Abelの総和公式

$\sigma>0$、$\sigma\neq1$ とする。すべての実数 $x\ge1$ について
$$ \sum_{n\le x}\frac1{n^\sigma}=\frac{x^{1-\sigma}}{1-\sigma}+\zeta(\sigma)+E_\sigma(x),\qquad\lvert E_\sigma(x)\rvert\le x^{-\sigma} $$
が成り立つ。ここで $\zeta(\sigma)$ は、$\sigma>1$ では $\sum_{n\ge1}n^{-\sigma}$、$0< \sigma< 1$ では解析接続した Riemannゼータ関数 の値である。たとえば $\sigma=\frac12$ では $\sum_{n\le x}\frac1{\sqrt n}=2\sqrt x+\zeta(\tfrac12)+O(x^{-1/2})$（$O$ は Landau記号）、$\zeta(\frac12)=-1.4603\ldots$ である。
公式の導出．$a_n=1$、$A(t)=\lfloor t\rfloor$（$t\ge1$）、$f(t)=t^{-\sigma}$ として cor-asf-one を使う。$\{t\}:=t-\lfloor t\rfloor\in[0,1)$ と書くと
$$ \sum_{n\le x}\frac1{n^\sigma}=\frac{\lfloor x\rfloor}{x^\sigma}+\sigma\int_1^x\frac{t-\{t\}}{t^{\sigma+1}}\,dt=x^{1-\sigma}-\frac{\{x\}}{x^\sigma}+\frac{\sigma(x^{1-\sigma}-1)}{1-\sigma}-\sigma\int_1^x\frac{\{t\}}{t^{\sigma+1}}\,dt $$
である。$x^{1-\sigma}+\frac{\sigma x^{1-\sigma}}{1-\sigma}=\frac{x^{1-\sigma}}{1-\sigma}$ である。$0\le\{t\}< 1$ なので $\int_1^\infty\{t\}t^{-\sigma-1}\,dt$ は収束する。そこで
$$ C(\sigma):=\frac{\sigma}{\sigma-1}-\sigma\int_1^\infty\frac{\{t\}}{t^{\sigma+1}}\,dt,\qquad E_\sigma(x):=\sigma\int_x^\infty\frac{\{t\}}{t^{\sigma+1}}\,dt-\frac{\{x\}}{x^\sigma} $$
とおくと $\sum_{n\le x}n^{-\sigma}=\frac{x^{1-\sigma}}{1-\sigma}+C(\sigma)+E_\sigma(x)$ である。$E_\sigma(x)$ の 2 つの項はどちらも $0$ 以上 $x^{-\sigma}$ 以下（前者は $\sigma\int_x^\infty t^{-\sigma-1}\,dt=x^{-\sigma}$ 以下）なので、$\lvert E_\sigma(x)\rvert\le x^{-\sigma}$ である。
定数が $\zeta(\sigma)$ であること．$\sigma>1$ なら、$x\to\infty$ で $x^{1-\sigma}\to0$、$E_\sigma(x)\to0$ なので $C(\sigma)=\sum_{n\ge1}n^{-\sigma}=\zeta(\sigma)$ である。$0< \sigma< 1$ とする。Riemannゼータ関数 の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」では、解析接続した $\zeta$ は $\zeta(\sigma)=\frac1{\sigma-1}+Z(\sigma)$、$Z(\sigma)=\sum_{n\ge1}\int_n^{n+1}(n^{-\sigma}-u^{-\sigma})\,du$ で与えられる。この級数の第 $N$ 部分和は
$$ \sum_{n\le N}\frac1{n^\sigma}-\int_1^{N+1}\frac{du}{u^\sigma}=\sum_{n\le N}\frac1{n^\sigma}-\frac{(N+1)^{1-\sigma}-1}{1-\sigma} $$
である。上の公式を $x=N$ で使い、$0\le\frac{(N+1)^{1-\sigma}-N^{1-\sigma}}{1-\sigma}\le N^{-\sigma}$（平均値の定理）と合わせると、この部分和は $N\to\infty$ で $C(\sigma)+\frac1{1-\sigma}$ に収束する。よって $Z(\sigma)=C(\sigma)+\frac1{1-\sigma}$、すなわち $C(\sigma)=\zeta(\sigma)$ である。
$0< \sigma< 1$ では級数 $\sum n^{-\sigma}$ は発散するが、部分和から主項 $\frac{x^{1-\sigma}}{1-\sigma}$ を引いたものの極限が $\zeta(\sigma)$ になっている。$\sigma=1$ では主項が $\log x$ に替わり、定数は Euler の定数 $\gamma$ になる（Abelの級数変形法とその応用 の例「調和数の漸近展開と Euler の定数」、Eulerの定数）。

実数 $\kappa\ge0$ と定数 $K$ があって、すべての $t\ge1$ で $\lvert A(t)\rvert\le Kt^\kappa$ とする。複素数 $s$ が $\sigma:=\operatorname{Re}s>\kappa$ を満たせば、$f(t)=t^{-s}$ について $\lvert A(y)f(y)\rvert\le Ky^{\kappa-\sigma}\to0$、$\lvert A(t)f'(t)\rvert\le\lvert s\rvert Kt^{\kappa-\sigma-1}$ で、右辺は $[1,\infty)$ 上で広義積分可能である（したがって $\int_1^yA(t)f'(t)\,dt$ は $y\to\infty$ で収束する）。thm-asf-infinite により
$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}=s\int_1^\infty A(t)\,t^{-s-1}\,dt\qquad(\operatorname{Re}s>\kappa) $$
である。これは Dirichlet級数 の命題「部分和の大きさと収束座標」の式である。$a_n=1$ とすると $\operatorname{Re}s>1$ で $\zeta(s)=s\int_1^\infty\lfloor t\rfloor t^{-s-1}\,dt$ である。$a_n=\Lambda(n)$（von Mangoldt関数）とすると、$A(t)$ は Chebyshev の関数 $\psi(t)$ で、同記事の定理「$\psi$ の上下からの評価」の $\psi(t)< 7t$ により $\kappa=1$ ととれ、同記事の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」と合わせて $\operatorname{Re}s>1$ で $-\frac{\zeta'}{\zeta}(s)=s\int_1^\infty\psi(t)t^{-s-1}\,dt$ となる。明示公式(素数分布) はこの式から出発して、零点の位置を $\psi(x)-x$ の大きさに結びつける。

1. $a_n=(-1)^n$ とすると、$A(t)$ は $0$ か $-1$ なので $K=1$ である。$f(t)=\frac1{\log t}$ は $[2,\infty)$ 上で単調に減少して $0$ に収束するので、cor-asf-bounded により $\sum_{n\ge3}\frac{(-1)^n}{\log n}$ は収束し、$x\ge2$ について $\bigl\lvert\sum_{n>x}\frac{(-1)^n}{\log n}\bigr\rvert\le\frac2{\log x}$ である。各項の絶対値の級数 $\sum\frac1{\log n}$ は、$\frac1{\log n}\ge\frac1n$ なので発散する。
2. $\chi$ を法 $m$ の自明でない Dirichlet 指標とする。Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」の 3 で $\psi$ を自明な指標にすると、$\sum_{n=1}^{m}\chi(n)=0$ である。$\chi$ は周期 $m$ をもつので、連続する $m$ 個の整数にわたる $\chi$ の和は $0$ であり、$A(t)=\sum_{n\le t}\chi(n)$ は 1 周期に満たない部分の和である。その中で $0$ でない項は $m$ と互いに素な $n$ の項で、個数は $\varphi(m)$（Euler関数）以下なので、$\lvert A(t)\rvert\le\varphi(m)$ である。cor-asf-bounded を $f(t)=\frac1t$ に使うと、$L(1,\chi)=\sum_{n\ge1}\frac{\chi(n)}n$ は収束し、$x\ge1$ について $\bigl\lvert\sum_{n>x}\frac{\chi(n)}n\bigr\rvert\le\frac{2\varphi(m)}x$ である。

1 行目：$f$ は $t< 2$ で $0$、$t\ge2$ で $1$ であり、$t\neq2$ で微分可能で $f'(t)=0$ である。左辺は $f(2)+f(3)=2$ である。右辺は $A(3)f(3)-A(1)f(1)-\int_1^3A(t)\cdot0\,dt=3\cdot1-1\cdot0=3$ である。$f$ は $t=2$ のほかでは $C^1$ 級なので、連続性だけが欠けている。
2 行目：$f'=0$ なので積分は $0$ で、仮定 2 は成り立つ。$A(y)f(y)=A(y)$ は $0$ と $-1$ を交互にとるので $0$ に収束せず、仮定 1 だけが成り立たない。
3 行目：$A(y)f(y)=\frac{\lfloor y\rfloor}{y\log y}\le\frac1{\log y}\to0$ なので仮定 1 は成り立つ。$f'(t)=-\frac{\log t+1}{(t\log t)^2}$ であり、$t\ge2$ で $\lfloor t\rfloor\ge t-1\ge\frac t2$、$\frac{\log t+1}{(\log t)^2}\ge\frac1{\log t}$ なので
$$ \lfloor t\rfloor\,\lvert f'(t)\rvert\ge\frac t2\cdot\frac{\log t+1}{t^2(\log t)^2}\ge\frac1{2t\log t} $$
である。被積分関数 $A(t)f'(t)$ は負で、$\int_2^y\frac{dt}{t\log t}=\log\log y-\log\log2\to\infty$ なので、$\int_2^yA(t)f'(t)\,dt\to-\infty$ であり、仮定 2 だけが成り立たない。級数については、$\frac1{t\log t}$ が減少関数なので $\sum_{n=3}^N\frac1{n\log n}\ge\int_3^{N+1}\frac{dt}{t\log t}\to\infty$ である。