対称式・交代式と差積

$a$ と $b$ を入れ替えると、3 つの因数は
$$ a-b\ \to\ b-a=-(a-b),\qquad b-c\ \to\ a-c=-(c-a),\qquad c-a\ \to\ c-b=-(b-c) $$
になる。3 つの積は、並べかえると $(-1)^3(a-b)(c-a)(b-c)=-\Delta$ である。
$b$ と $c$ を入れ替えると、$a-b\to a-c=-(c-a)$、$b-c\to c-b=-(b-c)$、$c-a\to b-a=-(a-b)$ で、積は同じく $-\Delta$ である。
$c$ と $a$ を入れ替えると、$a-b\to c-b=-(b-c)$、$b-c\to b-a=-(a-b)$、$c-a\to a-c=-(c-a)$ で、積は同じく $-\Delta$ である。$\square$

$g$ を対称式、$f$、$f_1$、$f_2$ を交代式とし、どれか 2 つの文字を入れ替える操作を考える。この入れ替えで $g$ は $g$ に、$f$ は $-f$ に移るので、積 $gf$ は $g\cdot(-f)=-gf$ に移る。よって $gf$ は交代式である。$f_1f_2$ は $(-f_1)(-f_2)=f_1f_2$ に移るので、対称式である。どの 2 文字の入れ替えでも同じなので、結論が成り立つ。$\square$

要点：$a-b$ は $a$ について最高次の係数が $1$ なので、係数に $b,c$ を含んでいても割り算ができ、余りは $f(b,b,c)$ になる。剰余の定理と因数定理 の因数定理と同じ議論である。

交代式なので $f(b,a,c)=-f(a,b,c)$ が多項式として成り立つ。両辺の $b$ に $a$ を代入すると $f(a,a,c)=-f(a,a,c)$、つまり $2f(a,a,c)=0$ で、$f(a,a,c)=0$ である。$b$ と $c$ の入れ替え、$c$ と $a$ の入れ替えでも同じである。$\square$

方針：lem-apd-zero で「2 文字が等しいと $0$」を得て、lem-apd-factor で $a-b$、$b-c$、$c-a$ を 1 つずつくくり出す。最後に、入れ替えで商がどう変わるかを見る。
段 1（$a-b$ をくくり出す）。lem-apd-zero により $f(a,a,c)=0$ である。$a$ に $b$ を代入した $f(b,b,c)$ も、この式の文字の名前を変えたものなので $0$ である。lem-apd-factor により $f=(a-b)g$ となる多項式 $g$ がある。
段 2（$b-c$ をくくり出す）。lem-apd-zero により $f(a,b,b)=0$ である。段 1 の式に $c=b$ を代入すると $f(a,b,b)=(a-b)\,g(a,b,b)$ なので、$(a-b)\,g(a,b,b)=0$ である。$a-b\ne0$ なので、$0$ でない多項式どうしの積は $0$ でないことから $g(a,b,b)=0$ である。$g$ を $b$ の多項式とみて lem-apd-factor を使うと（$b$ に $c$ を代入した $g(a,c,c)$ も $0$）、$g=(b-c)h$ となる多項式 $h$ がある。よって $f=(a-b)(b-c)h$ である。
段 3（$c-a$ をくくり出す）。lem-apd-zero により $f(a,b,a)=0$ である。段 2 の式に $c=a$ を代入すると $f(a,b,a)=(a-b)(b-a)\,h(a,b,a)=-(a-b)^2h(a,b,a)$ なので、段 2 と同じ理由で $h(a,b,a)=0$ である。$h$ を $c$ の多項式とみて lem-apd-factor を使うと、$h=(c-a)q$ となる多項式 $q$ がある。よって
$$ f=(a-b)(b-c)(c-a)\,q=\Delta q $$
である。
段 4（$q$ はただ 1 つ）。$\Delta q=\Delta q'$ なら、$\Delta\ne0$ なので $q=q'$ である。
段 5（$q$ は対称式）。$a$ と $b$ を入れ替えた式を $f'$、$\Delta'$、$q'$ と書く。$f=\Delta q$ の両辺で $a$ と $b$ を入れ替えると $f'=\Delta'q'$ である。$f$ は交代式なので $f'=-f$、lem-apd-delta により $\Delta'=-\Delta$ である。よって $-f=-\Delta q'$、つまり $\Delta q=\Delta q'$ で、段 4 と同じく $q'=q$ である。$b$ と $c$、$c$ と $a$ の入れ替えでも同じなので、$q$ は対称式である。$\square$

$f\ne0$ を交代式とすると、thm-apd-main により $f=\Delta q$、$q\ne0$ である。$0$ でない多項式の積の次数は次数の和なので（最高次の項どうしの積が残る）、$f$ の次数は $3+(q\text{ の次数})\ge3$ である。よって次数が $3$ より小さい交代式は $0$ で、(i) が成り立つ。$f$ の次数が $3$ なら $q$ の次数は $0$、つまり $q$ は $0$ でない定数で、(ii) が成り立つ。$\square$

(i)：$h_{n-1}(x,y)=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}$ に $x$ を掛けると $x^n+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1}$、$y$ を掛けると $x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1}+y^n$ である。差をとると、共通の $x^{n-1}y,\ldots,xy^{n-1}$ が消えて $x^n-y^n$ が残る。
(ii)：$h_k(a,b,c)$ の単項式 $a^ib^jc^l$ を、$c$ の指数 $l$ で分ける。$l=k-j$ のとき、残りの $a^ib^{j'}$（$i+j'=j$）は、$a,b$ の次数 $j$ の単項式をちょうど 1 回ずつ動く。その和は $h_j(a,b)$ なので、$c^{k-j}$ の項をまとめると $h_j(a,b)c^{k-j}$ である。$j=0,1,\ldots,k$ について足すと (ii) になる。$\square$

方針：$f_n$ を $a^n-c^n$ と $b^n-c^n$ を使って書き直し、lem-apd-h (i) で $a-c$、$b-c$ をくくり出す。残りの差からさらに $a-b$ が出る。
段 1（組みかえ）。
$$ (b-c)(a^n-c^n)-(a-c)(b^n-c^n) $$
を展開すると $a^n(b-c)-c^n(b-c)-b^n(a-c)+c^n(a-c)$ で、$c^n$ の項をまとめると $c^n\{-(b-c)+(a-c)\}=c^n(a-b)$、$b^n$ の項は $-b^n(a-c)=b^n(c-a)$ である。よって
$$ f_n=(b-c)(a^n-c^n)-(a-c)(b^n-c^n) $$
である。
段 2（$a-c$ と $b-c$ をくくり出す）。lem-apd-h (i) により $a^n-c^n=(a-c)h_{n-1}(a,c)$、$b^n-c^n=(b-c)h_{n-1}(b,c)$ である。代入すると
$$ f_n=(b-c)(a-c)h_{n-1}(a,c)-(a-c)(b-c)h_{n-1}(b,c)=(a-c)(b-c)\bigl\{h_{n-1}(a,c)-h_{n-1}(b,c)\bigr\} $$
である。
段 3（残りの差から $a-b$ を出す）。$h_{n-1}(a,c)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}a^ic^{n-1-i}$、$h_{n-1}(b,c)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}b^ic^{n-1-i}$ なので、$c$ の指数が同じ項どうしの差をとると
$$ h_{n-1}(a,c)-h_{n-1}(b,c)=\sum_{i=1}^{n-1}(a^i-b^i)\,c^{n-1-i} $$
である（$i=0$ の項は $1-1=0$）。lem-apd-h (i) により $a^i-b^i=(a-b)h_{i-1}(a,b)$ なので、$j=i-1$ とおくと
$$ h_{n-1}(a,c)-h_{n-1}(b,c)=(a-b)\sum_{j=0}^{n-2}h_j(a,b)\,c^{n-2-j}=(a-b)\,h_{n-2}(a,b,c) $$
である（最後の等号は lem-apd-h (ii) で $k=n-2$ としたもの）。
段 4（まとめる）。段 2 と段 3 から
$$ f_n=(a-c)(b-c)(a-b)\,h_{n-2}(a,b,c) $$
である。$(a-c)(b-c)(a-b)=\{-(c-a)\}(b-c)(a-b)=-\Delta$ なので、$f_n=-\Delta\,h_{n-2}(a,b,c)$ である。$\square$

$a,b,c$ を解とする 3 次式は $(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-s_1x^2+s_2x-s_3$ である（展開すると係数が基本対称式になる。根と係数の関係と対称式）。3次方程式と多項式の判別式 の定義により、最高次の係数が $1$ の 3 次式 $(x-a)(x-b)(x-c)$ の判別式は $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2=\Delta^2$ であり、同じ記事の公式「一般の 3 次式の判別式」により、係数 $B,C,D$ を使って $B^2C^2-4C^3-4B^3D-27D^2+18BCD$ と書ける。$B=-s_1$、$C=s_2$、$D=-s_3$ を代入すると
$$ B^2C^2=s_1^2s_2^2,\quad -4C^3=-4s_2^3,\quad -4B^3D=-4(-s_1)^3(-s_3)=-4s_1^3s_3,\quad -27D^2=-27s_3^2,\quad 18BCD=18s_1s_2s_3 $$
で、足すと命題の式になる。$\square$