Frobenius写像

1. 乗法性 $(ab)^p=a^pb^p$ と $1^p=1$ は可換性から明らかである。加法性は二項定理
   $$ (a+b)^p=\sum_{i=0}^{p}\binom{p}{i}a^ib^{p-i} $$
   による。$0< i< p$ のとき二項係数 $\binom{p}{i}=\dfrac{p!}{i!\,(p-i)!}$ は整数で、分子 $p!$ は素数 $p$ で割り切れるが分母は $p$ より小さい正整数の積なので割り切れず、$p\mid\binom{p}{i}$ である。$A$ で $p\cdot1=0$ だから $\binom{p}{i}\cdot1_A=0$ となる。残るのは $i=0,p$ の項だけで $(a+b)^p=a^p+b^p$ を得る。$\mathbb{F}_p$ の元 $\lambda$ は $\lambda^p=\lambda$ をみたす（有限体の記事の $x^q=x$ の系）から $F_A(\lambda a)=\lambda^pa^p=\lambda a^p$ であり、同様に $\lambda\in\mathbb{F}_q$ なら $\lambda^q=\lambda$ より $F_A^r(\lambda a)=\lambda F_A^r(a)$ である。
2. $\varphi(a^p)=\varphi(a)^p$ は $\varphi$ が乗法を保つことそのものである。
3. $a^p=0$ ならば $a$ は冪零だから、被約性より $a=0$ である。
4. 1 により不動点全体は部分環であり、$\mathbb{F}_p$ を含む。整域 $A$ において多項式 $T^p-T$ の根は高々 $p$ 個であり（整域上の 1 変数多項式の根の個数は次数以下）、$\mathbb{F}_p$ の $p$ 個の元がすでに根であるから、不動点は $\mathbb{F}_p$ の元に限る。

1. 各開集合 $U$ で $s\mapsto s^p$ は環準同型であり（prop-frobenius-morphism-ring-hom）、制限写像と可換である（自然性）から、$F^\#\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X=(\mathrm{id})_*\mathcal{O}_X$ は環の層の射である。点 $x$ での茎の写像 $\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,x}$ は $a\mapsto a^p$ であり、極大イデアル $\mathfrak{m}_x$ の逆像は $\{a\mid a^p\in\mathfrak{m}_x\}=\mathfrak{m}_x$（$\mathfrak{m}_x$ は素イデアル）だから局所環の局所準同型である。よって $F_X$ は局所環付き空間の射、すなわちスキームの射である。$X=\operatorname{Spec}A$ のとき、$\operatorname{Spec}(F_A)$ の位相空間の上の写像は $\mathfrak{p}\mapsto F_A^{-1}(\mathfrak{p})=\{a\mid a^p\in\mathfrak{p}\}=\mathfrak{p}$ で恒等写像であり、基本開集合 $D(f)$ の上の環の写像は $F_A$ の局所化 $A_f\to A_f$, $a/f^m\mapsto a^p/f^{mp}$ で、これは $A_f$ の Frobenius である。よって $\operatorname{Spec}(F_A)=F_{\operatorname{Spec}A}$ である。
2. $f\circ F_X$ と $F_Y\circ f$ は位相空間の上ではどちらも $f$ であり、層の上では $\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X$ の後または前に $p$ 乗を合成したものである。$f^\#$ は環準同型だから $f^\#(s)^p=f^\#(s^p)$ で両者は一致する。$\mathbb{F}_p$ の上では $F_{\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p}=\mathrm{id}$ だから $F_X$ は $\mathbb{F}_p$ 上の射である。ファイバー積 $P=X\times_SY$ については、射影 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ との自然性から $\mathrm{pr}_1\circ F_P=F_X\circ\mathrm{pr}_1$、$\mathrm{pr}_2\circ F_P=F_Y\circ\mathrm{pr}_2$ であり、これは $F_P$ が普遍性で定まる射 $F_X\times_{F_S}F_Y$ に等しいことを意味する。
3. 恒等写像であることは定義による。整射であること：アフィン開集合の上で $F_A\colon A\to A$ は各 $a\in A$ を $A^p$ 係数のモニック多項式 $T^p-a^p$ の根にするから、$A$ は $F_A$ の像の上で整拡大である。全射は恒等写像だから明らか。普遍的な単射性は、点の上で単射であり、かつ各点 $x$ で剰余体の拡大 $\kappa(F_X(x))\to\kappa(x)$ が純非分離であることと同値である（Stacks、EGA I 3.5.8）。いまこの写像は $F_{\kappa(x)}\colon\kappa(x)\to\kappa(x)$ であり、$\kappa(x)$ の任意の元 $a$ は $a^p$ が像に属するので、拡大 $\kappa(x)/\kappa(x)^p$ は純非分離である。整・全射・普遍的に単射な射は普遍同相写像である（Stacks、EGA IV 18.12.11）。
4. $s\mapsto s^{p^n}$ は $\mathcal{N}$ を $0$ に送るから、環の層の射 $g^\#\colon\mathcal{O}_{X_{\mathrm{red}}}=\mathcal{O}_X/\mathcal{N}\to\mathcal{O}_X$, $\bar{s}\mapsto s^{p^n}$ が定まる。1 と同じ理由で $g:=(\mathrm{id},g^\#)\colon X\to X_{\mathrm{red}}$ は局所環付き空間の射であり、閉埋め込み $i\colon X_{\mathrm{red}}\hookrightarrow X$ との合成 $i\circ g$ は、位相空間の上で恒等、層の上で $s\mapsto\bar{s}\mapsto s^{p^n}$ だから $F_X^n$ に等しい。$X$ が Noether スキームなら有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A_j$ で覆え、各 Noether環 $A_j$ の冪零根基は有限生成なので冪零であり、その冪指数の最大値から $n$ がとれる。
5. $F_X$ は位相空間の上で恒等だから、同型であることと $F^\#\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X$ が層の同型であることは同値で、後者はアフィン開集合ごとに $F_A$ が全単射であることと同値である。被約なら $F_A$ は単射（prop-frobenius-morphism-ring-hom の 3）なので全射だけが問題になる。

$P=R[x_1,\dots,x_n]$ とおく。写像 $\Phi\colon P\otimes_{R,F_R}R\to P$, $g\otimes\lambda\mapsto\lambda g^{(p)}$ は、$(cg)\otimes\lambda$ と $g\otimes c^p\lambda$ をともに $c^p\lambda g^{(p)}$ に送るので矛盾なく定まり、$g\mapsto g^{(p)}$ が環準同型（係数に $F_R$ を施す）であることから環準同型である。逆に $R$ 代数の準同型 $\Psi\colon P\to P\otimes_{R,F_R}R$ を $x_i\mapsto x_i\otimes1$ で定める（$R$ は右因子に作用する）と、$\Psi(\sum c_\alpha x^\alpha)=\sum x^\alpha\otimes c_\alpha$ であり、$\Phi\Psi(g)=\sum c_\alpha x^\alpha=g$、$\Psi\Phi(x^\alpha\otimes\lambda)=\Psi(\lambda x^\alpha)=x^\alpha\otimes\lambda$ となるから $\Phi$ と $\Psi$ は互いに逆である。テンソル積は右完全なので $A\otimes_{R,F_R}R=(P\otimes_{R,F_R}R)/(f_j\otimes1)_j$ であり、$\Phi(f_j\otimes1)=f_j^{(p)}$ だから前半の同型を得る。相対 Frobenius は $F_{A/R}(a\otimes\lambda)=\lambda a^p$ であり、$\Psi(g)=\sum x^\alpha\otimes c_\alpha$ に施すと $\sum c_\alpha x^{p\alpha}=g(x_1^p,\dots,x_n^p)$ となる。

1. $S'\to S$ を $g$ と書く。$X'\times_{S',F_{S'}}S'=X\times_{S,\,g\circ F_{S'}}S'$ であり、$X^{(p)}\times_SS'=(X\times_{S,F_S}S)\times_SS'=X\times_{S,\,F_S\circ g}S'$ である。自然性 $g\circ F_{S'}=F_S\circ g$ からこれらは一致する。相対 Frobenius は $(F_{X'},f')$ で定まる射で、$F_{X'}=F_X\times F_{S'}$（prop-frobenius-morphism-absolute の 2）だから $F_{X'/S'}=F_{X/S}\times\mathrm{id}_{S'}$ である。
2. $W:=W_{X/S}$ は普遍同相写像 $F_S$ の底変換なので普遍同相写像であり、とくに点の上で全単射である。$W\circ F_{X/S}=F_X$ が点の上で恒等だから $F_{X/S}$ は点の上で単射である。全射：$y\in X^{(p)}$ に対し $x:=W(y)$ とおくと $W(F_{X/S}(x))=F_X(x)=x=W(y)$ で、$W$ の単射性から $F_{X/S}(x)=y$。普遍的な単射性：点 $x\in X$、$y:=F_{X/S}(x)$ について $W(y)=x$ であり、剰余体の写像の合成 $\kappa(x)\xrightarrow{W^\#}\kappa(y)\xrightarrow{F_{X/S}^\#}\kappa(x)$ は $F_X$ の誘導する $F_{\kappa(x)}$ である。よって $\kappa(x)$ の任意の元の $p$ 乗は $\kappa(y)$ の像に属し、拡大 $\kappa(x)/\kappa(y)$ は純非分離であるから、prop-frobenius-morphism-absolute の 3 と同じ判定法で $F_{X/S}$ は普遍的に単射である。整射であること：$S$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}R$ とその上の $X$ のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ をとると、$U^{(p)}=\operatorname{Spec}A^{(p)}$ は $X^{(p)}$ の開集合で $F_{X/S}^{-1}(U^{(p)})=F_{X/S}^{-1}(W^{-1}(U))=F_X^{-1}(U)=U$ であり、その上で $F_{X/S}$ は $\operatorname{Spec}(F_{A/R})$ である。$F_{A/R}$ の像は $A^p$ が生成する $R$ 部分代数 $A':=R\cdot A^p$ であり、各 $a\in A$ は $A'$ 係数のモニック多項式 $T^p-a^p$ の根だから $A$ は $A'$ 上整である。よって $F_{X/S}$ はアフィンかつ整である。以上と普遍同相写像の判定法から 2 が従う。
3. 2 の記号で、$A$ が $R$ 上有限生成なら $A'$ 上でも有限生成であり、有限生成かつ整な代数は有限加群である（AM69 系 5.2）。よって $A$ は $A^{(p)}$ 加群として有限生成で、$F_{X/S}$ は有限射である。
4. $\mathbb{A}^n_S=\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}_p}\times_{\mathbb{F}_p}S$ だから、1 により $F_{\mathbb{A}^n_S/S}$ は $F_{\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p}=F_{\mathbb{A}^n_{\mathbb{F}_p}}$ の底変換である。後者は $\mathbb{F}_p[t_1,\dots,t_n]\to\mathbb{F}_p[t_1,\dots,t_n]$, $t_i\mapsto t_i^p$ であり、ex-frobenius-morphism-affine-space の計算のとおり $\mathbb{F}_p[t]$ はこの準同型により単項式 $t^\alpha$（$0\le\alpha_i\le p-1$）を基底とする階数 $p^n$ の自由加群である。自由加群であることは底変換で保たれる。

1. $\Omega^1_{X/\mathbb{F}_p}$ は局所的に $da$（$a$ は $\mathcal{O}_X$ の局所切断）で生成され、$F_X^*(da)=d(F_X^\#a)=d(a^p)=pa^{p-1}da=0$ である（$p=0$ in $\mathcal{O}_X$）。$\Omega^i=\bigwedge^i\Omega^1$ の上の引き戻しは $da_1\wedge\cdots\wedge da_i\mapsto d(a_1^p)\wedge\cdots\wedge d(a_i^p)=0$ となる。
2. $\mathcal{O}_{X^{(p)}}$ は局所的に $a\otimes\lambda$（$a$ は $\mathcal{O}_X$ の、$\lambda$ は $\mathcal{O}_S$ の局所切断）で生成され、$F_{X/S}^\#(a\otimes\lambda)=\lambda a^p$ である。相対微分 $d=d_{X/S}$ は $f^{-1}\mathcal{O}_S$ 線型だから $d(\lambda a^p)=\lambda\,d(a^p)=\lambda pa^{p-1}da=0$ となり、$F_{X/S}^*(d(a\otimes\lambda))=d(F_{X/S}^\#(a\otimes\lambda))=0$ である。線型性：$b$ を $\mathcal{O}_{X^{(p)}}$ の局所切断、$\omega$ を $\Omega^i_{X/S}$ の局所切断とすると、Leibniz 則から $d\big(F_{X/S}^\#(b)\,\omega\big)=d(F_{X/S}^\#b)\wedge\omega+F_{X/S}^\#(b)\,d\omega=F_{X/S}^\#(b)\,d\omega$ である。

1. 自然性（prop-frobenius-morphism-absolute の 2）を $r$ 回使えば $F_X^r\circ x=x\circ F_T^r$ である。$\mathrm{Fr}_X$ は $\mathbb{F}_q$ 上の射だから $\mathrm{Fr}_X\circ x\in X(T)$ である。
2. $\Omega$ の中で $\lambda^q=\lambda$ をみたす元の全体は、多項式 $T^q-T$ の根の集合なので高々 $q$ 個で、$\mathbb{F}_q\subset\Omega$ の $q$ 個の元がすべて根だから、ちょうど $\mathbb{F}_q$ である。さて $x\in X(\Omega)$ をとる。$x$ の像は 1 点なので $x$ はあるアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A\subset X$（$A$ は $\mathbb{F}_q$ 代数）を経由し、$\mathbb{F}_q$ 代数の準同型 $x^\#\colon A\to\Omega$ に対応する。1 により $\mathrm{Fr}_X\circ x=x\circ\mathrm{Fr}_{\operatorname{Spec}\Omega}$ であり、これは準同型 $A\to\Omega$, $a\mapsto x^\#(a)^q$ に対応する。よって $\mathrm{Fr}_X(x)=x$ であることと、すべての $a\in A$ について $x^\#(a)^q=x^\#(a)$、すなわち $x^\#(A)\subset\mathbb{F}_q$ であることは同値であり、これは $x^\#$ が $\mathbb{F}_q$ 代数の準同型 $A\to\mathbb{F}_q$ を経由すること、すなわち $x$ が $X(\mathbb{F}_q)$ の元の像であることと同値である。単射性：$y,y'\in X(\mathbb{F}_q)$ の $X(\Omega)$ での像が等しければ、$y$ と $y'$ の像の点は一致し、共通のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上で $A\to\mathbb{F}_q\hookrightarrow\Omega$ が等しく、$\mathbb{F}_q\hookrightarrow\Omega$ が単射なので $y^\#=y'^\#$ である。最後の主張は、$\bar{X}(\bar{\mathbb{F}}_q)=X(\bar{\mathbb{F}}_q)$ の同一視（ファイバー積の普遍性）の下で幾何的 Frobenius $\mathrm{Fr}_X\times\mathrm{id}$ の作用が $x\mapsto\mathrm{Fr}_X\circ x$ になることによる。
3. $X$ を $\mathbb{F}_{q^m}$ 上のスキーム $X\times_{\mathbb{F}_q}\mathbb{F}_{q^m}$ とみなすと、その $q^m$ 乗 Frobenius は $F^{rm}=\mathrm{Fr}_X^m$ の底変換であり、$X(\bar{\mathbb{F}}_q)=(X\times_{\mathbb{F}_q}\mathbb{F}_{q^m})(\bar{\mathbb{F}}_q)$ の上で同じ作用を与える。よって 2 を $\mathbb{F}_{q^m}$ に対して適用すればよい。