コンマ圏(∞圏)
概要
コンマ圏(∞圏)（comma ∞-category）とは、二つの関手 $F\colon A\to C$, $G\colon B\to C$ の値を結ぶ射と、その射の整合的な変形を集めた∞圏である。射の関手対象 $\operatorname{Fun}(\Delta^1,C)$ を $A\times B$ へ引き戻して作られ、準圏になる。二つの対象のコンマ圏は写像空間そのものであり、関手の前合成は引き戻しに、反対をとる操作は二つの関手の入れ替えに対応する。スライス、写像空間、普遍射を共通の形式で表す。
定義
∞圏のコンマ圏は、二つの関手の値を結ぶ射と、その射の変形を集めた∞圏である。通常のコンマ圏（コンマ圏）の可換四角形に代わり、四角形を埋める高次のデータを保持する。普遍射や錐の普遍性を一つの対象の性質として扱うために使われる。
以下の∞圏は準圏であり、関手は単体写像である。準圏は標準単体の内角（内部ホーン）をすべて充填できる単体的集合をいう。関手対象 $\mathrm{Fun}(K,C)$ は $\mathrm{Fun}(K,C)_n=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(K\times\Delta^n,C)$ で定める（関手圏(∞圏)）。$\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$ は $C$ の射を対象とする∞圏で、始点と終点を取る写像 $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)\to\mathrm{Fun}(\partial\Delta^1,C)=C\times C$ を持つ。
準圏の関手 $F\colon A\to C$, $G\colon B\to C$ に対し、コンマ圏 $(F\downarrow G)$ を単体的集合の引き戻し
$$
(F\downarrow G)
=(A\times B)\times_{C\times C}\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)
$$
で定める。$\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)\to C\times C$ は順に始点・終点を取る写像であり、$A\times B\to C\times C$ は $F\times G$ である。
明示的には $n$ 単体は、$a\colon\Delta^n\to A$, $b\colon\Delta^n\to B$ と
$$
H\colon\Delta^n\times\Delta^1\to C,
\qquad H(-,0)=F a,\quad H(-,1)=G b
$$
の組である。
$$
\xymatrix{
(F\downarrow G) \ar[r] \ar[d] & \mathrm{Fun}(\Delta^1,C) \ar[d]^{(\mathrm{ev}_0,\mathrm{ev}_1)} \\
A\times B \ar[r]_{F\times G} & C\times C
}
$$
この四角形は単体的集合の引き戻しの四角形である。すなわち $(F\downarrow G)$ の単体は、下の $A\times B$ の単体と右上の $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$ の単体で、$C\times C$ への像が等しいものの組である。この引き戻しでコンマ∞圏 $(F\downarrow G)$ を定義する。
$A,B,C$ が準圏なら $(F\downarrow G)$ は準圏である。
内部ホーンの包含に対する右持ち上げ性質を持つ写像を内部ファイブレーションという。準圏 $C$ について、制限 $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)\to\mathrm{Fun}(\partial\Delta^1,C)$ は内部ファイブレーションである（HTT09 Corollary 2.3.2.5 を $\partial\Delta^1\subseteq\Delta^1$ と $C\to\Delta^0$ に使う）。持ち上げ性質は引き戻しで保たれるので、$(F\downarrow G)\to A\times B$ も内部ファイブレーションである。$A\times B$ は準圏なので $A\times B\to\Delta^0$ も内部ファイブレーションであり（準圏の定理「準圏の積」）、持ち上げ性質は合成で保たれるから $(F\downarrow G)\to\Delta^0$ は内部ファイブレーション、すなわち $(F\downarrow G)$ は準圏である。$\square$
任意の厳密な引き戻しが準圏になるという意味ではない。持ち上げ性質を持つ写像 $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)\to C\times C$ に沿った引き戻しであることが効いている。上の証明では、矢印対象からの制限が内部ファイブレーションであることを使い、その持ち上げ性質を引き戻している。対象の等式だけを要求する任意の引き戻しに、同じ議論を適用することはできない。
射と普遍性
対象は $(a,b,\alpha\colon F(a)\to G(b))$ である。1単体には辺 $u\colon a\to a'$, $v\colon b\to b'$ と、四角形 $\Delta^1\times\Delta^1\to C$ が含まれる。四角形には対角線と二つの三角形があり、$G(v)\alpha$ と $\alpha'F(u)$ の比較を記録する。∞圏のホモトピー圏 $hC$ で二つが等しいと述べるだけでは、この四角形を指定したことにならない。
任意の単体的集合 $T$ に対し、$T\to(F\downarrow G)$ は、写像 $a\colon T\to A$, $b\colon T\to B$ と、$Fa$ から $Gb$ への変換 $H\colon T\times\Delta^1\to C$ を指定することに等しい。
引き戻しの普遍性によって、左辺は $T\to A\times B$ と $T\to\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$ で端の写像が一致するものに等しい。指数の随伴により、後者は $T\times\Delta^1\to C$ である。対応は $T$ への前合成と厳密に可換する。このため頂点だけでなく、すべての単体とその整合条件を同時に保持する。$\square$
通常の関手 $F_0\colon A_0\to C_0$, $G_0\colon B_0\to C_0$ の脈体について
$$
(N(F_0)\downarrow N(G_0))\cong N(F_0\downarrow G_0)
$$
が成り立つ。
左辺の $n$ 単体の第3成分は、$N([n]\times[1])=\Delta^n\times\Delta^1$ から $N(C_0)$ への写像、すなわち関手 $[n]\times[1]\to C_0$ である（脈体の命題「脈体は積を保つ」「脈体関手は充満忠実である」）。端の条件から、これは $F_0 a\Rightarrow G_0 b$ という自然変換であり、その自然性は各四角形の厳密な可換性である。したがって $[n]\to(F_0\downarrow G_0)$ と同じデータになる。面・退化は $[m]\to[n]$ への前合成なので、この同定と可換する。$\square$
基本的な操作
コンマ圏は引き戻しで定義されているので、引き戻しの操作とよく噛み合う。まず、関手を前合成したコンマ圏は、元のコンマ圏の引き戻しである。
関手 $F:A\to C$, $G:B\to C$ と、準圏の関手 $H:A'\to A$, $K:B'\to B$ に対し、単体的集合の同型
$$
(FH\downarrow GK)\cong(A'\times B')\times_{A\times B}(F\downarrow G)
$$
がある。
右辺の $n$ 単体は、$(a',b')\in(A'\times B')_n$ と $(a,b,H_0)\in(F\downarrow G)_n$ で $(Ha',Kb')=(a,b)$ となる組である。$a,b$ は $a',b'$ で決まるので、これは $(a',b')$ と、$F(Ha')$ から $G(Kb')$ への $H_0:\Delta^n\times\Delta^1\to C$ の組と同じであり、左辺の $n$ 単体にほかならない。面・退化はどちらも成分ごとなので、対応は単体的同型である。これは「二つの引き戻しの四角形を貼り合わせたものは引き戻しである」ことの各次数での表れである。$\square$
特に $A'=B'=\Delta^0$ とし、$H,K$ が対象 $a,b$ を選ぶとすると、$(F\downarrow G)\to A\times B$ の $(a,b)$ 上のファイバーは、$(Fa\downarrow Gb)$ である。次の命題により、これは写像空間である。
準圏 $C$ の対象 $x,y$ を $\Delta^0\to C$ とみる。単体的集合として $(x\downarrow y)=\operatorname{Map}_C(x,y)$ が成り立つ。ここで右辺は写像空間(∞圏)の円柱モデルである。従って $(F\downarrow G)\to A\times B$ の $(a,b)$ 上のファイバーは $\operatorname{Map}_C(Fa,Gb)$ である。
$(x\downarrow y)$ の $n$ 単体は、$\Delta^n\to\Delta^0$ の組（ただ一つ）と、$H:\Delta^n\times\Delta^1\to C$ で $H(-,0)$ が $x$ で定値、$H(-,1)$ が $y$ で定値のものの組である。これは写像空間の円柱モデル（写像空間(∞圏)の定義「写像空間の円柱モデル」）の $n$ 単体の定義そのものであり、面・退化も $\Delta^n$ 側への前合成で一致する。最後の主張は命題「基底変換」と合わせればよい。$\square$
この命題から $(x\downarrow y)$ はKan複体であり、特に $C$ 自身がKan複体なら端点を固定した道の空間を表す。コンマ圏は、写像空間を「対象 $a,b$ を動かしながら」まとめた∞圏である。
反対をとると、コンマ圏の二つの関手の役割が入れ替わる。
単体的集合の同型 $(F\downarrow G)^{\mathrm{op}}\cong(G^{\mathrm{op}}\downarrow F^{\mathrm{op}})$ がある。ここで右辺は $F^{\mathrm{op}}:A^{\mathrm{op}}\to C^{\mathrm{op}}$, $G^{\mathrm{op}}:B^{\mathrm{op}}\to C^{\mathrm{op}}$ のコンマ圏である。
反対をとる操作は単体的集合の圏の自己同型なので、引き戻しと積を保つ。関手圏(∞圏)の命題「反対∞圏との交換」により $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)^{\mathrm{op}}\cong\mathrm{Fun}((\Delta^1)^{\mathrm{op}},C^{\mathrm{op}})$ であり、$(\Delta^1)^{\mathrm{op}}\cong\Delta^1$ は頂点 $0,1$ を入れ替える。従ってこの同型のもとで、始点での評価は終点での評価に、終点での評価は始点での評価に移る。定義の引き戻しに反対をとると
$$
(F\downarrow G)^{\mathrm{op}}\cong(A^{\mathrm{op}}\times B^{\mathrm{op}})\times_{C^{\mathrm{op}}\times C^{\mathrm{op}}}\mathrm{Fun}(\Delta^1,C^{\mathrm{op}})
$$
となり、ここで $A^{\mathrm{op}}$ の成分は終点に、$B^{\mathrm{op}}$ の成分は始点に結ばれている。成分の順序を入れ替えれば $(G^{\mathrm{op}}\downarrow F^{\mathrm{op}})$ である。$\square$
例
$F=G=\operatorname{id}_C$ なら、定義の引き戻しは $\mathrm{Fun}(\Delta^1,C)$ そのものである。対象が射、射が整合的な四角形となり、さらに高次の四角形の族も含む。通常の射の圏をそのまま高次化した例である。
関手 $c\colon\Delta^0\to C$ を一つの対象とみなすと、$(\operatorname{id}_C\downarrow c)$ は終点を $c$ に固定した射の∞圏である。これはfatスライスと呼ばれ、join で定めたスライス圏(∞圏) $C_{/c}$ と圏同値になる（HTT09 Proposition 4.2.1.5 の双対）。両者を単体的集合の厳密な等式とは扱わない。例えば $C_{/c}$ の $n$ 単体は $(n+1)$ 単体だが、$(\operatorname{id}_C\downarrow c)$ の $n$ 単体は $\Delta^n\times\Delta^1$ からの写像である。$(c\downarrow\operatorname{id}_C)$ は双対的なfat余スライスである。
関手 $G:B\to C$ と対象 $x\in C$ について、$(x\downarrow G)$ の対象は射 $x\to G(b)$ である。$G$ が左随伴 $L$ を持つとき、随伴の単位の成分 $\eta_x:x\to GL(x)$ は、すべての $b$ で $\operatorname{Map}_B(Lx,b)\to\operatorname{Map}_C(x,Gb)$、$f\mapsto G(f)\circ\eta_x$ が同値となる射である（随伴関手(∞圏)の定義「∞圏の随伴」）。これは下の節で述べる、$(x\downarrow G)$ の普遍的な対象の条件そのものである。通常の圏では、普遍射がコンマ圏の始対象であることに当たる（コンマ圏の命題「普遍射とコンマ圏の始対象」）。
反例
二対象 $0,1$ の間にどの向きにも射がちょうど一つある亜群の脈体を $J$ とする。二つの点 $\Delta^0\to J$ が別々の頂点を選ぶと、厳密な引き戻し $\Delta^0\times_J\Delta^0$ は空である。一方コンマ圏 $(0\downarrow1)$ は一点に同型である。全次数で、端を指定した $[n]\times[1]$ からこの亜群への関手が唯一だからである（この亜群ではどの二対象の間にも射がちょうど一つあるので、関手は対象の対応だけで決まる）。等しい対象を探すことと、対象を結ぶ指定された射を探すことは異なる。$J$ は一点 $\Delta^0$ と圏同値なので、∞圏として正しい答えは一点であり、コンマ圏はそれを与えている。
$M=N(B\mathbb Z)$（整数群の一対象亜群の脈体）とし、二対象 $0,1$ の局所Kanな単体的豊穣圏 $A_M$ を、$A_M(0,1)=M$、自己Homは一点、$A_M(1,0)=\emptyset$ で定める。$C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ では、命題「二対象のコンマ圏は写像空間」により $(0\downarrow1)=\operatorname{Map}_C(0,1)\simeq M$ であり（HTT09 Theorem 2.2.0.1）、基本群 $\mathbb Z$ を持つので可縮でない。一方ホモトピー圏 $hC$ で通常のコンマ圏 $(0\downarrow1)$ を作ると、$\operatorname{Hom}_{hC}(0,1)=\pi_0M$ が一点なので一点の圏である。先にホモトピー圏をとると、射の間の変形（ここでは整数の巻き数）を区別できない。
条件を外したときに崩れることを表にまとめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 対象を結ぶ射（対象の等式で代用する） | 二対象の亜群 $J$ での $\Delta^0\times_J\Delta^0$ | 厳密な引き戻しがコンマ圏と同じ答えを与える |
| 射の間の変形（先にホモトピー圏をとる） | $N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ の $(0\downarrow1)$ | ホモトピー圏のコンマ圏がコンマ∞圏の情報を保つ |
普遍対象と豊穣モデル
$(x\downarrow G)$ の対象 $u\colon x\to G(b)$ が始対象(∞圏)であることは、任意の $v\colon x\to G(b')$ に対し、$u$ から $v$ への因子分解の空間が可縮（可縮空間）であることを意味する。単に因子分解のホモトピー類が一つという条件より強い。写像空間の写像 $\operatorname{Map}_B(b,b')\to\operatorname{Map}_C(x,Gb')$ を $f\mapsto G(f)\circ u$ で作るとき、これが同値であることが普遍性の写像空間による表現になる。合成を表す指定された比較と、すべてのパラメータでの整合を保持する必要がある。
この判定を、確認済みのスライスの写像空間の公式から導く。join で作る余スライスを $D=C_{x/}$ とし、$E=B\times_C D$ とおく。$D\to C$ は左ファイブレーションである（HTT09 Corollary 2.1.2.2）。fat余スライスとの比較は、底 $C$ 上の左ファイブレーション間のファイバーごとの同値であり（HTT09 Proposition 4.2.1.6、Corollary 4.2.1.7）、$G$ に沿って引き戻しても同値になる（HTT09 Proposition 3.3.1.5 の双対）。従って $E$ は $(x\downarrow G)$ と同値で、対応する対象 $u,v$ の写像空間を計算すればよい。
右写像空間の定義は単体的集合の引き戻しと交換するので、$E$ の写像空間は $B$ と $D$ の写像空間の引き戻しである。$D\to C$ は内部ファイブレーションでもあるため、右写像空間の誘導写像はKanファイブレーションである（HTT09 Lemma 2.4.4.1）。この引き戻しはホモトピー引き戻しを表す。HTT09 Lemma 5.5.5.12 を $D=C_{x/}$ に使うと、$u:x\to Gb$ から $v:x\to Gb'$ への写像空間は、前合成 $\operatorname{Map}_C(Gb,Gb')\to\operatorname{Map}_C(x,Gb')$ の $v$ 上のホモトピーファイバーである。これを $\operatorname{Map}_B(b,b')\to\operatorname{Map}_C(Gb,Gb')$ に沿って引き戻すことにより
$$
\operatorname{Map}_{(x\downarrow G)}(u,v)
\simeq\operatorname{hofib}_{v}\bigl(
\operatorname{Map}_B(b,b')\xrightarrow{G(-)\circ u}
\operatorname{Map}_C(x,Gb')\bigr)
$$
を得る。$u$ が始対象であることは、すべての $b'$ と $v$ で左辺が可縮であることに等しい。空間の写像が同値であることは、すべてのホモトピーファイバーが可縮であることに等しいので、求める判定が従う。ここではHTTの一般比較とファイブレーションの補題を外部に用いており、その証明をこの記事内で完結させたとは数えない。
単体的豊穣圏から出発する場合、各 Hom がKan複体である局所Kan条件の下で整合的脈体を取り、上の定義を適用できる。豊穣 Hom と脈体の写像空間の比較は HTT09 Theorem 2.2.0.1 を使う。豊穣 Hom の内部に可換式の等化子を取っただけでは、ホモトピーを伴う四角形を表すことは保証されない。定義中の矢印対象と、その二端のファイバー化が重要である。
関連項目
参考文献
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