Tychonoffの定理

証明を二通り与える。いずれも選択公理を用いる（thm-tychonoff-kelley により、これは避けられない）。
第 1 の証明（超フィルターによる）。$X:=\prod_{\lambda}X_\lambda$ とおく。$X=\emptyset$ ならコンパクトであるから、$X\neq\emptyset$ とする。フィルターの記事の定理「コンパクト性の特徴づけ」（フィルター）により、$X$ 上の任意の超フィルターが収束することを示せばよい。$\mathcal{U}$ を $X$ 上の超フィルターとする。各 $\lambda\in\Lambda$ に対し、押し出し $(\pi_\lambda)_*\mathcal{U}$ は lem-tychonoff-ultrafilter-image により $X_\lambda$ 上の超フィルターであり、$X_\lambda$ がコンパクトなので、再び「コンパクト性の特徴づけ」により $X_\lambda$ のある点に収束する。各 $\lambda$ についてそのような点を一つ選び $x_\lambda$ とする（ここで選択公理を使う）。$x:=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in X$ とおくと、すべての $\lambda$ について $(\pi_\lambda)_*\mathcal{U}\to x_\lambda$ であるから、lem-tychonoff-convergence-product により $\mathcal{U}\to x$ である。よって $X$ 上の任意の超フィルターは収束し、$X$ はコンパクトである。
第 2 の証明（Alexander の準開基定理による）。def-tychonoff-product-space の族 $\mathcal{S}$ は直積位相の準開基なので、thm-tychonoff-alexander により、$\mathcal{S}$ の成員からなる $X$ の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示せばよい。$\mathcal{C}\subset\mathcal{S}$ を $X$ の開被覆とし、有限部分被覆を持たないと仮定して矛盾を導く。各 $\lambda\in\Lambda$ に対し
$$ \mathcal{C}_\lambda:=\{V\mid V\text{ は }X_\lambda\text{ の開集合で }\pi_\lambda^{-1}(V)\in\mathcal{C}\} $$
とおく。もしある $\lambda$ について $\mathcal{C}_\lambda$ が $X_\lambda$ を覆えば、$X_\lambda$ のコンパクト性から有限個の $V_1,\dots,V_n\in\mathcal{C}_\lambda$ が $X_\lambda$ を覆い、$\pi_\lambda^{-1}(V_1),\dots,\pi_\lambda^{-1}(V_n)\in\mathcal{C}$ が $X$ を覆うので、仮定に反する。よってどの $\lambda$ についても $\mathcal{C}_\lambda$ は $X_\lambda$ を覆わず、$X_\lambda\setminus\bigcup\mathcal{C}_\lambda\neq\emptyset$ である。各 $\lambda$ についてこの集合の点を一つ選び $x_\lambda$ とする（ここで選択公理を使う）。$x:=(x_\lambda)_\lambda\in X$ は $\mathcal{C}$ のどの成員にも属さない。実際、$\mathcal{C}$ の成員は $\pi_\lambda^{-1}(V)$（$V\in\mathcal{C}_\lambda$）の形をしており、$x_\lambda\notin V$ だから $x\notin\pi_\lambda^{-1}(V)$ である。これは $\mathcal{C}$ が $X$ を覆うことに反する。$\square$

$f_*\mathcal{U}$ が $Y$ 上のフィルターであることはフィルターの記事の命題「写像による押し出し」による。$B\subset Y$ を任意にとる。$X=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(Y\setminus B)$ であり、$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ なので、超フィルターの特徴づけにより $f^{-1}(B)\in\mathcal{U}$ または $X\setminus f^{-1}(B)\in\mathcal{U}$、すなわち $B\in f_*\mathcal{U}$ または $Y\setminus B\in f_*\mathcal{U}$ が成り立つ。$f_*\mathcal{U}$ はフィルターなので両方が属することはなく、よって再び超フィルターの特徴づけにより $f_*\mathcal{U}$ は超フィルターである。$\square$

$\mathcal{F}\to x$ とする。射影 $\pi_\lambda$ は連続なので、フィルターの記事の命題「写像による押し出し」の後半により $(\pi_\lambda)_*\mathcal{F}\to\pi_\lambda(x)=x_\lambda$ である。
逆にすべての $\lambda$ について $(\pi_\lambda)_*\mathcal{F}\to x_\lambda$ とする。$N$ を $x$ の任意の近傍とすると、def-tychonoff-product-space の開基 $\mathcal{B}$ の成員 $B=\pi_{\lambda_1}^{-1}(V_1)\cap\cdots\cap\pi_{\lambda_n}^{-1}(V_n)$ で $x\in B\subset N$ となるものがある。各 $i$ について $V_i$ は $x_{\lambda_i}$ の開近傍なので、仮定により $V_i\in(\pi_{\lambda_i})_*\mathcal{F}$、すなわち $\pi_{\lambda_i}^{-1}(V_i)\in\mathcal{F}$ である。フィルターは有限個の共通部分で閉じているので $B\in\mathcal{F}$ であり、上に閉じているので $N\in\mathcal{F}$ である。よって $\mathcal{F}\to x$ である。$\square$

$X$ がコンパクトでないと仮定する。$\Phi$ を、有限部分被覆を持たない $X$ の開被覆全体の集合とし、包含関係で順序づける。仮定より $\Phi\neq\emptyset$ である。$\{\mathcal{U}_i\}_{i\in I}$ を $\Phi$ の空でない鎖とすると、$\mathcal{U}:=\bigcup_i\mathcal{U}_i$ は $X$ の開被覆であり、その有限部分族 $\{U_1,\dots,U_k\}$ は鎖の性質によりある一つの $\mathcal{U}_i$ に含まれるので $X$ を覆わない。よって $\mathcal{U}\in\Phi$ であり、鎖の上界である（空な鎖は $\Phi$ の任意の元を上界に持つ）。Zornの補題により $\Phi$ は極大元 $\mathcal{M}$ を持つ。
$\mathcal{M}\cap\mathcal{S}$ が $X$ を覆うことを示す。$x\in X$ をとる。$\mathcal{M}$ は被覆なので $x\in U$ となる $U\in\mathcal{M}$ があり、$\mathcal{S}$ が準開基なので $S_1,\dots,S_n\in\mathcal{S}$ で $x\in S_1\cap\cdots\cap S_n\subset U$ となるものがある。ある $i$ について $S_i\in\mathcal{M}$ であることを示せばよい。すべての $i$ について $S_i\notin\mathcal{M}$ と仮定する。$\mathcal{M}\cup\{S_i\}$ は $\mathcal{M}$ を真に含む開被覆なので、$\mathcal{M}$ の極大性により有限部分被覆を持つ。すなわち $\mathcal{M}$ の有限個の成員の和 $W_i$ で $X=S_i\cup W_i$ となるものがある。このとき
$$ X=\bigcap_{i=1}^n(S_i\cup W_i)\subset\Bigl(\bigcap_{i=1}^nS_i\Bigr)\cup\bigcup_{i=1}^nW_i\subset U\cup W_1\cup\cdots\cup W_n $$
となり、右辺は $\mathcal{M}$ の有限個の成員の和なので、$\mathcal{M}$ が有限部分被覆を持つことになり矛盾する。よって $\mathcal{M}\cap\mathcal{S}$ は $X$ の開被覆であり、その成員はすべて $\mathcal{S}$ に属するので、仮定により有限部分被覆を持つ。それは $\mathcal{M}$ の有限部分被覆でもあるので、$\mathcal{M}\in\Phi$ に反する。$\square$

(1 ⇒ 2) は thm-tychonoff-main である。
(2 ⇒ 1) $\{A_i\}_{i\in I}$ を空でない集合の族とする。どの $A_i$ にも属さない対象 $\infty$ を一つとる（たとえば $\infty:=\bigcup_iA_i$ とすれば、$\infty\in A_i$ なら $\infty\in\bigcup_iA_i=\infty$ となって正則性公理に反するので、$\infty$ はどの $A_i$ にも属さない）。各 $i$ について $Y_i:=A_i\cup\{\infty\}$ とおき、$Y_i$ に開集合が $\emptyset,\ \{\infty\},\ A_i,\ Y_i$ の 4 個だけである位相を入れる。これは位相であり（4 個の集合は和と共通部分で閉じている）、開集合が有限個しかないので $Y_i$ はコンパクトである。また $A_i=Y_i\setminus\{\infty\}$ は $Y_i$ の閉集合である。
2 により $Y:=\prod_{i\in I}Y_i$ はコンパクトである。各 $i$ について $F_i:=\pi_i^{-1}(A_i)$ とおくと、$\pi_i$ が連続なので $F_i$ は $Y$ の閉集合である。族 $\{F_i\}_{i\in I}$ が有限交叉性（どの有限個の共通部分も空でない）を持つことを示す。$i_1,\dots,i_n\in I$ を相異なる有限個の添字とする。$A_{i_1},\dots,A_{i_n}$ は空でないので、それぞれから元 $a_{i_1},\dots,a_{i_n}$ をとることができる（有限個の集合からの選択は ZF で行える）。$y\in Y$ を、$y_{i_k}:=a_{i_k}$（$k=1,\dots,n$）、それ以外の $i$ については $y_i:=\infty$ と定めると、$y\in F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ である（$n=0$ のときは $y=(\infty)_{i\in I}\in Y$ により $Y\neq\emptyset$）。コンパクト空間の記事の命題「有限交叉性による言い換え」（その証明は選択公理を使わない）により、$\bigcap_{i\in I}F_i\neq\emptyset$ である。$c\in\bigcap_iF_i$ をとると、すべての $i$ について $c_i\in A_i$ であるから、$c$ は $\{A_i\}$ の選択関数である。$\square$

$[0,1]$ は Heine–Borel の定理（コンパクト空間）によりコンパクト、有限集合 $\{0,1\}$ はどの位相についてもコンパクトである。よって thm-tychonoff-main から従う。$\square$

$x\neq y$ を直積空間の相異なる二点とすると、ある $\lambda$ について $x_\lambda\neq y_\lambda$ である。$X_\lambda$ の Hausdorff 性により、交わらない開集合 $V\ni x_\lambda$、$W\ni y_\lambda$ がある。$\pi_\lambda^{-1}(V)$ と $\pi_\lambda^{-1}(W)$ は直積位相の開集合で、それぞれ $x$、$y$ を含み、$\pi_\lambda^{-1}(V)\cap\pi_\lambda^{-1}(W)=\pi_\lambda^{-1}(V\cap W)=\emptyset$ である。$\square$

各 $X_\lambda$ が空でないので、選択公理により直積は空でなく、射影 $\pi_\lambda$ は全射である（$a\in X_\lambda$ に対し、$\lambda$ 座標が $a$ である直積の点をとればよい）。$\pi_\lambda$ は連続であり、コンパクト空間の連続写像による像はコンパクトである（コンパクト空間の記事の命題「保存と閉性」）から、$X_\lambda=\pi_\lambda(\prod_\mu X_\mu)$ はコンパクトである。$\square$