Pfaffian

1：完全マッチング $M$ で $1$ の相手が $j$ のものは、$\{1,j\}$ と、残りの $2n-2$ 個の添字の完全マッチング $M'$ の組と 1 対 1 に対応する。$M$ の列は $(1,j,\text{$M'$ の列})$ である。$j$ を $(1,2,\dots,2n)$ の第 $j$ 位置から第 $2$ 位置へ移すには隣り合う互換が $j-2$ 回要り、そのあと残りの添字を順に並べた列に対する $M'$ の列の符号は、$M'$ を $A_{\hat1\hat j}$ の添字で書いたときの $\varepsilon(M')$ に等しい。よって $\varepsilon(M)=(-1)^{j}\varepsilon(M')$ で、和を $j$ ごとにまとめると 1 を得る。
2：右辺の和の項は、$\sigma$ の値の列を $n$ 個の対 $\{\sigma(2k-1),\sigma(2k)\}$ に区切ると完全マッチング $M$ を 1 つ定める。逆に $M$ を定める $\sigma$ は、対の中の順序（$2^n$ 通り）と対の並べ方（$n!$ 通り）の選び方だけある。対の中の 2 つを入れ替えると $\operatorname{sgn}\sigma$ が $-1$ 倍になり、同時に成分が $a_{ji}=-a_{ij}$ に変わるので項は変わらない。2 つの対を並べ替えるのは偶置換で、項は変わらない。$M$ の標準の列に対応する $\sigma$ の項は $\varepsilon(M)\prod a_{i_kj_k}$ なので、右辺の和は $2^nn!\,\mathrm{Pf}(A)$ に等しい。
3：対が 2 つのブロックをまたぐ完全マッチングでは、またぐ対の成分が $0$ なので積は $0$ である。またがない完全マッチングは $A_1$ と $A_2$ の完全マッチングの組 $(M_1,M_2)$ と対応し、$M_1$ の対の小さいほうの添字はすべて $2p$ 以下、$M_2$ のものは $2p$ より大きいので、$M$ の列は $M_1$ の列と（$2p$ だけずらした）$M_2$ の列をつないだものである。その符号は $\varepsilon(M_1)\varepsilon(M_2)$ なので 3 が従う。$\square$

交代行列であること． $C:=BAB^{\mathsf T}$ とおくと $C^{\mathsf T}=BA^{\mathsf T}B^{\mathsf T}=-C$ である。対角成分は
$$ c_{ii}=\sum_{k,l}b_{ik}a_{kl}b_{il}=\sum_kb_{ik}a_{kk}b_{ik}+\sum_{k< l}\bigl(b_{ik}a_{kl}b_{il}+b_{il}a_{lk}b_{ik}\bigr)=0 $$
で、$2$ で割る操作は使っていない。
普遍的な場合への帰着． 上の $\varphi$ により、$\Lambda$ で $\mathrm{Pf}(YXY^{\mathsf T})=\det(Y)\mathrm{Pf}(X)$ を示せばよい。$\Lambda$ は $\Lambda_{\mathbb Q}:=\mathbb Q[x_{ij},y_{kl}]$ の部分環なので、$\Lambda_{\mathbb Q}$ で示せば十分である。以下 $R=\Lambda_{\mathbb Q}$、$A=X$、$B=Y$ と書く。
2 次の元の冪． 自由 $R$ 加群 $R^{2n}$ の基底 $e_1,\dots,e_{2n}$ をとり、外積代数 $\Lambda^\bullet(R^{2n})$（外積代数）で
$$ \omega_A:=\sum_{i< j}a_{ij}\,e_i\wedge e_j $$
とおく。2 次の元どうしは可換なので、$\omega_A^n$ は $n$ 個の対 $(\{i_1,j_1\},\dots,\{i_n,j_n\})$（各 $i_k< j_k$）を順序付きで選んだ項 $a_{i_1j_1}\cdots a_{i_nj_n}\,e_{i_1}\wedge e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n}\wedge e_{j_n}$ の和である。対が交われば同じ $e_i$ が 2 回現れて項は $0$ になるので、残るのは対が完全マッチング $M$ をなす項で、各 $M$ は対の並べ方の $n!$ 通りに現れる。2 次の元の並べ替えでは外積は変わらず、$M$ を標準の順に並べた外積は $\varepsilon(M)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_{2n}$ である。よって
$$ \omega_A^n=n!\,\mathrm{Pf}(A)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_{2n}\qquad(\star) $$
である。
$B$ による変換． 線形写像 $L_B\colon R^{2n}\to R^{2n}$ を $L_B(e_l)=\sum_ib_{il}e_i$ で定め、外積代数の環準同型 $\Lambda^\bullet L_B$ に延ばす。$a_{lk}=-a_{kl}$、$a_{kk}=0$ を使うと
$$ \Lambda^\bullet L_B(\omega_A)=\sum_{k< l}a_{kl}\sum_{i,j}b_{ik}b_{jl}\,e_i\wedge e_j=\sum_{i< j}\Bigl(\sum_{k,l}b_{ik}a_{kl}b_{jl}\Bigr)e_i\wedge e_j=\omega_{BAB^{\mathsf T}} $$
であり、$\Lambda^\bullet L_B(e_1\wedge\cdots\wedge e_{2n})=L_B(e_1)\wedge\cdots\wedge L_B(e_{2n})=\det(B)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_{2n}$ である（展開すると、添字が重なる項は $0$ で、残る置換の和が行列式の Leibniz の公式になる）。$(\star)$ を $BAB^{\mathsf T}$ と $A$ に当てると
$$ n!\,\mathrm{Pf}(BAB^{\mathsf T})\,e_1\wedge\cdots\wedge e_{2n}=\Lambda^\bullet L_B(\omega_A^n)=n!\,\det(B)\,\mathrm{Pf}(A)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_{2n} $$
となる。$R=\Lambda_{\mathbb Q}$ では $n!$ は可逆なので両辺を割って結論を得る。$\square$

$n=0$ では両辺 $1$ である。$n\ge1$ とする。上と同じ理由で、$\mathbb Z[x]=\mathbb Z[x_{ij}]$ の普遍的な交代行列 $X$ について $\mathrm{Pf}(X)^2=\det X$ を示せばよい。$\mathbb Z[x]$ は整域なので、その分数体 $F$ の中で示せば十分である。
$\det X\in\mathbb Z[x]$ に $X\mapsto J_n$ を代入すると $\det J_n=(\det S)^n=1$ なので（ブロック対角行列の行列式。行列式 の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）、$\det X\ne0$ である。したがって $F^{2n}$ 上の交代形式 $\omega(u,v):=u^{\mathsf T}Xv$ は、$\det X$ が体 $F$ の単元なので単模である。体は単項イデアル整域なので、歪対称形式の標準形 の系「単模な交代形式とシンプレクティック基底」により $\omega$ のシンプレクティック基底 $e_1,f_1,\dots,e_n,f_n$ がある。これらを列に並べた行列を $P\in\mathrm{GL}_{2n}(F)$ とすると、Gram 行列は $\omega(e_i,f_j)=\delta_{ij}$、$\omega(e_i,e_j)=\omega(f_i,f_j)=0$ から
$$ P^{\mathsf T}XP=J_n $$
である。thm-pf-congruence を $B=P^{\mathsf T}$ で当てると $1=\mathrm{Pf}(J_n)=\det(P)\,\mathrm{Pf}(X)$、行列式をとると $1=\det J_n=\det(P)^2\det X$ である。よって
$$ \mathrm{Pf}(X)^2=\det(P)^{-2}=\det X $$
が $F$ で成り立ち、$\mathbb Z[x]\subset F$ なので $\mathbb Z[x]$ でも成り立つ。$\square$

$(P-\mathrm{Pf}_n)(P+\mathrm{Pf}_n)=P^2-\mathrm{Pf}_n^2=0$ で、$\mathbb Z[x]$ は整域なので $P=\mathrm{Pf}_n$ か $P=-\mathrm{Pf}_n$ である。$\mathrm{Pf}_n(J_n)=1\ne-1$ なので、$P(J_n)=1$ なら $P=\mathrm{Pf}_n$ である。$\square$

$m$ 次の普遍的な交代行列 $X$ について、$\mathbb Z[x]$ で $\det X=\det X^{\mathsf T}=\det(-X)=(-1)^m\det X=-\det X$ なので $2\det X=0$ である。$\mathbb Z[x]$ では $2$ は零因子でないので $\det X=0$ で、これを $R$ に送ればよい。$\square$

$A_0:=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}$、$B:=\begin{pmatrix}I_n&0\\0&C^{\mathsf T}\end{pmatrix}$ とおくと $BA_0B^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}0&C\\-C^{\mathsf T}&0\end{pmatrix}$、$\det B=\det C$ なので、thm-pf-congruence により $\mathrm{Pf}(A_0)=(-1)^{n(n-1)/2}$ を示せばよい。$A_0$ の上三角で $0$ でない成分は $(k,n+k)$ だけなので、積が $0$ でない完全マッチングは $\{\{k,n+k\}\}_{k}$ だけで、その列は $(1,n+1,2,n+2,\dots,n,2n)$ である。この列の転倒（前にある数のほうが大きい組）は、各 $k$ について $n+k$ とその後ろの $k+1,\dots,n$ の $n-k$ 組なので、総数は $\sum_k(n-k)=n(n-1)/2$ である。$\square$