コンマ圏(∞圏)

同義語：∞圏のコンマ圏

概要

コンマ圏(∞圏)（comma ∞-category）とは、二つの関手の値を結ぶ射と、その射の整合的な変形を集めた∞圏である。矢印の関手対象を使って構成され、写像空間、スライス、普遍射を共通の形式で表す。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 圏, ∞圏, 関手(∞圏)

定義

∞圏のコンマ圏は、二つの関手の値を結ぶ射と、その射の変形を集めた∞圏である。通常のコンマ圏の可換四角形に代わり、四角形を埋める高次のデータを保持する。普遍射や錐の普遍性を一つの対象の性質として扱うために使われる。
以下の∞圏は準圏であり、関手は単体写像である。準圏は標準単体の内角（内部ホーン）をすべて充填できる単体的集合をいう。関手対象 $\mathrm{Fun}(K,C)$ は $\mathrm{Fun}(K,C)_n=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(K\times\Delta^n,C)$ で定める。

コンマ∞圏の構成

準圏の関手 $F\colon A\to C$, $G\colon B\to C$ に対し、コンマ圏 $(F\downarrow G)$ を単体的集合の引き戻し
$$ (F\downarrow G) =(A\times B)\times_{C\times C}\mathrm{Fun}(\Delta^1,C) $$
で定める。$\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)\to C\times C$ は順に始点・終点を取る写像であり、$A\times B\to C\times C$ は $F\times G$ である。
明示的には $n$ 単体は、$a\colon\Delta^n\to A$, $b\colon\Delta^n\to B$ と
$$ H\colon\Delta^n\times\Delta^1\to C, \qquad H(-,0)=F a,\quad H(-,1)=G b $$
の組である。

この構成は準圏になる。理由は、準圏 $C$ に対する制限 $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)\to\mathrm{Fun}(\partial\Delta^1,C)$ が同型ファイブレーションであり、その引き戻しも同型ファイブレーションになるためである。ここで同型ファイブレーションとは、内角の相対充填と、底の同値の辺の持ち上げを持つ関手をいう。主張は任意の厳密な引き戻しが準圏になるという意味ではない。定義とこの性質は KComma §4.6.4 に対応する。

射と普遍性

対象は $(a,b,\alpha\colon F(a)\to G(b))$ である。1単体には辺 $u\colon a\to a'$, $v\colon b\to b'$ と、四角形 $\Delta^1\times\Delta^1\to C$ が含まれる。四角形には対角線と二つの三角形があり、$G(v)\alpha$ と $\alpha'F(u)$ の比較を記録する。∞圏のホモトピー圏 $hC$ で二つが等しいと述べるだけでは、この四角形を指定したことにならない。

全パラメータでの記述

任意の単体的集合 $T$ に対し、$T\to(F\downarrow G)$ は、写像 $a\colon T\to A$, $b\colon T\to B$ と、$Fa$ から $Gb$ への変換 $H\colon T\times\Delta^1\to C$ を指定することに等しい。

引き戻しの普遍性によって、左辺は $T\to A\times B$ と $T\to\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$ で端の写像が一致するものに等しい。指数の随伴により、後者は $T\times\Delta^1\to C$ である。対応は $T$ への前合成と厳密に可換する。このため頂点だけでなく、すべての単体とその整合条件を同時に保持する。

通常のコンマ圏の回収

通常の関手 $F_0\colon A_0\to C_0$, $G_0\colon B_0\to C_0$ の脈体について
$$ (N(F_0)\downarrow N(G_0))\cong N(F_0\downarrow G_0) $$
が成り立つ。

左辺の $n$ 単体の第3成分は、$[n]\times[1]\to C_0$ という関手である。これは $F_0 a\Rightarrow G_0 b$ という自然変換であり、その自然性は各四角形の厳密な可換性である。したがって $[n]\to(F_0\downarrow G_0)$ と同じデータになる。面・退化は $[m]\to[n]$ への前合成なので、この同定と可換する。

例と反例

射の∞圏

$F=G=\operatorname{id}_C$ なら、定義の引き戻しは $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$ そのものである。対象が射、射が整合的な四角形となり、さらに高次の四角形の族も含む。通常の射の圏をそのまま高次化した例である。

fatスライス

関手 $c\colon\Delta^0\to C$ を一つの対象とみなすと、$(\operatorname{id}_C\downarrow c)$ は終点を $c$ に固定した射の∞圏である。これはfatスライスと呼ばれ、通常のjoinで定めたスライス圏(∞圏) $C_{/c}$ と自然に同値になる。両者を単体的集合の厳密な等式とは扱わない。$(c\downarrow\operatorname{id}_C)$ は双対的なfat余スライスである。比較は HTT09 §4.2.1 による。

二対象を結ぶ道の空間

$A=B=\Delta^0$ とし、$F,G$ がそれぞれ $x,y$ を選ぶと、$(x\downarrow y)$ は $\{(x,y)\}\times_{C\times C}\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$、すなわち写像空間(∞圏) $\operatorname{Map}_C(x,y)$ になる。これはKan複体である。特に $C$ 自身がKan複体なら、端点を固定した道の空間を表す。

反例：対象の等式を要求する引き戻し

二対象 $0,1$ の間にどの向きにも射がちょうど一つある亜群の脈体を $J$ とする。二つの点 $\Delta^0\to J$ が別々の頂点を選ぶと、厳密な引き戻し $\Delta^0\times_J\Delta^0$ は空である。一方コンマ圏 $(0\downarrow1)$ は一点に同型である。全次数で、端を指定した $[n]\times[1]$ からこの亜群への関手が唯一だからである。等しい対象を探すことと、対象を結ぶ指定された射を探すことは異なる。

普遍対象と豊穣モデル

$(x\downarrow G)$ の対象 $u\colon x\to G(b)$ が始対象(∞圏)であることは、任意の $v\colon x\to G(b')$ に対し、$u$ から $v$ への因子分解の空間が可縮（可縮空間）であることを意味する。単に因子分解のホモトピー類が一つという条件より強い。写像空間の写像 $\operatorname{Map}_B(b,b')\to\operatorname{Map}_C(x,Gb')$ を $f\mapsto G(f)\circ u$ で作るとき、これが同値であることが普遍性の写像空間による表現になる。合成を表す指定された比較と、すべてのパラメータでの整合を保持する必要がある。

始対象と写像空間の同値の出典

「$u$ が始対象であること」と「$\operatorname{Map}_B(b,b')\to\operatorname{Map}_C(x,Gb')$ が任意の $b'$ で同値であること」の同値性は、本記事では証明せず引用する。対象スライスについての対応する議論は HTT09 §4.2.1 に、コンマ圏（oriented fiber product）の枠組みでの対応する議論は KComma §4.6.4 にある。定理番号はここでは特定しない。

単体的豊穣圏から出発する場合、各 Hom がKan複体である局所Kan条件の下で整合的脈体を取り、上の定義を適用できる。豊穣 Hom と脈体の写像空間の比較は HTT09 Theorem 2.2.0.1 を使う。豊穣 Hom の内部に可換式の等化子を取っただけでは、ホモトピーを伴う四角形を表すことは保証されない。定義中の矢印対象と、その二端のファイバー化が重要である。

関連項目

参考文献

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