四元数群

概要

四元数（Quaternion）は、アイルランドの数学者William Rowan Hamiltonによって発見された数体系であり、複素数を拡張して作られた非可換体（斜体）の一種である。実数体上の4次元ベクトル空間としての構造を持ち、その乗法は結合法則を満たすが交換法則を満たさないことが最大の特徴である。$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ という基本的な定義関係式によって支配され、幾何学的には3次元空間内の回転を特異点なしで効率的に記述できるため、コンピュータグラフィックス、制御工学、物理学（特に剛体力学や量子力学）において極めて重要な役割を果たしている。記号としては通常 $\mathbb{H}$ が用いられる。

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定義

複素数が実数に虚数単位 $i$ を加えて平面（2次元）を記述するように、四元数は3つの虚数単位 $i, j, k$ を用いて構成される。

四元数の定義

四元数の集合 $\mathbb{H}$ は、以下の形をした元の全体である。
$$ q = a + bi + cj + dk \quad (a, b, c, d \in \mathbb{R}) $$
ここで、$1, i, j, k$ は基底であり、以下の乗法規則（Hamiltonの規則）を満たす。
$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$

この短い定義式から、個別の積の規則が直ちに導かれる。例えば $ijk=-1$ の両辺に右から $k$ を掛けると $ij(-1) = -k$ より $ij=k$ となる。

積の規則（巡回性）

基本的な積の計算は以下の通りである。

  • $ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j$
  • $ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j$

このように、四元数の積においては順序が重要であり、一般に交換法則は成立しない。

直感的理解と表現

四元数は、代数的な数であると同時に、幾何学的な操作を表す演算子としての側面を強く持つ。

スカラー部とベクトル部

四元数 $q = a + bi + cj + dk$ は、実数部分 $a$ と、虚数部分（3次元ベクトルと見なせる）$\mathbf{v} = (b, c, d)$ に分けて表記することが多い。
$$ q = (a, \mathbf{v}), \quad a \in \mathbb{R}, \ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 $$
この表記を用いると、2つの四元数 $q_1=(a_1, \mathbf{v}_1), q_2=(a_2, \mathbf{v}_2)$ の積は、3次元ベクトルの内積 "$\cdot$" と外積 "$\times$" を用いて次のように簡潔に書ける。
$$ q_1 q_2 = (a_1 a_2 - \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2, \ a_1 \mathbf{v}_2 + a_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2) $$

この式は、四元数の積が「内積（スカラー）」と「外積（ベクトル）」という、現代のベクトル解析で個別に扱われる概念を統合したものであることを示している。歴史的にも、ベクトル解析は四元数から派生して生まれた。

代数的性質

四元数体 $\mathbb{H}$ は、実数体 $\mathbb{R}$、複素数体 $\mathbb{C}$ に続く自然な拡張であるが、その代償としていくつかの性質が失われている。

基本性質
  1. 非可換性: 一般に $pq \neq qp$ である。
  2. 結合法則: $(pq)r = p(qr)$ は成立する。
  3. 零因子なし: $pq = 0$ ならば、$p=0$ または $q=0$ である。
  4. 可除性: $0$ でない元は逆元を持つ（したがって $\mathbb{H}$ は斜体あるいは可除環と呼ばれる）。

これらの性質に関連して、実数上の有限次元多元環に関する重要な定理が存在する。

Frobeniusの定理

実数体 $\mathbb{R}$ 上の有限次元結合的多元環で、零因子を持たない（可除である）ものは、以下の3つに限られる。

  • 実数体 $\mathbb{R}$ （1次元）
  • 複素数体 $\mathbb{C}$ （2次元・可換）
  • 四元数体 $\mathbb{H}$ （4次元・非可換）

さらに結合法則を緩めれば八元数（Octonion, $\mathbb{O}$）が存在するが、それ以上の拡張で良い性質を持つものは存在しない（Hurwitzの定理）。

3次元回転の記述

四元数の最も強力な応用は、3次元空間の回転の記述である。オイラー角などが抱える「ジンバルロック」の問題を回避できるため、コンピュータグラフィックスや航空宇宙工学で標準的に使用される。

回転公式

3次元空間のベクトル $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$ を純虚四元数 $v = (0, \mathbf{v})$ とみなす。
回転軸方向の単位ベクトルを $\mathbf{n}$、回転角を $\theta$ とするとき、単位四元数
$$ q = \cos\frac{\theta}{2} + (\mathbf{n} \sin\frac{\theta}{2}) $$
を用意する。このとき、ベクトル $v$ を $q$ で変換した結果
$$ v' = q v q^{-1} \quad (\text{または } q v q^*) $$
は、$v$ を軸 $\mathbf{n}$ の周りに $\theta$ 回転させたベクトルに対応する。

この形式は計算効率が良く、複数の回転の合成が四元数の積 $q_{total} = q_2 q_1$ だけで計算できるという利点がある。また、球面線形補間（SLERP）を用いることで、2つの回転姿勢の間を滑らかに補間することが容易である。

具体例と反例

四元数の非可換性は、直感に反する結果をもたらすことがある。

積の順序による違い

$i$ と $j$ の積を考える。
$$ ij = k $$
一方、順序を入れ替えると、
$$ ji = -k $$
となり、符号が反転する。これは、3次元空間で「X軸周りに90度回してからY軸周りに90度回す」のと、「Y軸周りに回してからX軸周りに回す」のとでは、最終的な姿勢が異なることに対応している。

また、多項式の方程式においても、複素数までとは異なる挙動が見られる。

方程式の解の個数（反例的性質）

代数学の基本定理において、$n$ 次方程式は（重解を含めて）$n$ 個の解を持つとされるが、これは可換体上の話である。非可換な四元数体上では、例えば2次方程式
$$ x^2 + 1 = 0 $$
は、$\pm i, \pm j, \pm k$ を含む無数の解を持つ（純虚数でノルムが1のものはすべて解となる）。

関連項目

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