'Y$ を満たす点 $(X,Y)$ に対し、$\left(\frac Xr,\frac Yr\right)$ は同じ計算を逆にたどって $x^2=2dy$ を満たし、段 2 の写し方で $(X,Y)$ に移る。よって写し方は 2 つの放物線の点を 1 対 1 に対応させ、距離を $r$ 倍にする。$\square$

開き方と縮尺

$y=ax^2$（$a>0$）は $x^2=\frac1ay$ なので、$2d=\frac1a$、つまり焦点と準線の距離は $d=\frac1{2a}$ である。$y=x^2$（$d=\frac12$）と $y=3x^2$（$d=\frac16$）の比は $\frac13$ で、冒頭の計算と合う。焦点も $\left(0,\frac14\right)$ と $\left(0,\frac1{12}\right)$ で、比は $\frac13$ である。

これに対して、楕円は円と相似とは限らない。

楕円 $\frac{x^2}4+y^2=1$ は円と相似でない

相似の写し方は、半径 $\rho$ の円を半径 $r\rho$ の円に移す（中心の行き先からの距離がすべて $r\rho$ になる）。そこで、楕円 $E:\frac{x^2}4+y^2=1$ が円でないことを示せば、$E$ は円と相似でない。$E$ がある点 $C(u,v)$ を中心とする円だとすると、$E$ の点 $(2,0)$ と $(-2,0)$ は $C$ から等距離なので $(2-u)^2=(2+u)^2$、つまり $u=0$ である。同じく $(0,1)$ と $(0,-1)$ から $v=0$ である。すると $C$ は原点で、$(2,0)$ までの距離 $2$ と $(0,1)$ までの距離 $1$ が等しいことになり、矛盾する。楕円の形は、焦点と中心の距離と長軸の半分の比（離心率）で決まる（2次曲線の焦点と準線）。放物線ではこの比がいつも $1$ なので、形は 1 種類しかない。

例と反例

外す条件反例成り立たなくなること
$F$ は $\ell$ の上にない$F(0,0)$、$\ell:x=0$点の集まりが放物線（曲線）になる（ex-par-degenerate）
準線が $x$ 軸に平行（thm-par-graph の 2）$y^2=4x$$y$ が $x$ の 2 次関数として書ける（ex-par-sideways）
グラフが 2 次関数のグラフ（thm-par-graph の 1）$y=x^4$ のグラフ焦点と準線をもつ（ex-par-quartic）
焦点が準線の上にあるとき

$F(0,0)$、$\ell:x=0$ とする。$PF=PH$ は $\sqrt{x^2+y^2}=|x|$ で、2 乗すると $y^2=0$、つまり $y=0$ である。条件を満たす点全体は $x$ 軸（$F$ を通り $\ell$ に垂直な直線）で、曲線にならない。

横に開く放物線

$y^2=4x$ は焦点 $(1,0)$、準線 $x=-1$ の放物線である。点 $(1,2)$ と $(1,-2)$ はどちらも曲線の上にあり、同じ $x$ に 2 つの $y$ が対応するので、$y$ は $x$ の関数ではない。$x=\frac14y^2$ と、$x$ を $y$ の 2 次関数として書くことはできる。

U 字の形でも放物線とは限らない

$y=x^4$ のグラフは $y=x^2$ と同じく下に凸で左右対称な U 字形だが、放物線ではない。
焦点 $F(u,v)$ と準線 $\ell:\alpha x+\beta y+\gamma=0$（$\alpha^2+\beta^2=1$ に正規化する）をもつとして矛盾を導く。点と直線の距離の公式から $PH=|\alpha x+\beta y+\gamma|$ なので、グラフ上のすべての点で
$$ G(x,y):=(x-u)^2+(y-v)^2-(\alpha x+\beta y+\gamma)^2=0 $$
である。$G$ を展開すると $(1-\alpha^2)x^2-2\alpha\beta xy+(1-\beta^2)y^2+(\text{1 次以下の項})$ である。$y=x^4$ を代入した $G(x,x^4)$ は $x$ の多項式で、$x^8$ の係数は $1-\beta^2$、$x^2$ の係数は $1-\alpha^2$ である（$xy$ は $x^5$、1 次の項は $x$ と $x^4$ と定数にしかならない）。$G(x,x^4)=0$ はすべての実数 $x$ で成り立つので、この多項式の係数はすべて $0$ である（$0$ でない多項式の解は有限個しかない）。すると $1-\beta^2=0$ と $1-\alpha^2=0$ がともに成り立ち、$\alpha^2+\beta^2=2$ となって $\alpha^2+\beta^2=1$ に反する。

さらに先へ

  • 放物線の上の点での接線は $y_0y=2p(x+x_0)$ で、軸に平行に入った光は焦点に集まる（2次曲線の接線と光学的性質）。パラボラアンテナの名前はここから来る。
  • 放物線と弦で囲まれた部分の面積は、弦と、弦に平行な接線の接点とでできる三角形の面積の $\frac43$ 倍である（Archimedesの放物線の求積）。
  • 焦点と準線の距離の比を $1$ から変えると、楕円（$e<1$）と双曲線（$e>1$）になる（2次曲線の焦点と準線）。
  • 射影平面では、放物線は無限遠直線に接する円錐曲線である（円錐曲線）。

関連項目

参考文献

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