接続

1. 定義の式が $a\omega\otimes s$ と $\omega\otimes as$（$a\in\mathcal{O}$）で同じ値をとることを見る。前者は
   $$ d(a\omega)\otimes s+(-1)^pa\,\omega\wedge\nabla s=(da\wedge\omega+a\,d\omega)\otimes s+(-1)^pa\,\omega\wedge\nabla s $$
   であり、後者は
   $$ d\omega\otimes as+(-1)^p\omega\wedge(da\otimes s+a\nabla s)=a\,d\omega\otimes s+(-1)^p(\omega\wedge da)\otimes s+(-1)^pa\,\omega\wedge\nabla s $$
   である。$da$ は 1 形式なので $\omega\wedge da=(-1)^pda\wedge\omega$ であり、両者は一致する。加法性は明らかなので、$\nabla$ は $\Omega^p\otimes_{\mathcal{O}}\mathcal{E}$ の上で定まる。次に $\xi=\omega\otimes s$ とすると
   $$ \nabla(\eta\wedge\omega\otimes s)=d(\eta\wedge\omega)\otimes s+(-1)^{p+q}\eta\wedge\omega\wedge\nabla s =d\eta\wedge\omega\otimes s+(-1)^q\eta\wedge\bigl(d\omega\otimes s+(-1)^p\omega\wedge\nabla s\bigr) $$
   であり、右辺は $d\eta\wedge\xi+(-1)^q\eta\wedge\nabla\xi$ である。
2. $a\in\mathcal{O}$、$s\in\mathcal{E}$ に対し、Leibniz 則と 1（$da\otimes s=da\wedge(1\otimes s)$ と $a\nabla s$ に適用する）により
   $$ R(as)=\nabla(da\otimes s+a\nabla s)=\bigl(d(da)\otimes s-da\wedge\nabla s\bigr)+\bigl(da\wedge\nabla s+a\,\nabla\nabla s\bigr)=a\,R(s) $$
   である。ここで $d\circ d=0$ を使った。加法性と合わせて $R$ は $\mathcal{O}$ 線型である。$\mathcal{E}$ が有限階数の局所自由層なら $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(\mathcal{E},\Omega^2\otimes\mathcal{E})\cong\Omega^2\otimes\mathcal{E}nd_{\mathcal{O}}(\mathcal{E})$ である。
3. 1 を二度使うと
   $$ \nabla\nabla(\omega\otimes s)=\nabla\bigl(d\omega\otimes s+(-1)^p\omega\wedge\nabla s\bigr) =d(d\omega)\otimes s+(-1)^{p+1}d\omega\wedge\nabla s+(-1)^p\bigl(d\omega\wedge\nabla s+(-1)^p\omega\wedge\nabla\nabla s\bigr)=\omega\wedge R(s) $$
   である。よって $R=0$ なら $\nabla\circ\nabla=0$ で複体になり、逆に複体なら $p=0$ の場合が $R=0$ である。$\square$

1. $X$ についての $\mathcal{O}$ 線型性と $s$ についての $\mathcal{A}$ 線型性は定義から明らかである。Leibniz 則を $X$ で縮約すると $\nabla_X(as)=\langle X,da\rangle s+a\nabla_Xs=X(a)s+a\nabla_Xs$ である。逆に、$\Omega^1$ が有限階数の局所自由層なので $\Omega^1\otimes\mathcal{E}\cong\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(\mathcal{T},\mathcal{E})$（$\theta\otimes s\mapsto(X\mapsto\theta(X)s)$）であり、$s$ ごとに $\mathcal{O}$ 線型写像 $X\mapsto\nabla_Xs$ に対応する $\Omega^1\otimes\mathcal{E}$ の元を $\nabla s$ と定めると、$\nabla$ は $\mathcal{A}$ 線型で、第 3 の条件がちょうど Leibniz 則になる。$\nabla s$ は $\nabla_Xs$ たちから一意に決まる。
2. 局所的に $\nabla s=\sum_i\theta_i\otimes s_i$（$\theta_i\in\Omega^1$、$s_i\in\mathcal{E}$、有限和）と書く。def-conn-curvature により $R(s)=\sum_i\bigl(d\theta_i\otimes s_i-\theta_i\wedge\nabla s_i\bigr)$ である。$X,Y$ で縮約すると、規約により
   $$ R(X,Y)s=\sum_i\Bigl(X(\theta_i(Y))-Y(\theta_i(X))-\theta_i([X,Y])\Bigr)s_i-\sum_i\bigl(\theta_i(X)\nabla_Ys_i-\theta_i(Y)\nabla_Xs_i\bigr) $$
   となる。一方 $\nabla_Ys=\sum_i\theta_i(Y)s_i$ なので、1 の Leibniz 則により
   $$ \nabla_X\nabla_Ys=\sum_i\bigl(X(\theta_i(Y))s_i+\theta_i(Y)\nabla_Xs_i\bigr),\qquad \nabla_Y\nabla_Xs=\sum_i\bigl(Y(\theta_i(X))s_i+\theta_i(X)\nabla_Ys_i\bigr),\qquad \nabla_{[X,Y]}s=\sum_i\theta_i([X,Y])s_i $$
   である。第 1 式から第 2 式と第 3 式を引くと、上の $R(X,Y)s$ の式に一致する。$\square$

1. $\mathbb{C}^\times$ は複素 1 次元なので $\Omega^2=0$ であり、曲率は自動的に $0$ である。$\nabla_a(s)=(s'+as/t)\,dt$ なので、$s$ が水平であることは $s'=-as/t$ と同値である。$U$ 上で $(t^{-a})'=-a\,t^{-a}/t$ なので $t^{-a}$ は水平である。逆に $s$ が連結空間 $U$ 上の水平切断なら、$t^{a}:=\exp(a\log t)$ に対して $(s\,t^{a})'=t^{a}(s'+as/t)=0$ なので $s\,t^{a}$ は定数 $c$ であり、$s=c\,t^{-a}$ である。単連結な開集合（$\mathbb{C}^\times$ に含まれる開円板）は $\mathbb{C}^\times$ の開基をなすので、$\mathcal{E}^{\nabla_a}$ は局所的に定数層 $\mathbb{C}$ と同型である。
2. $\gamma$ に沿って $\log t$ を連続に選ぶと、$\theta=0$ から $2\pi$ までの間に $\log t$ は $2\pi i$ だけ増えるので、$t^{-a}=\exp(-a\log t)$ は $\exp(-a(\log t+2\pi i))=e^{-2\pi ia}\,t^{-a}$ に移る。水平切断の解析接続は道のホモトピー類だけで決まる（rem-conn-parallel-transport）ので、これが生成元の作用である。
3. $g\in\mathcal{O}^\times(\mathbb{C}^\times)$ による同型 $s\mapsto gs$ が接続を保つ、すなわち $\nabla_b(gs)=g\,\nabla_a(s)$ が成り立つことは、Leibniz 則により $dg\,s+b\,gs\,dt/t=a\,gs\,dt/t$、つまり $dg/g=(a-b)\,dt/t$ と同値である。$a-b=n\in\mathbb{Z}$ なら $g=t^{n}$ がこれを満たす。逆に接続を保つ同型 $g$ があれば、$g$ は $\mathbb{C}^\times$ 全体で一価なので、$s$ を $\gamma$ に沿って解析接続したものに $g$ を掛けたものは $gs$ の解析接続であり、2 により $e^{-2\pi ib}\,gs=g\,e^{-2\pi ia}s$、すなわち $a-b\in\mathbb{Z}$ である。
4. $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ の単元は $c\,t^{n}$（$c\in\mathbb{C}^\times$、$n\in\mathbb{Z}$）だけであり、$dg/g=(a-b)\,dt/t$ は $n=a-b$ と同値なので、同型の判定が従う。水平切断 $f=\sum_nc_nt^n\in\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ の条件 $tf'=-af$ は各 $n$ について $(n+a)c_n=0$ である。$a\notin\mathbb{Z}$ ならすべての $c_n=0$、$a=-m\in\mathbb{Z}$ なら $f=c\,t^{m}$ が水平である。$\square$

1. Leibniz 則により $\nabla(s_je_j)=ds_j\otimes e_j+s_j\nabla e_j=ds_j\otimes e_j+\sum_iA_{ij}s_j\otimes e_i$ であり、$j$ について足せばよい。
2. def-conn-curvature の延長を使うと
   $$ R(e_j)=\nabla\Bigl(\sum_iA_{ij}\otimes e_i\Bigr)=\sum_i\bigl(dA_{ij}\otimes e_i-A_{ij}\wedge\nabla e_i\bigr)=\sum_idA_{ij}\otimes e_i-\sum_{i,k}A_{ij}\wedge A_{ki}\otimes e_k $$
   である。1 形式は反可換なので $-A_{ij}\wedge A_{ki}=A_{ki}\wedge A_{ij}$ であり、$e_k$ の係数は $dA_{kj}+\sum_iA_{ki}\wedge A_{ij}=(dA+A\wedge A)_{kj}$ である。座標表示は、$dA=\sum_{i,k}\partial_iA_k\,dx_i\wedge dx_k$ と $A\wedge A=\sum_{k,l}A_kA_l\,dx_k\wedge dx_l$ を $(\partial_i,\partial_j)$ で縮約すれば得られる。
3. $\nabla e'_j=\sum_idg_{ij}\otimes e_i+\sum_ig_{ij}\nabla e_i=\sum_k\bigl(dg_{kj}+\sum_iA_{ki}g_{ij}\bigr)\otimes e_k=\sum_k(dg+Ag)_{kj}\otimes e_k$ であり、$e_k=\sum_l(g^{-1})_{lk}e'_l$ を代入すると $\nabla e'_j=\sum_l\bigl(g^{-1}(dg+Ag)\bigr)_{lj}\otimes e'_l$ となる。曲率については、$R$ が $\mathcal{O}$ 線型であること（prop-conn-curvature-linear）により
   $$ R(e'_j)=\sum_ig_{ij}R(e_i)=\sum_{i,k}g_{ij}F_{ki}\otimes e_k=\sum_k(Fg)_{kj}\otimes e_k=\sum_l(g^{-1}Fg)_{lj}\otimes e'_l $$
   である。$\square$

2 を示す。$\nabla^\otimes$ が $\mathcal{O}$ 上のテンソル積の上で定まることを見るために、$(as)\otimes t$ と $s\otimes(at)$ の像を比べる。前者の像は $\nabla(as)\otimes t+as\otimes\nabla't=da\otimes s\otimes t+a\,\nabla s\otimes t+a\,s\otimes\nabla't$、後者の像は $\nabla s\otimes at+s\otimes\nabla'(at)=a\,\nabla s\otimes t+da\otimes s\otimes t+a\,s\otimes\nabla't$ であり、一致する。Leibniz 則 $\nabla^\otimes(a\,s\otimes t)=da\otimes(s\otimes t)+a\,\nabla^\otimes(s\otimes t)$ はこの計算に含まれている。
3 を示す。まず $\langle\nabla^\vee\varphi,s\rangle$ が $s$ について $\mathcal{O}$ 線型であることを見る。
$$ \langle\nabla^\vee\varphi,as\rangle=d(a\varphi(s))-\langle\varphi,da\otimes s+a\nabla s\rangle=da\,\varphi(s)+a\,d\varphi(s)-da\,\varphi(s)-a\langle\varphi,\nabla s\rangle=a\langle\nabla^\vee\varphi,s\rangle $$
であり、加法性は明らかである。よって $\nabla^\vee\varphi\in\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(\mathcal{E},\Omega^1)$ が定まり、$\mathcal{E}$ が有限階数の局所自由層なので $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(\mathcal{E},\Omega^1)\cong\Omega^1\otimes\mathcal{E}^\vee$ である。$\varphi$ についての Leibniz 則は
$$ \langle\nabla^\vee(a\varphi),s\rangle=d(a\varphi(s))-a\langle\varphi,\nabla s\rangle=da\,\varphi(s)+a\langle\nabla^\vee\varphi,s\rangle=\langle da\otimes\varphi+a\nabla^\vee\varphi,s\rangle $$
から従う。曲率は局所枠で計算する。$U$ 上の枠 $e_1,\dots,e_r$ とその双対枠 $e^1,\dots,e^r$（$e^i(e_j)=\delta_{ij}$）をとり、$\nabla$ の接続行列を $A$ とする。$\langle\nabla^\vee e^i,e_j\rangle=d\delta_{ij}-\langle e^i,\sum_kA_{kj}\otimes e_k\rangle=-A_{ij}$ なので $\nabla^\vee e^i=-\sum_jA_{ij}\otimes e^j$ であり、$\nabla^\vee$ の接続行列は $A^\vee=-A^{\mathsf{t}}$（転置）である。prop-conn-local-matrix により $\nabla^\vee$ の曲率行列は $F^\vee=dA^\vee+A^\vee\wedge A^\vee=-dA^{\mathsf{t}}+A^{\mathsf{t}}\wedge A^{\mathsf{t}}$ であり、$(A^{\mathsf{t}}\wedge A^{\mathsf{t}})_{ij}=\sum_kA_{ki}\wedge A_{jk}=-\sum_kA_{jk}\wedge A_{ki}=-(A\wedge A)_{ji}$ なので $F^\vee=-(dA+A\wedge A)^{\mathsf{t}}=-F^{\mathsf{t}}$ である。よって $\langle R^\vee e^i,e_k\rangle=F^\vee_{ki}=-F_{ik}=-\langle e^i,R(e_k)\rangle$ であり、$\mathcal{O}$ 双線型性により一般の $\varphi,s$ について $\langle R^\vee\varphi,s\rangle=-\langle\varphi,R(s)\rangle$ である。
1 は 2 と同じ型の計算である。$\varphi^*\nabla$ の式が $b\otimes as$ と $b\varphi^\sharp(a)\otimes s$（$\varphi^\sharp\colon\varphi^{-1}\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_Y$）で同じ値をとることは、$d(b\varphi^\sharp(a))=\varphi^\sharp(a)\,db+b\,\varphi^*(da)$ と Leibniz 則から確かめられる。$\mathcal{H}om$ の接続の式は、2 と 3 を $\mathcal{E}^\vee\otimes\mathcal{F}$ に適用して $\langle\ ,\ \rangle$ で書き直したものである。$\square$