線織曲面

交点数は 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定義「交点数」の意味で、同記事の補題「滑らかな曲線との交点数は次数」により、滑らかな曲線 $Y$ と因子 $D$ について $Y\cdot D=\deg(\mathcal{O}_X(D)|_Y)$ である。
1：射影束のPicard群 の定理「射影束の Picard 群」の 1 と $\mathcal{O}_X(1)\cong\mathcal{O}_X(C_0)$（prop-rs-normalized）から、$\operatorname{Pic}C\times\mathbb{Z}\to\operatorname{Pic}X$、$(\mathcal{N},a)\mapsto\pi^*\mathcal{N}\otimes\mathcal{O}_X(aC_0)$ は同型である。ファイバー $X_c$ への制限で、$\pi^*\mathcal{N}$ は自明、$\mathcal{O}_X(1)$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$ になるので、$(\pi^*\mathcal{N}\otimes\mathcal{O}_X(aC_0))\cdot X_c=a$ は $c$ によらない。点 $c$ の因子の引き戻しはファイバー $X_c$ そのものなので（$\pi$ は滑らかな射でファイバーは被約）、$\deg\mathcal{N}=b$ なら $\pi^*\mathcal{N}$ は $b$ 本のファイバーの和と差に線形同値であり、各ファイバーとの交点数は同じだから $\pi^*\mathcal{N}\equiv bf$ である。数値的に $aC_0+bf\equiv0$ なら、$f$ との交点数から $a=0$、$C_0$ との交点数（2 による）から $b=0$ なので、表し方は一意である。
2：$C_0$ と $f$ はどちらも $\mathbb{P}^1$ または $C$ に同型な滑らかな曲線である。$f\cdot C_0=\deg(\mathcal{O}_X(1)|_{X_c})=1$。相異なるファイバーは交わらないので $f^2=X_c\cdot X_{c'}=\deg(\mathcal{O}_X(X_c)|_{X_{c'}})=0$。$C_0$ に対応する切断を $\sigma_0$ とすると、射影束 の命題「切断と可逆商」の 1 により $\sigma_0^*\mathcal{O}_X(1)\cong\mathcal{L}$ なので、$C_0^2=\deg(\mathcal{O}_X(C_0)|_{C_0})=\deg\mathcal{L}=\deg\mathcal{E}=-e$ である（$\mathcal{L}\cong\bigwedge^2\mathcal{E}$）。
3：1 により $K_X\equiv aC_0+bf$ と書ける。ファイバー $X_c\cong\mathbb{P}^1$ に随伴公式（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の系「随伴公式」）を使うと $-2=f^2+K_X\cdot f=a$。$C_0\cong C$ に使うと
$$ 2g-2=C_0^2+K_X\cdot C_0=-e+(-2C_0^2+b)=-e+2e+b, $$
よって $b=2g-2-e$ である。最後に $K_X^2=4C_0^2-4b\,C_0\cdot f+b^2f^2=-4e-4(2g-2-e)=8(1-g)$ である。$\square$

射影束 の命題「標準可逆層の順像と対称冪」により $\pi_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_C$ であり、同記事の命題「標準可逆層のひねりの高次順像」（階数 $r=2$、$n=0>-2$）により $R^i\pi_*\mathcal{O}_X=0$（$i>0$）である。Lerayスペクトル系列 の系「高次順像が消える場合」から $H^i(X,\mathcal{O}_X)\cong H^i(C,\mathcal{O}_C)$ がすべての $i$ で成り立つ。右辺は $i=0,1,2$ で $1,g,0$ 次元（$C$ は 1 次元）なので、最初の 4 つの主張を得る。
$n\ge1$ とし、$|nK_X|$ に有効因子 $D$ があったとする。$D$ の既約成分は有限個なので、それに含まれないファイバー $X_c$ がある。$D$ を定める切断を $X_c$ に制限したものは $0$ でないので、$\mathcal{O}_X(D)|_{X_c}$ は $0$ でない大域切断をもち、$D\cdot X_c=\deg(\mathcal{O}_X(D)|_{X_c})\ge0$ である。一方 thm-rs-intersection の 3 により $nK_X\cdot f=-2n<0$ であり、矛盾する。よって $P_n(X)=0$ である。$\square$

可逆層の次数と大域切断について、次を使う（Riemann–Rochの定理 の補題「$\ell(D)$ の基本性質」の 3・4）：次数が負の可逆層は $0$ でない大域切断をもたず、次数 $0$ の可逆層が $0$ でない大域切断をもつのは自明なときに限る。
1：$\mathcal{E}\cong\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2$ とする。$\deg\mathcal{L}_1>0$ なら $\mathcal{M}:=\mathcal{L}_1^{-1}$ は次数が負で $H^0(\mathcal{E}\otimes\mathcal{M})\supset H^0(\mathcal{O}_C)\ne0$ となり、正規化に反する。よって $\deg\mathcal{L}_i\le0$ である。$H^0(\mathcal{E})\ne0$ なので一方、たとえば $\mathcal{L}_1$ が $0$ でない切断をもち、上の事実から $\mathcal{L}_1\cong\mathcal{O}_C$ である。$\mathcal{M}:=\mathcal{L}_2$ とおけば $e=-\deg\mathcal{E}=-\deg\mathcal{M}\ge0$。逆に $\deg\mathcal{M}=-e\le0$ なら $H^0(\mathcal{O}_C\oplus\mathcal{M})\ni(1,0)$ は $0$ でなく、次数が負の $\mathcal{N}$ について $H^0(\mathcal{N})=H^0(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})=0$ である。$\mathcal{M}=\mathcal{O}_C(-eP)$（$P\in C$）とすれば、すべての $e\ge0$ が現れる。
2：prop-rs-normalized の完全列 $0\to\mathcal{O}_C\to\mathcal{E}\to\mathcal{L}\to0$ をとる。$\deg\mathcal{L}=\deg\mathcal{E}=-e$ である。
上界：$H^1(C,\mathcal{L}^{-1})=0$ なら、$\mathcal{L}^{-1}$ をテンソルした列 $0\to\mathcal{L}^{-1}\to\mathcal{E}\otimes\mathcal{L}^{-1}\to\mathcal{O}_C\to0$ の長完全列で $H^0(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L}^{-1})\to H^0(\mathcal{O}_C)$ が全射になり、$1$ の持ち上げが $\mathcal{O}_C\to\mathcal{E}\otimes\mathcal{L}^{-1}$ の分裂、すなわち $\mathcal{L}\to\mathcal{E}$ の分裂を与えて、$\mathcal{E}\cong\mathcal{O}_C\oplus\mathcal{L}$ が可分解になる。よって $H^1(C,\mathcal{L}^{-1})\ne0$ である。曲線の Serre 双対性（Riemann–Rochの定理 の定理「Serre双対性（曲線の場合）」）により $h^1(\mathcal{L}^{-1})=h^0(\omega_C\otimes\mathcal{L})$ なので $\deg(\omega_C\otimes\mathcal{L})\ge0$、すなわち $-e=\deg\mathcal{L}\ge2-2g$ である。
下界：次数 $-1$ の可逆層 $\mathcal{M}$ をとり、$\mathcal{M}$ をテンソルした列 $0\to\mathcal{M}\to\mathcal{E}\otimes\mathcal{M}\to\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}\to0$ を考える。正規化から $H^0(\mathcal{E}\otimes\mathcal{M})=0$ なので、長完全列から $H^0(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M})\hookrightarrow H^1(\mathcal{M})$ である。$h^0(\mathcal{M})=0$ と Riemann–Roch の定理から $h^1(\mathcal{M})=-(\deg\mathcal{M}+1-g)=g$、また Riemann の不等式（Riemann–Rochの定理 の系「Riemann の不等式」）から $h^0(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M})\ge\deg\mathcal{L}-1+1-g$ である。よって $\deg\mathcal{L}-g\le g$、すなわち $e=-\deg\mathcal{L}\ge-2g$ である。$\square$

$g=0$ では thm-rs-e-range の 2 の範囲 $0\le e\le-2$ が空なので、正規化された $\mathcal{E}$ は可分解で、1 により $\mathcal{E}\cong\mathcal{O}\oplus\mathcal{M}$、$\deg\mathcal{M}=-e$ である。$\mathbb{P}^1$ の可逆層は次数で決まる（$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^1\cong\mathbb{Z}$）ので $\mathcal{M}\cong\mathcal{O}(-e)$、$X\cong\mathbb{F}_e$ である。任意の階数 $2$ の局所自由層 $\mathcal{E}'$ は、prop-rs-normalized によりひねると正規化され、上により $\mathcal{E}'\otimes\mathcal{N}\cong\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-e)$ となるから、$\mathcal{E}'\cong\mathcal{N}^{-1}\oplus\mathcal{N}^{-1}(-e)$ である。$\square$

1：$Y$ はファイバーでないので $\pi(Y)=C$ であり、$a=Y\cdot f\ge1$ である（$Y$ と $X_c$ は共通成分をもたないので、thm-rs-invariants の証明と同じく交点数は $0$ 以上で、$Y\cap X_c\ne\emptyset$ なので正）。同様に $Y\cdot C_0=-ae+b\ge0$ である。$e\ge0$ なら $Y^2=-ea^2+2ab\ge-ea^2+2a^2e=ea^2\ge0$。$f^2=0$ なので、$e>0$ のとき負の既約曲線は $C_0$（$C_0^2=-e$）だけである。切断はファイバーでない既約曲線なので、$C_0$ 以外の切断の自己交点数は $0$ 以上で、$-e$ にならない。
2：$(-1)$ 曲線 $E$（$\mathbb{P}^1$ と同型で $E^2=-1$）があったとする。$E$ はファイバーでない（$f^2=0$）ので $\pi|_E\colon E\to C$ は全射である。$g\ge1$ なら、$\mathbb{P}^1$ から種数正の曲線への定数でない射はないので（Lüroth の定理、Har77 IV, Example 2.5.5、p. 303）矛盾する。$g=0$ なら cor-rs-rational により $e\ge0$ で、1 により $E=C_0$、$-1=C_0^2=-e$ なので $e=1$ である。逆に $\mathbb{F}_1$ の $C_0$ は $\mathbb{P}^1$ と同型で $C_0^2=-1$ なので $(-1)$ 曲線である。$\square$