Spectral space

以下、可換環の基本事項として、イデアル $I$ の根基（根基）$\sqrt{I}$ が $I$ を含む素イデアル全体の共通部分に等しいこと（AM69 Proposition 1.14）、および $V(I)=V(\sqrt{I})$、$V(\sum_i I_i)=\bigcap_i V(I_i)$、$V(IJ)=V(I)\cup V(J)$ を用いる（AM69 Chapter 1, Exercise 15）。
開基。開集合 $X\setminus V(I)$ は $\bigcup_{f\in I}D(f)$ に等しい（$\mathfrak{p}\notin V(I)\iff I\not\subset\mathfrak{p}\iff$ ある $f\in I$ で $f\notin\mathfrak{p}$）。よって $\{D(f)\}_{f\in A}$ は開基である。また $D(f)\cap D(g)=D(fg)$ である（$fg\notin\mathfrak{p}\iff f\notin\mathfrak{p}$ かつ $g\notin\mathfrak{p}$）。
$D(f)$ の準コンパクト性。$D(f)\subset\bigcup_{i\in I}D(g_i)$ とする。$J$ を $\{g_i\}_{i\in I}$ が生成するイデアルとすると $\bigcup_i D(g_i)=X\setminus V(J)$ なので、仮定は $V(J)\subset V(f)$ と同値であり、これは $J$ を含む任意の素イデアルが $f$ を含むこと、すなわち $f\in\sqrt{J}$ と同値である。よって $f^n=\sum_{i\in F}a_ig_i$（$F\subset I$ は有限集合、$a_i\in A$）と書け、$f\in\sqrt{J_F}$（$J_F$ は $\{g_i\}_{i\in F}$ の生成するイデアル）であるから、同じ同値により $D(f)\subset\bigcup_{i\in F}D(g_i)$ である。$D(f)$ の任意の開被覆は開基 $\{D(g)\}$ による被覆に細分できるので、$D(f)$ は準コンパクトである。特に $X=D(1)$ は準コンパクトである。
準コンパクト開集合の特徴づけ。有限個の準コンパクト集合の合併は準コンパクトなので、$D(f_1)\cup\cdots\cup D(f_n)$ は準コンパクト開集合である。逆に準コンパクト開集合 $U$ は $D(f)$ たちの合併なので、有限個の $D(f_i)$ の合併である。よって準コンパクト開集合 2 つの共通部分は
$$\Bigl(\bigcup_iD(f_i)\Bigr)\cap\Bigl(\bigcup_jD(g_j)\Bigr)=\bigcup_{i,j}D(f_ig_j)$$
であり準コンパクトである。準コンパクト開集合は $D(f)$ を含むので開基をなす。
$T_0$。$\mathfrak{p}\ne\mathfrak{q}$ なら、たとえば $f\in\mathfrak{p}\setminus\mathfrak{q}$ がとれ（なければ $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{q}$ なので $\mathfrak{q}\setminus\mathfrak{p}$ からとる）、$D(f)$ は $\mathfrak{q}$ を含み $\mathfrak{p}$ を含まない。
sober。まず点の閉包は $\overline{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$ である。実際 $V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む閉集合であり、$\mathfrak{p}\in V(I)$ すなわち $I\subset\mathfrak{p}$ ならば $V(\mathfrak{p})\subset V(I)$ なので、$V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む最小の閉集合である。$Z$ を空でない既約閉集合とし、$Z=V(I)$、$I=\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in Z}\mathfrak{p}$ ととる。$Z\ne\emptyset$ なので $I\ne A$ である。$fg\in I$ とすると $Z\subset V(fg)=V(f)\cup V(g)$ なので $Z=(Z\cap V(f))\cup(Z\cap V(g))$ であり、既約性により $Z\subset V(f)$ または $Z\subset V(g)$、たとえば前者とすると $f\in\bigcap_{\mathfrak{p}\in Z}\mathfrak{p}=I$ である。よって $I$ は素イデアルであり、$Z=V(I)=\overline{\{I\}}$ となって $I$ は $Z$ の生成点である。一意性：$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=\overline{\{\mathfrak{q}\}}$ なら $V(\mathfrak{p})=V(\mathfrak{q})$ なので $\mathfrak{q}\in V(\mathfrak{p})$ かつ $\mathfrak{p}\in V(\mathfrak{q})$、すなわち $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$ である。$\square$

1. 有限空間では任意の部分集合が準コンパクトなので、条件 2・3 は明らかである。$Z$ を空でない既約閉集合とすると、$Z=\bigcup_{z\in Z}\overline{\{z\}}$ は有限個の閉集合の合併なので、既約性を繰り返し用いて $Z=\overline{\{z\}}$ となる $z\in Z$ がある。$\overline{\{z\}}=\overline{\{z'\}}$ なら、$T_0$ 性により $z=z'$ である（$z\ne z'$ なら一方だけを含む開集合 $U$ があり、たとえば $z\in U\not\ni z'$ とすると $z\in\overline{\{z'\}}$ に反する。実際 $z\in\overline{\{z'\}}$ なら $z$ の任意の開近傍は $z'$ を含む）。よって sober であり、$T_0$ と合わせて spectral である。
2. $X$ を Stone 空間とする。コンパクト Hausdorff 空間では各点の連結成分（連結成分）は、その点を含む開かつ閉な集合（開かつ閉集合）すべての共通部分（擬成分、擬成分）に一致する（Eng89 Theorem 6.1.23）。全不連結性により連結成分は一点集合なので、$x\in X$ と開集合 $U\ni x$ に対し $\bigcap\{C\mid C\text{ は }x\text{ を含む開かつ閉集合}\}=\{x\}\subset U$ であり、閉集合 $X\setminus U$ は開集合 $X\setminus C$ たちで覆われるので、コンパクト性により有限個の $C_1,\dots,C_n$ について $x\in C_1\cap\cdots\cap C_n\subset U$ となる。$C_1\cap\cdots\cap C_n$ は開かつ閉なので、開かつ閉な集合全体は開基をなす。開かつ閉な集合は準コンパクト空間の閉集合なので準コンパクトであり、逆に Hausdorff 空間の準コンパクト開集合は閉でもあるので開かつ閉である。よって準コンパクト開集合の全体は開かつ閉な集合の全体に一致し、有限共通部分で閉じ、開基をなす。Hausdorff 空間では 2 点以上を含む閉集合 $Z$ は既約でない（$z\ne z'\in Z$ を分離する交わらない開集合 $U,U'$ をとると $Z=(Z\setminus U)\cup(Z\setminus U')$ は真の閉部分集合による分解である）。したがって既約閉集合は一点集合 $\{z\}$ だけで、生成点 $z$ はただ一つである。ゆえに $X$ は spectral である。$\square$

$T_0$ 性は部分空間に遺伝する。$Z$ は準コンパクト空間の閉集合なので準コンパクトである。$X$ の準コンパクト開集合 $U$ に対し $U\cap Z$ は準コンパクト集合 $U$ の（相対）閉集合なので準コンパクトであり、$Z$ の開集合である。$Z$ の開集合は $W\cap Z$（$W$ は $X$ の開集合）の形で、$W$ は準コンパクト開集合の合併なので、$\{U\cap Z\mid U\text{ は }X\text{ の準コンパクト開集合}\}$ は $Z$ の開基をなす。逆に $Z$ の準コンパクト開集合 $V$ はこの開基の成員の有限個の合併 $\bigcup_{i=1}^n(U_i\cap Z)=(\bigcup_iU_i)\cap Z$ なので、$Z$ の準コンパクト開集合はちょうど $U\cap Z$（$U$ は $X$ の準コンパクト開集合）の形の集合である。したがって $(U\cap Z)\cap(U'\cap Z)=(U\cap U')\cap Z$ は準コンパクトであり、条件 3 が成り立つ。$Z$ の空でない既約閉集合 $Y$ は $X$ の閉集合（$Z$ が閉なので）であり、$X$ の閉集合による分解は $Z$ の閉集合による分解でもあるので $X$ で既約である。よって $X$ での生成点 $y$ があり、$y\in Y\subset Z$ かつ $Y=\overline{\{y\}}$ の閉包を $Z$ でとっても同じなので、$y$ は $Z$ における生成点である。一意性は $T_0$ 性から従う（prf-spectral-space-finite-stone (1) の議論）。包含写像が spectral であることは、準コンパクト開集合 $U$ の逆像 $U\cap Z$ が準コンパクトであることそのものである。$\square$

有限直和は $T_0$ であり、有限個の準コンパクト空間の直和なので準コンパクトである。各 $X_i$ の準コンパクト開基の合併は $X$ の開基をなし、相異なる成分に属する二つの基底開集合の共通部分は空、同じ成分に属する場合は準コンパクトだから、有限共通部分で閉じる。$X$ の既約閉集合は二つの成分にまたがれない。実際二成分以上と交われば、成分ごとの閉集合の和で非自明に分解できる。従って一つの $X_i$ に含まれ、その中で一意な生成点をもつので $X$ は sober である。包含 $j_i\colon X_i\hookrightarrow X$ と $X$ の準コンパクト開集合 $U$ に対し、逆像は $j_i^{-1}(U)=U\cap X_i$ である。成分 $X_i$ は $X$ で開かつ閉なので、$U\cap X_i$ は準コンパクト空間 $U$ の閉集合として準コンパクトである。従って各包含は spectral である。
無限直和の場合、各成分 $X_i$ は空でない開集合であり、全成分の族は直和全体を覆うが有限部分族では覆えない。従って全体が準コンパクトでない。$\square$

すべての開集合が準コンパクトなので、とくに全空間は準コンパクトであり、全開集合族そのものが準コンパクト開集合からなる開基になる。有限個の開集合の共通部分は再び開集合だから準コンパクトである。sober性は仮定されているので、spectral space の定義の全条件が成り立つ。$\square$

$g\in A$ に対し $f^{-1}(D(g))=\{\mathfrak{q}\mid g\notin\varphi^{-1}(\mathfrak{q})\}=\{\mathfrak{q}\mid\varphi(g)\notin\mathfrak{q}\}=D(\varphi(g))$ である。$\{D(g)\}$ は $\operatorname{Spec}A$ の開基なので $f$ は連続である。$\operatorname{Spec}A$ の準コンパクト開集合は有限個の $D(g_i)$ の合併（prop-spectral-space-spec）なので、その逆像 $\bigcup_iD(\varphi(g_i))$ は準コンパクト開集合である。$\square$

$x\notin\emptyset$ かつ $x\in X$ なので、$I_x$ は $\emptyset$ を含み $X$ を含まない。$V\subseteq U$ かつ $U\in I_x$ なら $x\notin V$ だから $V\in I_x$ であり、$x\notin U,V$ なら $x\notin U\cup V$ だから有限合併で閉じる。さらに $U\cap V\in I_x$ なら $x\notin U\cap V$ なので $x\notin U$ または $x\notin V$、従って $U\in I_x$ または $V\in I_x$ である。よって $I_x$ は素イデアルである。
$I_x=I_y$ なら、$x$ を含む準コンパクト開集合と $y$ を含む準コンパクト開集合がすべて一致する。これらは開基をなすので $x,y$ は同じ開近傍をもち、$T_0$ 性から $x=y$ である。従って写像は単射である。全射性は thm-spectral-space-stone-duality の逆向きの対応、すなわち有界分配束の素イデアルから点を復元する部分である。最後に
$$ x\in D(U)\text{ の逆像} \Longleftrightarrow U\notin I_x \Longleftrightarrow x\in U $$
だから基本開集合の逆像は $U$ であり、この全単射は同相である。$\square$