モナドとBarr–Beckの定理
概要
モナドとBarr–Beckの定理（monads and the Barr–Beck theorem）とは、圏上の自己関手 $T$ と単位 $\eta\colon\mathrm{Id}\Rightarrow T$、乗法 $\mu\colon TT\Rightarrow T$ の組で結合律と単位律を満たすもの（モナド）と、随伴がその代数の圏で表される条件を与える定理である。随伴 $F\dashv G$ は $T=GF$ のモナドを定め、逆にモナドは代数の圏（Eilenberg–Moore 圏）への自由代数と忘却の随伴から生じ、比較関手が元の随伴を代数の圏へ送る。Barr–Beck の定理によれば、比較関手が圏同値になることは、右随伴 $G$ が同型を反映し、$G$ で分裂する平行射の余等化子をもってそれを保つことと同値である。群や加群の圏を集合の上の代数として捉える道具である。
群の圏から集合の圏への忘却関手 $U$ には左随伴 $F$（自由群を作る関手）がある。合成 $T=UF$ は集合 $X$ に「$X$ の元とその逆元を文字とする既約な語の集合」を対応させ、群の積は「語の語」を一つの語にまとめる操作 $TTX\to TX$ として見える。このように随伴から取り出される「自己関手と二つの自然変換」の組を モナド という。逆に、モナドだけから「代数」の圏を作ると、群の圏がその代数の圏として復元される。
どの随伴がこのように「代数の圏」として復元されるかを判定するのが Barr–Beck の定理（Beck のモナド性定理）である。判定条件は、右随伴が同型を反映することと、ある特別な余等化子（分裂した余等化子）を作って保つことの二つだけである。群・環・加群・コンパクト Hausdorff 空間などが集合の上のモナドの代数として捉えられ、たとえば全単射な準同型が自動的に同型になることがこの観点から統一的に説明される。
定義
圏 $\mathcal C$ 上の モナド（monad）とは、関手 $T\colon\mathcal C\to\mathcal C$ と自然変換 $\eta\colon\operatorname{Id}_{\mathcal C}\Rightarrow T$（単位）、$\mu\colon TT\Rightarrow T$（乗法）の組 $(T,\eta,\mu)$ で、各対象 $X$ について
$$
\mu_X\circ T(\mu_X)=\mu_X\circ\mu_{TX},\qquad
\mu_X\circ\eta_{TX}=\operatorname{id}_{TX}=\mu_X\circ T(\eta_X)
$$
を満たすものをいう。前者を結合律、後者を単位律という。
自己関手の圏に合成でモノイダル圏の構造を入れると、モナドはそのモノイド対象にほかならない（Mac98 VI.1, p. 138）。双対に、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上のモナドを $\mathcal C$ 上の 余モナド という。余モナドとその余代数、随伴から定まる余モナドは コモナド で扱う。
モナド $(T,\eta,\mu)$ の 代数（$T$-代数）とは、対象 $A$ と射 $a\colon TA\to A$ の組 $(A,a)$ で
$$
a\circ T(a)=a\circ\mu_A,\qquad a\circ\eta_A=\operatorname{id}_A
$$
を満たすものをいう。$T$-代数の準同型 $h\colon(A,a)\to(B,b)$ は $b\circ T(h)=h\circ a$ を満たす射 $h\colon A\to B$ である。$T$-代数と準同型のなす圏を $\mathcal C^T$ と書き、Eilenberg–Moore 圏 という。$(A,a)\mapsto A$ を忘却関手 $U^T\colon\mathcal C^T\to\mathcal C$ とする。
定義は Mac98 VI.1–VI.2（pp. 137–140）、Rie16 Definition 5.1.1（p. 184）・Definition 5.2.4（p. 191）による。代数の例と、代数の圏の性質（忘却関手が極限を作り出すこと、冪等なモナドの代数）は Eilenberg–Moore圏 で扱う。
随伴とモナド
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$、$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ が $F\dashv G$ を満たし、単位を $\eta$、余単位を $\varepsilon$ とする。$T=GF$、$\mu=G\varepsilon F$（成分 $\mu_X=G(\varepsilon_{FX})$）とおくと $(T,\eta,\mu)$ はモナドである。
単位律は 随伴関手 の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」の三角恒等式から従う。実際 $\mu_X\eta_{TX}=G(\varepsilon_{FX})\,\eta_{G(FX)}=\operatorname{id}$ は二つ目の恒等式を $Y=FX$ で使ったもの、$\mu_XT(\eta_X)=G(\varepsilon_{FX}\circ F\eta_X)=G(\operatorname{id}_{FX})$ は一つ目を $G$ で送ったものである。結合律は、$\varepsilon$ の自然性を射 $\varepsilon_{FX}\colon FGFX\to FX$ に当てた式 $\varepsilon_{FX}\circ FG(\varepsilon_{FX})=\varepsilon_{FX}\circ\varepsilon_{FGFX}$ を $G$ で送れば $\mu_X\circ T(\mu_X)=\mu_X\circ\mu_{TX}$ となる。$\blacksquare$
逆に、すべてのモナドは随伴から生じる。
$F^TX=(TX,\mu_X)$、$F^T(f)=T(f)$ と定めると $F^T\colon\mathcal C\to\mathcal C^T$ は関手で、$F^T\dashv U^T$ である。この随伴の単位は $\eta$、余単位は $\varepsilon^T_{(A,a)}=a$ であり、この随伴が定めるモナドはもとの $(T,\eta,\mu)$ に一致する。
$(TX,\mu_X)$ がモナドの結合律・単位律から代数であり、$T(f)$ が $\mu$ の自然性から準同型であることは定義を見ればよい。$f\colon X\to A$ に対し $\bar f:=a\circ T(f)\colon TX\to A$ とおくと、$\mu$ の自然性と $a$ の結合律から
$$
a\circ T(\bar f)=a\circ T(a)\circ TT(f)=a\circ\mu_A\circ TT(f)=a\circ T(f)\circ\mu_X=\bar f\circ\mu_X
$$
なので $\bar f$ は準同型である。$\bar f\circ\eta_X=a\circ\eta_A\circ f=f$ である。逆に準同型 $h\colon(TX,\mu_X)\to(A,a)$ に対し $\overline{h\eta_X}=a\circ T(h)\circ T(\eta_X)=h\circ\mu_X\circ T(\eta_X)=h$ である。よって $h\mapsto h\circ\eta_X$ と $f\mapsto\bar f$ は互いに逆で、前後の合成と両立するので自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C^T}(F^TX,(A,a))\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,A)$ を与える。単位は $\operatorname{id}$ の像 $\eta_X$、余単位は $\operatorname{id}_A$ に対応する準同型 $\overline{\operatorname{id}_A}=a$ である。従って $U^TF^T=T$ で、乗法は $U^T(\varepsilon^T_{F^TX})=\mu_X$ となる。$\blacksquare$
この随伴は Mac98 VI.2 Theorem 1（p. 140）、Rie16 Lemma 5.2.9（p. 193）にある。同じモナドを定める随伴はほかにもあり、射 $X\to TY$ を射とする Kleisli 圏 $\mathcal C_T$（合成は $g\circ_Tf=\mu_Z\circ T(g)\circ f$。Kleisli圏）から作る随伴がその最小のもの、Eilenberg–Moore 圏から作る随伴が最大のものである（Rie16 Definition 5.2.10, Lemma 5.2.12, Proposition 5.2.13, pp. 194–195、Mac98 VI.5, pp. 147–148。最小であることの証明は Kleisli圏 の定理「Kleisli随伴の始対象性」にある）。最大であることは次の比較関手で表される。
随伴 $F\dashv G$（$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$）が定めるモナドを $T$ とする。$Y\in\mathcal D$ に $KY=(GY,\,G\varepsilon_Y)$、射 $f$ に $Kf=Gf$ を対応させる関手 $K\colon\mathcal D\to\mathcal C^T$ を 比較関手 という。$U^TK=G$、$KF=F^T$ である。$K$ が圏同値になるとき、$G$（または随伴）は モナド的（monadic）であるという。
$KY$ が代数であることは、単位律が二つ目の三角恒等式、結合律が $\varepsilon$ の自然性 $\varepsilon_Y\circ FG(\varepsilon_Y)=\varepsilon_Y\circ\varepsilon_{FGY}$ を $G$ で送った式であることから分かる。$Gf$ が準同型であることも $\varepsilon$ の自然性による。$KFX=(GFX,G\varepsilon_{FX})=(TX,\mu_X)$ である。定義は Rie16 Definition 5.3.1（p. 198）による。Mac98 VI.3（p. 143）は $K$ が圏の同型になる場合をモナド的と呼んでいる。
例
$\mathbf{Set}$ 上で $TX=X\sqcup\{*\}$、$\eta_X$ を包含、$\mu_X\colon(X\sqcup\{*\})\sqcup\{*\}\to X\sqcup\{*\}$ を $X$ 上で恒等、付け加えた二点をともに $*$ へ送る写像とするとモナドになる。代数 $a\colon X\sqcup\{*\}\to X$ は単位律から $X$ 上で恒等なので、点 $x_0=a(*)$ を選ぶことと同じである。結合律は両辺が $X$ 上で恒等、二つの新しい点をともに $x_0$ へ送ることから自動的に成り立つ。準同型は $x_0$ を保つ写像なので、$\mathcal C^T$ は基点付き集合の圏と同型である（Rie16 Example 5.1.4 (i), p. 185）。
$TX=\bigsqcup_{n\ge0}X^n$（$X$ の元の有限列）、$\eta_X(x)=(x)$、$\mu_X$ を「列の列」をつなげて一つの列にする写像とすると、自由モノイドと忘却の随伴が定めるモナドになる。$T$-代数 $a$ は列 $(x_1,\dots,x_n)$ に積 $x_1\cdots x_n$ を割り当てる操作で、結合律がモノイドの結合法則、単位律が長さ $1$ の列の積が元自身であることを表す。忘却関手 $\mathbf{Mon}\to\mathbf{Set}$ はモナド的である（Rie16 Corollary 5.5.3, p. 205。空でない列と半群の場合は Mac98 VI.4, pp. 144–146）。
分裂余等化子
Barr–Beck の定理で鍵になるのは、どんな関手でも保たれる特別な余等化子である。
射 $f,g\colon X\rightrightarrows Y$、$e\colon Y\to Z$ と、$s\colon Z\to Y$、$t\colon Y\to X$ が
$$
ef=eg,\qquad es=\operatorname{id}_Z,\qquad ft=\operatorname{id}_Y,\qquad gt=se
$$
を満たすとき、これを 分裂フォーク といい、$e$ を $f,g$ の 分裂余等化子 という。関手 $G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ に対し、$\mathcal D$ の平行射 $f,g$ で $Gf,Gg$ が $\mathcal C$ で分裂余等化子をもつものを $G$-分裂対 という。
分裂フォークの $e$ は $f,g$ の余等化子であり、任意の関手で送った像も余等化子である。
$kf=kg$ なら $k=kft=kgt=kse$ なので $k$ は $e$ を通る。$k=me$ なら $m=mes=ks$ で、分解は一意である。条件は合成と恒等射の等式だけなので、関手で送っても分裂フォークのままであり、同じ議論が当てはまる。$\blacksquare$
(i) $T$-代数 $(A,a)$ に対し、$\mu_A,\ T(a)\colon TTA\rightrightarrows TA$ と $a\colon TA\to A$ は、$s=\eta_A$、$t=\eta_{TA}$ によって分裂フォークをなす。
(ii) 随伴 $F\dashv G$ と $Y\in\mathcal D$ に対し、$\varepsilon_{FGY},\ FG(\varepsilon_Y)\colon FGFGY\rightrightarrows FGY$ は $G$-分裂対であり、$G$ で送った対は $G\varepsilon_Y$ を分裂余等化子にもつ。
(i) $a\mu_A=aT(a)$ は結合律、$a\eta_A=\operatorname{id}$ は単位律、$\mu_A\eta_{TA}=\operatorname{id}$ はモナドの単位律、$T(a)\eta_{TA}=\eta_Aa$ は $\eta$ の自然性である。(ii) は (i) を代数 $KY=(GY,G\varepsilon_Y)$ に当てたものである（$G\varepsilon_{FGY}=\mu_{GY}$、$GFG\varepsilon_Y=T(G\varepsilon_Y)$）。$\blacksquare$
分裂フォークと補題は Mac98 VI.6（pp. 149–150）、Rie16 Definition 5.4.4, Lemma 5.4.6, Example 5.4.9（pp. 201–202）にある。
Barr–Beck の定理
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$、$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ を $F\dashv G$ を満たす関手とする。次の二条件は同値である。
(a) $G$ はモナド的である（比較関手 $K\colon\mathcal D\to\mathcal C^T$ が圏同値）。
(b) $G$ は同型を反映し（$Gh$ が同型なら $h$ は同型）、$\mathcal D$ の任意の $G$-分裂対は $\mathcal D$ で余等化子をもち、$G$ はその余等化子を保つ。
(b) ⇒ (a). 逆向きの関手 $L\colon\mathcal C^T\to\mathcal D$ を作り、$L\dashv K$ の単位と余単位が同型であることを示す。
段 1（$L$ の構成）．$T$-代数 $(A,a)$ に対し、$\varepsilon_{FA},\ F(a)\colon FGFA\rightrightarrows FA$ は、$G$ で送ると $\mu_A,\ T(a)$ になるので、lem-monad-canonical-presentation (i) により $G$-分裂対である。(b) によりその余等化子 $q_{(A,a)}\colon FA\to L(A,a)$ がある。準同型 $h$ に対しては $F(h)$ が二つの対と両立するので、余等化子の普遍性から $L(h)$ が一意に決まり、$L$ は関手になる。
段 2（$L\dashv K$）．射 $L(A,a)\to Y$ は、$u\varepsilon_{FA}=uF(a)$ を満たす $u\colon FA\to Y$ と一対一に対応する。随伴で $u$ を $v=G(u)\eta_A\colon A\to GY$ に移すと、この条件は $G(\varepsilon_Y)\circ T(v)=v\circ a$、すなわち $v$ が準同型 $(A,a)\to KY$ であることに書き換わる。
詳細
随伴の全単射 $\Phi$ を使う。三角恒等式より $\Phi(u\varepsilon_{FA})=G(u)G(\varepsilon_{FA})\eta_{GFA}=G(u)$ であり、$u=\varepsilon_YF(v)$ だから $G(u)=G(\varepsilon_Y)\,T(v)$ である。一方 $\Phi(uF(a))=\Phi(u)\circ a=v\circ a$ である（第 1 変数の自然性）。$\Phi$ は単射なので、$u\varepsilon_{FA}=uF(a)$ は $G(\varepsilon_Y)T(v)=va$ と同値である。どちらの対応も前後の合成と両立するので、$\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(L(A,a),Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C^T}((A,a),KY)$ は自然である。
段 3（余単位が同型）．$Y\in\mathcal D$ で余単位 $LKY\to Y$ は、$\varepsilon_Y\colon FGY\to Y$ が対 $\varepsilon_{FGY},FG(\varepsilon_Y)$ を等化することから余等化子の普遍性で得られる射 $c$ である（$v=\operatorname{id}_{GY}$ に対応する $u$ が $\varepsilon_Y$）。$G$ は余等化子 $q_{KY}$ を保つので $G(q_{KY})$ は $G$ で送った対の余等化子であり、lem-monad-canonical-presentation (ii) により $G(\varepsilon_Y)$ も同じ対の余等化子である。$G(\varepsilon_Y)=G(c)G(q_{KY})$ だから $G(c)$ は同型で、$G$ が同型を反映するので $c$ は同型である。
段 4（単位が同型）．$(A,a)$ での単位は、$\operatorname{id}_{L(A,a)}$ に対応する準同型 $v=G(q_{(A,a)})\eta_A\colon A\to GL(A,a)$ である。$G(q_{(A,a)})$ と $a$ はどちらも対 $\mu_A,T(a)$ の余等化子なので、$G(q_{(A,a)})=\varphi a$ となる同型 $\varphi$ があり、$v=\varphi a\eta_A=\varphi$ は同型である。下の射が同型な準同型は逆射も準同型である（$a\circ T(h^{-1})=h^{-1}\circ b\circ T(h)\circ T(h^{-1})=h^{-1}\circ b$）から、単位は $\mathcal C^T$ の同型である。単位と余単位が同型なので $K$ は圏同値である。
(a) ⇒ (b). $U^TK=G$ で $K$ は圏同値なので、$U^T$ について (b) を示せば $G$ に移る。$U^T$ が同型を反映することは段 4 で見た。$U^T$-分裂対 $f,g\colon(A,a)\rightrightarrows(B,b)$ をとり、$\mathcal C$ での分裂フォークを $e\colon B\to Z$、$s,t$ とする。$z:=e\circ b\circ T(s)\colon TZ\to Z$ とおくと $(Z,z)$ は $T$-代数、$e$ は準同型で、$\mathcal C^T$ での $f,g$ の余等化子になる。
詳細
$T(e)$ と $TT(e)$ は分裂余等化子なので（lem-monad-split-absolute）エピ射である。$eb$ は $T(f),T(g)$ を等化する（$ebT(f)=efa=ega=ebT(g)$）から $eb=z'T(e)$ となる $z'$ がただ一つあり、$z'=z'T(e)T(s)=ebT(s)=z$ である。単位律：$z\eta_Ze=zT(e)\eta_B=eb\eta_B=e$ で $e$ はエピ射。結合律：$zT(z)TT(e)=zT(eb)=ebT(b)=eb\mu_B=zT(e)\mu_B=z\mu_ZTT(e)$ で $TT(e)$ はエピ射。余等化子であること：準同型 $k\colon(B,b)\to(C,c)$ が $kf=kg$ を満たせば $\mathcal C$ で $k=k'e$ と一意に分解し、$cT(k')T(e)=cT(k)=kb=k'eb=k'zT(e)$ から $k'$ も準同型である。
$U^T$ はこの余等化子を $e$ に送るので保つ。$G$ への移し替えは次のとおりである。$G$-分裂対 $f,g$ を $K$ で送ると、$U^TK=G$ より $U^T$-分裂対になる。その $\mathcal C^T$ での余等化子を $K$ の擬逆関手で送れば、$K$ の擬逆関手と $K$ の合成は恒等関手と自然同型なので、$f,g$ の $\mathcal D$ での余等化子が得られる（圏同値とその擬逆関手は余極限を保つ）。$K$ はこの余等化子を保ち、$U^T$ も保つので、$G=U^TK$ も保つ。$G$ が同型を反映することは、$K$ と $U^T$ がともに同型を反映することから従う。$\blacksquare$
これは Mac98 VI.7 Theorem 1（p. 151）、Rie16 Theorem 5.5.1（p. 204）の内容である。両書は (b) を「$G$ が $G$-分裂対の余等化子を作り出す」という一つの条件にまとめて述べており、Mac98 は $K$ が圏の同型になる場合を扱う。(a) ⇒ (b) で使った代数の構成は Rie16 Proposition 5.4.10（p. 202）、同型の反映は同 Lemma 5.6.1（p. 212）である。
定理の (b) から (a) への向きは、具体的な圏が「集合の上の代数」であることを示す道具になる。群・アーベル群・環・$R$-加群・モノイドの圏から $\mathbf{Set}$ への忘却関手はモナド的であり（Rie16 Corollary 5.5.3, p. 205）、コンパクト Hausdorff 空間の圏から $\mathbf{Set}$ への忘却関手もモナド的である（同 Corollary 5.5.6, p. 207）。逆向きの (a) ⇒ (b) からは、モナド的な関手が同型を反映することが分かる。たとえば全単射な群準同型は同型であり、コンパクト Hausdorff 空間の間の全単射な連続写像は同相写像である（同 Corollary 5.6.2, p. 212）。これらの例はこの記事では証明しない。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $G$ が同型を反映する | 忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ | モナド的であること |
| $G$ が $G$-分裂対の余等化子を保つ | ねじれのないアーベル群の圏から $\mathbf{Set}$ への忘却関手 | モナド的であること |
| $G$ が左随伴をもつ | 体の圏から $\mathbf{Set}$ への忘却関手 | モナドが定まること |
$G\colon\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ を台集合を取る関手とする。離散位相を入れる関手 $F$ が左随伴で、$GF=\operatorname{Id}$、$\eta=\operatorname{id}$、$\mu=\operatorname{id}$ だから、定まるモナドは恒等モナドである。その代数 $a\colon X\to X$ は単位律から $a=\operatorname{id}$ なので、$\mathcal C^T$ は $\mathbf{Set}$ と同型で、比較関手は $G$ そのものである。$G$ は密着位相を入れる関手を右随伴にもつので余極限をすべて保ち、$\mathbf{Top}$ は余等化子をもつ（商位相）。一方、二点以上の集合 $X$ で、離散位相から密着位相への恒等写像は連続な全単射だが同相でなく、$G$ は同型を反映しない。実際 $G$ は充満でないので圏同値でもない。
ねじれのないアーベル群の圏 $\mathcal D$ と忘却関手 $G\colon\mathcal D\to\mathbf{Set}$ を考える。自由アーベル群 $\mathbb Z^{(S)}$ はねじれがないので左随伴 $F$ があり、全単射な準同型の逆写像は準同型なので $G$ は同型を反映する。$\mathcal D$ は余等化子をもつ（$f,g\colon A\rightrightarrows B$ に対し、$nb\in\operatorname{im}(f-g)$ となる $n\ge1$ がある $b$ 全体で $B$ を割ったもの）。
$A=\mathbb Z/2\mathbb Z$ を集合とみて $a\colon\mathbb Z^{(A)}\to A$、$\sum n_xe_x\mapsto\sum n_xx$ とおくと、$(A,a)$ は $T=GF$ の代数であり、$\varepsilon_{FA},F(a)$ は $G$-分裂対である（lem-monad-canonical-presentation (i)）。$\mathcal D$ の対象 $B$ への準同型 $\psi\colon FA\to B$ がこの対を等化すれば、$G\psi$ は分裂余等化子 $a$ を通り $G\psi=\chi\circ a$ と書ける。$a$ は全射準同型なので $\chi$ は準同型 $\mathbb Z/2\mathbb Z\to B$ で、$B$ にねじれがないから $\chi=0$、$\psi=0$ である。よって $\mathcal D$ での余等化子は $0$ で、$G$ で送ると一点集合になるが、$\mathbf{Set}$ での余等化子 $A$ は二点集合である。$G$ はこの余等化子を保たないので、定理によりモナド的でない。
3 行目の体の圏については、忘却関手に左随伴がないこと（自由な体が存在しないこと）が コンマ圏 の例「反例：自由な体は存在しない」にある。
補足
関連項目
参考文献
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