四元数群

行列の積を直接計算すると
$$ \mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=-\mathbf{1},\qquad \mathbf{i}\mathbf{j}=\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\\ \sqrt{-1}&0\end{pmatrix}=\mathbf{k},\qquad \mathbf{j}\mathbf{k}=\begin{pmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{pmatrix}=\mathbf{i},\qquad \mathbf{k}\mathbf{i}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\mathbf{j} $$
であり、同様に直接計算すると
$$ \mathbf{j}\mathbf{i}=\begin{pmatrix}0&-\sqrt{-1}\\ -\sqrt{-1}&0\end{pmatrix}=-\mathbf{k},\qquad \mathbf{k}\mathbf{j}=-\mathbf{i},\qquad \mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j} $$
である。$-\mathbf{1}$ はすべての行列と可換で $(-\mathbf{1})^2=\mathbf{1}$ である。したがって 8 個の行列 $\pm\mathbf{1},\pm\mathbf{i},\pm\mathbf{j},\pm\mathbf{k}$ の間の積は、def-quaternion-group の規則 1〜3 と全く同じ規則に従う。8 個の行列は互いに異なるので、$Q_8$ の積の表は、この 8 個の行列の集合 $M$ の積の表と一致する。
$M$ は $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ の部分集合で、上の計算により積について閉じ、$\mathbf{1}$ を含み、各元の逆元（$\pm\mathbf{1}$ は自分自身、$\pm\mathbf{i}$ の逆元は $\mp\mathbf{i}$ など）を含むので、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ の部分群である。特に $M$ の積は結合法則を満たす（結合的である）。積の表が一致するので $Q_8$ も群であり、上の対応は群同型 $Q_8\cong M$ を与える。$\square$

$\mathbb{H}$ の積は結合的で（$\mathbb{H}$ の結合性はex-quaternion-group-realizationsの行列表現の制限からも従う）、$1$ を単位元とし、$i,j,k$ は Hamilton の規則 $i^2=j^2=k^2=-1$、$ij=k$、$jk=i$、$ki=j$、$ji=-k$、$kj=-i$、$ik=-j$ を満たす（四元数）。実数 $-1$ は $\mathbb{H}$ のすべての元と可換である。よって $\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ の元どうしの積は def-quaternion-group の規則 1〜3 に従い、この集合は積で閉じ、$1$ と各元の逆元を含む。ゆえに $\mathbb{H}^{\times}$ の部分群であり、積の表が一致するので $Q_8$ と同型である。$\square$

$G:=\langle a,b\mid a^4=1,\ a^2=b^2,\ bab^{-1}=a^{-1}\rangle$ とおく。まず $|G|\le 8$ を示す。関係式 $bab^{-1}=a^{-1}$ から $ba=a^{-1}b=a^3b$ であり、$b^2=a^2$ から $b^{-1}=b^{-2}b=a^{-2}b=a^2b$、また $a^{-1}=a^3$ である。したがって $a^{\pm1},b^{\pm1}$ の任意の語は、$b$ をすべて右端へ移すことにより $a^rb^s$ の形に書き直せ、$a^4=1$ と $b^2=a^2$ により $0\le r\le 3$、$s\in\{0,1\}$ としてよい。よって $G$ の元は高々 8 個である。
次に、$Q_8$ において $i^4=1$、$i^2=-1=j^2$、$jij^{-1}=ji(-j)=-(ji)j=-(-k)j=kj=-i=i^{-1}$ が成り立つので、群の表示の普遍性（von Dyckの定理）により $a\mapsto i$、$b\mapsto j$ を満たす群準同型 $G\to Q_8$ が存在する。$i,j$ は $Q_8$ を生成する（$k=ij$、$-1=i^2$ であり、残りは符号を付けたもの）ので、この準同型は全射である。$|G|\le8=|Q_8|$ だから、これは同型である。$\square$

$\pm1$ は乗積表よりすべての元と可換である。$x\in\{\pm i,\pm j,\pm k\}$ は中心に属さない。実際 $x=\pm i$ なら $xj=\pm k\neq\mp k=jx$ であり、$x=\pm j$ なら $xk\neq kx$、$x=\pm k$ なら $xi\neq ix$ である。よって $Z(Q_8)=\{1,-1\}$ である。
交換子 $[i,j]=iji^{-1}j^{-1}=ij(-i)(-j)=ijij=k^2=-1$ だから $-1\in[Q_8,Q_8]$ である。一方、剰余群 $\overline{Q}:=Q_8/\{1,-1\}$ の元は $\bar1,\bar i,\bar j,\bar k$ の 4 個で、$i^2=j^2=k^2=-1\in\{1,-1\}$ より単位元以外の元はすべて位数 2 である。すべての元 $x$ が $x^2=e$ を満たす群では $xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx$ となるので、$\overline{Q}$ はアーベル群である。したがって $[Q_8,Q_8]\subset\{1,-1\}$ であり、等号が成り立つ。$\overline{Q}$ は単位元以外の元がすべて位数 2 である位数 4 の群だから、Klein の四元群 $V_4$ と同型である。$\square$

ex-quaternion-group-subgroups の 6 個の部分群を調べればよい。$\{1\}$ と $Q_8$ は明らかに正規である。$\{1,-1\}$ は中心なので正規である（$x(-1)x^{-1}=-1$）。$\langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle$ は指数(群論) 2 の部分群である。一般に、群 $G$ の指数 2 の部分群 $H$ は正規である。実際、$g\in H$ なら $gH=H=Hg$ であり、$g\notin H$ なら左剰余類は $H$ と $gH=G\setminus H$ の 2 個、右剰余類は $H$ と $Hg=G\setminus H$ の 2 個なので $gH=Hg$ となる。よってすべての部分群が正規であり、$Q_8$ はアーベル群でないので Hamilton 群である。$\square$

前半は ex-quaternion-group-subgroups の最後の主張である。$Q_8=NH$、$N\cap H=\{1\}$ となる部分群 $N,H$（$N$ は正規）があれば、$N,H$ の一方は $\{1\}$ でなければならず、そのときもう一方は $Q_8$ である。よって自明でない分解はない。$\square$

同型な群では位数 2 の元の個数が等しい。$Q_8$ の位数 2 の元は $-1$ の 1 個である（ex-quaternion-group-subgroups）。一方 $\operatorname{Dih}_4$ の元は $r^m$、$r^ms$（$0\le m\le3$）の 8 個で、これらは互いに異なる（二面体群）。$srs=r^{-1}$ から $sr^m=r^{-m}s$ なので $(r^ms)^2=r^m(sr^m)s=r^mr^{-m}s^2=e$ であり、$r^ms$（$m=0,1,2,3$）の 4 個はすべて位数 2 である。さらに $r^2\neq e$、$(r^2)^2=r^4=e$ より $r^2$ も位数 2 である。よって $\operatorname{Dih}_4$ は位数 2 の元を少なくとも 5 個もち、$Q_8$ と同型でない。$\square$

位数 4 の元は $\pm i,\pm j,\pm k$ で、$b\notin\langle a\rangle=\{\pm1,\pm a\}$ は $b\neq\pm a$ を意味する。乗積表より、$x,y\in\{\pm i,\pm j,\pm k\}$、$y\neq\pm x$ ならば $yx=-xy$ である（例えば $ji=-k=-ij$ で、符号は両辺に同じように掛かる）。よって $bab^{-1}=(-ab)b^{-1}=-a=a^{-1}$（位数 4 の元は $a^2=-1$ を満たすので $a^{-1}=-a$）であり、$a^4=1$、$a^2=-1=b^2$ も成り立つ。prop-quaternion-group-presentation の表示と群の表示の普遍性により、$i\mapsto a$、$j\mapsto b$ を満たす準同型 $\varphi\colon Q_8\to Q_8$ が存在する。$\langle a,b\rangle$ は位数 4 の部分群 $\langle a\rangle$ を真に含むので位数 8、すなわち $Q_8$ 全体であり、$\varphi$ は全射、有限集合上の全射なので単射で、自己同型である。$i,j$ が $Q_8$ を生成するので、$\varphi$ は $a,b$ から一意に定まる。
逆に $\varphi$ が自己同型なら、$\varphi(i)$ は位数 4 であり、$\varphi(j)\in\langle\varphi(i)\rangle=\varphi(\langle i\rangle)$ とすると $j\in\langle i\rangle$ となって矛盾する。$a$ の選び方は 6 通り、$b$ は $\pm a$ を除いた 4 通りなので、$|\operatorname{Aut}(Q_8)|=6\cdot4=24$ である。$\square$

$A:=\operatorname{Aut}(Q_8)$ とおく。$A$ の各元は位数 4 の巡回部分群の集合 $\{\langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle\}$ を置換するので、この 3 元集合上の置換群 $S_3$ への準同型 $\rho\colon A\to S_3$ が得られる。$\ker\rho$ は $\langle i\rangle,\langle j\rangle$ をそれぞれ保つ自己同型、すなわち $i\mapsto\pm i$、$j\mapsto\pm j$ の 4 個からなる（lem-quaternion-group-automorphism）。$x\in Q_8$ による共役 $c_x\colon y\mapsto xyx^{-1}$ は、$c_1=c_{-1}=\mathrm{id}$、$c_{\pm i}$ は $i\mapsto i$、$j\mapsto -j$、$c_{\pm j}$ は $i\mapsto -i$、$j\mapsto j$、$c_{\pm k}$ は $i\mapsto -i$、$j\mapsto -j$ を満たす（prop-quaternion-group-center の証明と同じ計算）。よって $\operatorname{Inn}(Q_8)=\{c_x\mid x\in Q_8\}=\ker\rho$ であり、これは位数 4 で単位元以外の元がすべて位数 2 なので $V_4$ と同型である（$\operatorname{Inn}(Q_8)\cong Q_8/Z(Q_8)$ からも分かる）。$|A|=24$ より $|\operatorname{im}\rho|=6$ なので $\rho$ は全射で、$\operatorname{Out}(Q_8)\cong S_3$ である。
$V:=\operatorname{Inn}(Q_8)$ とおく。$A\cong S_4$ を示すため、$A$ の中に $S_3$ と同型な部分群 $H$ で $V\cap H=\{\mathrm{id}\}$ となるものをとる。lem-quaternion-group-automorphism により、$\sigma\colon i\mapsto j,\ j\mapsto k$ と $\tau\colon i\mapsto -j,\ j\mapsto -i$ は自己同型である。$\sigma(k)=\sigma(i)\sigma(j)=jk=i$ なので $\sigma$ は $i\mapsto j\mapsto k\mapsto i$ を引き起こし位数 3、$\tau^2(i)=\tau(-j)=i$、$\tau^2(j)=j$ より $\tau$ は位数 2 である。$\tau(k)=(-j)(-i)=ji=-k$ に注意して $\tau\sigma\tau$ を計算すると、$i\mapsto -j\mapsto -k\mapsto k$、$j\mapsto -i\mapsto -j\mapsto i$ となり、これは $\sigma^{-1}$（$i\mapsto k$、$j\mapsto i$）に等しい。$H:=\langle\sigma,\tau\rangle$ とおくと、$\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}$ より $H$ の元は $\sigma^m\tau^n$（$0\le m\le2$、$n\in\{0,1\}$）と書けるので $|H|\le6$ である。一方 $\rho(\sigma)$ は 3 個の部分群の巡回置換、$\rho(\tau)$ は $\langle i\rangle$ と $\langle j\rangle$ の互換なので $\rho(H)=S_3$ であり、$|H|=6$、$\rho|_H\colon H\to S_3$ は同型、$H\cap V=H\cap\ker\rho=\{\mathrm{id}\}$ である。$|VH|=|V|\,|H|/|V\cap H|=24=|A|$ より $A=VH$ であり、$A$ の各元は $vh$（$v\in V$、$h\in H$）の形にただ 1 通りに書ける。
$H$ は $V$ に共役で作用する。$\sigma c_i\sigma^{-1}=c_{\sigma(i)}=c_j\neq c_i$ なので $\sigma$ はこの作用の核に属さず、核は $H\cong S_3$ の正規部分群で $\sigma$ を含まないから $\{\mathrm{id}\}$ である。よって $\alpha\colon H\to\operatorname{Aut}(V)$、$h\mapsto(v\mapsto hvh^{-1})$ は単射であり、$|\operatorname{Aut}(V)|=|\operatorname{Aut}(V_4)|=6$（$V_4$ の自己同型は単位元以外の 3 元の置換で定まる）から同型である。
$S_4$ の側で同じ構造を確認する。$V':=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ は $S_4$ の正規部分群で $V_4$ と同型であり、$H':=\{\pi\in S_4\mid\pi(4)=4\}\cong S_3$ は $V'\cap H'=\{e\}$、$|V'H'|=24$ を満たすので、$S_4=V'H'$ で各元は $v'h'$ の形にただ 1 通りに書ける。共役による作用 $\alpha'\colon H'\to\operatorname{Aut}(V')$ の核は $H'$ の正規部分群で、3 次巡回置換 $(1\,2\,3)$ は $(1\,2)(3\,4)$ を $(2\,3)(1\,4)\neq(1\,2)(3\,4)$ に写すので核に属さない。よって $\alpha'$ も同型である。
群の同型 $\psi\colon V\to V'$ を 1 つ固定し、$\phi:=\alpha'^{-1}\circ\gamma\circ\alpha\colon H\to H'$ とおく。ここで $\gamma\colon\operatorname{Aut}(V)\to\operatorname{Aut}(V')$ は $f\mapsto\psi f\psi^{-1}$ で定まる同型である。$\phi$ は同型の合成なので同型で、定義により $\psi(hvh^{-1})=\phi(h)\psi(v)\phi(h)^{-1}$（$h\in H$、$v\in V$）を満たす。写像 $\Phi\colon A\to S_4$ を $\Phi(vh):=\psi(v)\phi(h)$ で定めると、
$$ \Phi\bigl((v_1h_1)(v_2h_2)\bigr)=\Phi\bigl(v_1(h_1v_2h_1^{-1})\,h_1h_2\bigr)=\psi(v_1)\,\phi(h_1)\psi(v_2)\phi(h_1)^{-1}\,\phi(h_1)\phi(h_2)=\Phi(v_1h_1)\Phi(v_2h_2) $$
となるので $\Phi$ は準同型であり、$\psi,\phi$ が全単射で $S_4=V'H'$ の分解が一意なので $\Phi$ は全単射である。ゆえに $\operatorname{Aut}(Q_8)\cong S_4$ である。$\square$