Wirtingerの不等式(周期関数)

$e^{-inx}$ の実部と虚部は $C^1$ 級なので絶対連続である。絶対連続関数 の系「導関数が0なら定数・部分積分」の 2 を $f$ の実部・虚部と $e^{-inx}$ の実部・虚部の 4 通りの組に当てて足し合わせると
$$ \int_{-\pi}^{\pi}f'(x)e^{-inx}\,dx=\Bigl[f(x)e^{-inx}\Bigr]_{-\pi}^{\pi}+in\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx $$
である。$f(\pi)=f(-\pi)$ と $e^{-in\pi}=e^{in\pi}$ から境界の項は $0$ である。両辺を $2\pi$ で割ればよい。$\square$

$L^2(-\pi,\pi)$ に内積 $\langle g,h\rangle:=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g\bar h$ を入れると内積空間であり（Lp空間 の例「$L^2$ と内積」）、$e_n(x):=e^{inx}$ は正規直交系で、$\langle g,e_n\rangle=\hat g(n)$ である。
1．導関数の側。$N\ge1$ とする。Parsevalの等式 の補題「Bessel の等式」を $f'$ と有限個の $e_n$（$|n|\le N$）に当てると、lem-wi-derivative により
$$ \sum_{|n|\le N}n^2|\hat f(n)|^2=\sum_{|n|\le N}|\widehat{f'}(n)|^2\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f'|^2 $$
である。$N\to\infty$ として、$\sum_{n}n^2|\hat f(n)|^2\le\frac1{2\pi}\int|f'|^2$ を得る。
2．関数の側。$f$ は連続なので Riemann 積分可能であり、Parsevalの等式 の定理「Riemann 積分可能な関数の Parseval の等式」の 2 から $\frac1{2\pi}\int|f|^2=\sum_n|\hat f(n)|^2$ である。仮定から $\hat f(0)=0$ である。
3．比べる。1 と 2 から
$$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f'|^2-\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\ge\sum_{n\ne0}(n^2-1)|\hat f(n)|^2=\sum_{|n|\ge2}(n^2-1)|\hat f(n)|^2\ge0 $$
である。
4．等号。等号なら最後の和が $0$ なので、$|n|\ge2$ で $\hat f(n)=0$ である。すると $f$ と $g(x):=\hat f(1)e^{ix}+\hat f(-1)e^{-ix}$ は Fourier 係数がすべて等しい連続関数であり、Parsevalの等式 の系「係数による一意性」から $f=g$ である。逆に $f=ae^{ix}+be^{-ix}$ なら $f'=iae^{ix}-ibe^{-ix}$ で、直交性から両辺はともに $2\pi(|a|^2+|b|^2)$ である。$f$ が実数値なら $\hat f(-1)=\overline{\hat f(1)}$ なので、$a=\hat f(1)=\frac{\alpha-i\beta}2$ とおくと $f=2\operatorname{Re}(ae^{ix})=\alpha\cos x+\beta\sin x$ である。$\square$

周期 $T$ の可積分関数の積分は、長さ $T$ のどの区間でとっても同じである（区間を $T$ の整数倍ずらした 2 つの部分に分けて足し直す）。同じく周期性から、$f$ の実部と虚部は有界閉区間ならどこの上でも絶対連続である（隣り合う 2 つの閉区間の上で絶対連続なら、合わせた区間の上でも絶対連続であることは定義から分かる）。$g(y):=f\bigl(\frac{Ty}{2\pi}\bigr)-m$ とおくと、$g$ は $2\pi$ 周期で、$g\in\mathcal{W}$、$g'(y)=\frac T{2\pi}f'\bigl(\frac{Ty}{2\pi}\bigr)$ である。変数変換 $x=\frac{Ty}{2\pi}$ により
$$ \int_{-\pi}^{\pi}g=\frac{2\pi}T\int_{-T/2}^{T/2}(f-m)=0,\quad\int_{-\pi}^{\pi}|g|^2=\frac{2\pi}T\int_0^T|f-m|^2,\quad\int_{-\pi}^{\pi}|g'|^2=\Bigl(\frac T{2\pi}\Bigr)^2\frac{2\pi}T\int_0^T|f'|^2 $$
である。$g$ に thm-wi-main を当て、$\frac{2\pi}T$ で割ればよい。等号の条件も $g$ の条件を戻したものである。$\square$

要点：1 では $u$ を奇関数として、2 では偶関数として $[-\ell,\ell]$ に延ばし、周期 $2\ell$ の関数に cor-wi-period を当てる。

prf-thm-wi-main の 1・2 はそのまま使え、3 の代わりに
$$ \frac1{2\pi}\int|f'|^2-\frac{m^2}{2\pi}\int|f|^2\ge\sum_{|n|\ge m}(n^2-m^2)|\hat f(n)|^2\ge0 $$
となる。等号なら $|n|>m$ で $\hat f(n)=0$ であり、残るのは $n=\pm m$ の項だけなので、Parsevalの等式 の系「係数による一意性」から $f=\hat f(m)e^{imx}+\hat f(-m)e^{-imx}$ である。逆はこの形を代入して確かめられる。$\square$

不等式。$\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$（Basel問題 の定理「平方数の逆数の和」）と Cauchy–Schwarzの不等式、prf-thm-wi-main の 1 から
$$ \sum_{n\ne0}|\hat f(n)|\le\Bigl(\sum_{n\ne0}\frac1{n^2}\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{n\ne0}n^2|\hat f(n)|^2\Bigr)^{1/2}\le\Bigl(\frac{\pi^2}3\Bigr)^{1/2}\Bigl(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f'|^2\Bigr)^{1/2} $$
である。係数の絶対値の和が有限なので、級数 $g(x):=\sum_{n\ne0}\hat f(n)e^{inx}$ はすべての $x$ で一様に絶対収束し、$g$ は連続である。一様収束する級数は項別に積分できるので $\hat g(n)=\hat f(n)$（$n\ne0$）、$\hat g(0)=0=\hat f(0)$ であり、Parsevalの等式 の系「係数による一意性」から $f=g$ である。よって $|f(x)|\le\sum_{n\ne0}|\hat f(n)|$ で、2 乗すると主張を得る（$\frac{\pi^2}3\cdot\frac1{2\pi}=\frac\pi6$）。
最良であること。$|x|\le\pi$ で $f_0(x):=\frac{\pi^2}3-\pi|x|+\frac{x^2}2$ を周期 $2\pi$ に延ばした関数で、$x=0$ のとき等号になる。

離散Fourier変換と反転公式 の定義「離散Fourier変換」の記号で、長さ $N$ の数列 $x=(x_k)$ の変換を $\hat x(t)=\sum_kx_k\zeta^{-tk}$ とし、添字は $N$ を法として考える。$y_k:=x_{k+1}-x_k$ とおく。$\sum_kx_{k+1}\zeta^{-tk}=\zeta^t\sum_kx_{k+1}\zeta^{-t(k+1)}=\zeta^t\hat x(t)$（添字を 1 つずらして足し直す）なので、$\hat y(t)=(\zeta^t-1)\hat x(t)$ であり、
$$ |\zeta^t-1|^2=2-2\cos\frac{2\pi t}N=4\sin^2\frac{\pi t}N $$
である。仮定から $\hat x(0)=0$ である。$1\le t\le N-1$ なら $\frac{\pi t}N$ は $[\frac\pi N,\pi-\frac\pi N]$ にあるので $\sin^2\frac{\pi t}N\ge\sin^2\frac\pi N$ であり、等号は $t=1$ か $t=N-1$ のときに限る（$N\ge3$ のとき。$N=2$ では $t=1=N-1$ だけ）。離散Fourier変換と反転公式 の定理「反転公式とParsevalの等式」の 2（Parseval の等式）を $y$ と $x$ に当てると
$$ \sum_k|y_k|^2=\frac1N\sum_{t=1}^{N-1}4\sin^2\frac{\pi t}N\,|\hat x(t)|^2\ge4\sin^2\frac\pi N\cdot\frac1N\sum_{t=1}^{N-1}|\hat x(t)|^2=4\sin^2\frac\pi N\sum_k|x_k|^2 $$
である。等号なら $2\le t\le N-2$ で $\hat x(t)=0$ なので、反転公式（同じ定理の 1）から $x_k=\frac1N\bigl(\hat x(1)\zeta^k+\hat x(N-1)\zeta^{(N-1)k}\bigr)$ で、$\zeta^{(N-1)k}=\zeta^{-k}$ である。逆に $x_k=a\zeta^k+b\zeta^{-k}$ なら、$\sum_k\zeta^{\pm k}=0$ から和は $0$ で、離散Fourier変換と反転公式 の補題「1 の $n$ 乗根の冪の和（復習）」から $\hat x$ は $t=1,N-1$ の外で $0$ なので、上の不等号はすべて等号になる。$\square$

$z(t):=x(t)+iy(t)$ と書く。$\operatorname{Im}(\bar zz')=xy'-yx'$ であり、等周不等式（高校数学） の補題「符号付き面積の 2 つの式」から $\int xy'=-\int yx'$ なので、$2A(\gamma)=\operatorname{Im}\int_{-\pi}^{\pi}\bar zz'\,dt$ である。
同記事の補題「速さを一定にする取り替え」と補題「媒介変数を取り替えても長さと面積は変わらない」により、速さが一定 $\frac L{2\pi}$ の曲線に取り替えても $L$ と $A$ は変わらないので、はじめから速さは $\frac L{2\pi}$ としてよい。このとき $\int|z'|^2=\frac{L^2}{2\pi}$ である。
$c:=\hat z(0)$ を $z$ の平均とし、$w:=z-c$ とおく。$z$ は $C^1$ 級で $z(-\pi)=z(\pi)$ なので $w\in\mathcal{W}$ で、$\int w=0$、$w'=z'$ である。$\int\bar c\,z'=\bar c\,(z(\pi)-z(-\pi))=0$ なので $\operatorname{Im}\int\bar zz'=\operatorname{Im}\int\bar ww'$ である。Cauchy–Schwarzの不等式 と thm-wi-main から
$$ 2A(\gamma)=\operatorname{Im}\int\bar ww'\le\int|w|\,|w'|\le\Bigl(\int|w|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int|w'|^2\Bigr)^{1/2}\le\int|w'|^2=\frac{L^2}{2\pi} $$
であり、$L^2\ge4\pi A(\gamma)$ を得る。
等号なら最後の不等号も等号なので、thm-wi-main から $w=ae^{it}+be^{-it}$ である。直交性から
$$ \operatorname{Im}\int\bar ww'=\operatorname{Im}\bigl(2\pi i(|a|^2-|b|^2)\bigr)=2\pi(|a|^2-|b|^2),\qquad\int|w'|^2=2\pi(|a|^2+|b|^2) $$
なので、両者が等しいことから $b=0$ である。$L>0$ から $a\ne0$ で、$a=Re^{-it_0}$（$R>0$）と書けば $z=c+Re^{i(t-t_0)}$ である。逆にこの形なら $L=2\pi R$、$2A=2\pi R^2$ で等号が成り立つ。$\square$