実射影空間

この命題は CW複体 の命題「射影空間の CW 構造」の $K=\mathbb{R}$ の場合を、円板の言葉で言い直したものである。同命題の証明は、上の $h$ が全射で、開円板の上で単射で $\mathbb{RP}^n\setminus\mathbb{RP}^{n-1}$ の上へ写り、境界の点 $w$ を $[w:0]=q(w)$ に写すことを示している。境界の 2 点 $w,w'$ が同じ点に写るのは $w'=\pm w$ のときに限るから、$h$ で同じ点に写る 2 点の組は $D^n/{\pm}$ で同一視される組にちょうど一致する。$D^n$ はコンパクト、$\mathbb{RP}^n$ は Hausdorff なので、商写像 の系「コンパクト空間からHausdorff空間への連続全射」により $h$ は商写像であり、同記事の系「商空間からの連続写像と同相の判定」により $D^n/{\pm}\to\mathbb{RP}^n$ は同相写像である。開円板では同一視が起こらないので、開円板は $D^n/{\pm}$ の開集合として自身と同相に埋め込まれ、この同相写像で $\mathbb{RP}^n\setminus\mathbb{RP}^{n-1}$ に写る。CW 構造は同命題がそのまま与えている。$\square$

rp-prop-disk の CW 構造を使う。$X=\mathbb{RP}^n$ の $k$ 骨格は $\mathbb{RP}^k$ である。$C_k:=H_k(\mathbb{RP}^k,\mathbb{RP}^{k-1})$ は $k$ 胞体 $e^k$ で生成される無限巡回群であり（$0\le k\le n$）、胞体の境界写像 $d_k\colon C_k\to C_{k-1}$ のなす鎖複体のホモロジーは $X$ のホモロジーと同型である（Hat02 §2.2 Lemma 2.34・Theorem 2.35、pp. 137–139）。さらに $k\ge2$ のとき、$d_k(e^k)=d\,e^{k-1}$ の係数 $d$ は、接着写像 $q\colon S^{k-1}\to\mathbb{RP}^{k-1}$ と、$\mathbb{RP}^{k-2}$ を 1 点に潰す写像 $c\colon\mathbb{RP}^{k-1}\to\mathbb{RP}^{k-1}/\mathbb{RP}^{k-2}\cong S^{k-1}$ の合成
$$ g:=c\circ q\colon S^{k-1}\to S^{k-1} $$
の写像度である（同書 Cellular Boundary Formula、p. 140）。同一視 $\mathbb{RP}^{k-1}/\mathbb{RP}^{k-2}\cong S^{k-1}$ の取り方は $d$ の符号しか変えないので、以下では符号を気にしない。$k=1$ のときは、0 胞体が 1 つしかないので $d_1=0$ である（同書 p. 140）。
$d_k$ の計算（$k\ge2$）。 $S^{k-1}$ の赤道 $\{x_{k-1}=0\}$ を $E$、開半球 $\{x_{k-1}>0\}$ と $\{x_{k-1}<0\}$ を $H_+$、$H_-$ とする。$q^{-1}(\mathbb{RP}^{k-2})=E$ であり、rp-prop-disk により $q$ は $H_+$ を $\mathbb{RP}^{k-1}\setminus\mathbb{RP}^{k-2}$ の上へ同相に写す（$H_+$ は $w\mapsto(w,\sqrt{1-|w|^2})$ で開円板と同相であり、その合成が $h$ である）。$c$ は $\mathbb{RP}^{k-1}\setminus\mathbb{RP}^{k-2}$ を $S^{k-1}$ から 1 点 $*$ を除いた集合の上へ同相に写し、$\mathbb{RP}^{k-2}$ を $*$ に写す。したがって $g$ は $H_+$ を $S^{k-1}\setminus\{*\}$ の上へ同相に写し、$E$ を $*$ に写す。さらに $q(-x)=q(x)$ だから、$H_-$ の上では $g=g|_{H_+}\circ A$（$A(x)=-x$ は対蹠写像）である。
$y\ne*$ を 1 つとると、$g^{-1}(y)$ は $H_+$ の点 $x$ と $H_-$ の点 $-x$ のちょうど 2 点である。局所写像度の和の公式（Hat02 Proposition 2.30、p. 136）により
$$ \deg g=\deg g|_x+\deg g|_{-x} $$
である。$g$ は $x$ の近傍 $H_+$ を $y$ の近傍へ同相に写すので、$\deg g|_x=\varepsilon\in\{\pm1\}$ である（同書 p. 136）。局所写像度は局所ホモロジー群の間の写像として定まるので合成について積になり、$-x$ の近くでは $g=g|_{H_+}\circ A$ だから $\deg g|_{-x}=\varepsilon\cdot\deg A|_{-x}$ である（同じ計算は Hat02 Example 2.42、p. 144 にもある）。$A$ は同相写像なので、その局所写像度はどの点でも $\deg A$ に等しい（同書 p. 136）。写像度 の命題「直交変換の写像度」により $S^{k-1}$ の対蹠写像の写像度は $(-1)^k$ である。以上より
$$ d_k=\pm\deg g=\pm\varepsilon\bigl(1+(-1)^k\bigr)=\begin{cases}0&(k\text{ が奇数})\\ \pm2&(k\text{ が偶数})\end{cases} $$
となる。
以上の写像度から、ホモロジー群は鎖複体の計算で求まる。

係数 $G$ の胞体鎖複体は、rp-prf-homology の整数係数の胞体鎖複体に $\otimes G$ を施したものである（胞体ホモロジー の係数についての段落、Hat02 §2.2、pp. 153–154）。各 $C_k(\mathbb{RP}^n;G)$ は $G$ で、$d_k$ は $k$ が奇数なら $0$、$k\ge2$ が偶数なら $\pm2$ 倍である（符号は胞体の向きの取り方で変わるが、核と像は変わらない）。$\pm2$ 倍の核は $G[2]$、像は $2G$ である。$k=0$ では $\ker d_0=G$、$\operatorname{im}d_1=0$ で $G$ である。$0< k< n$ の奇数では $\ker d_k=G$、$\operatorname{im}d_{k+1}=2G$ で $G/2G$、偶数では $\ker d_k=G[2]$、$\operatorname{im}d_{k+1}=0$（$d_{k+1}$ は奇数次で $0$）で $G[2]$ である。$k=n$ では $\operatorname{im}d_{n+1}=0$ なので $H_n=\ker d_n$ は、$n$ が奇数なら $G$、偶数なら $G[2]$ である。$k>n$ では鎖群が $0$ である。$\square$

$\mathbb{RP}^n$ は $n$ 次元の位相多様体であり（射影空間 の命題「アフィン座標近傍と多様体構造」）、連結な $S^n$ の連続像なので連結、さらにコンパクトである。連結な $n$ 次元閉多様体 $M$ について、$M$ が向き付け可能なら $H_n(M;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$、向き付け不可能なら $H_n(M;\mathbb{Z})=0$ である（Hat02 Theorem 3.26、p. 236）。rp-thm-homology の 1 により $H_n(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z})$ は $n$ が奇数のとき $\mathbb{Z}$、偶数のとき $0$ なので、主張が従う。$\square$

要点：持ち上げは始点の符号を除いて一意であり、$\Delta^2$ の 2 辺をつないだ道と残りの 1 辺は端点を止めてホモトピックなので、終点の符号は掛け算で合う。

要点：面をとると $m$ 番目の符号が効かなくなるので、境界の項は 2 つずつ重なる。$\alpha^k(\sigma_\varepsilon)$ は隣り合う頂点を結ぶ辺での $\alpha$ の積であり、辺での値は隣り合う符号が異なるとき $1$ になる。

有限の場合。 $1\le k\le n$ とする。rp-lem-cocycle の $\alpha$ は余輪体なので、$\alpha^k$ も余輪体であり、そのコホモロジー類は $[\alpha]^k$ である（カップ積 の定理「コホモロジー環」）。$\alpha^k=\delta\beta$ となる $\beta\in C^{k-1}(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$ があったとする。rp-lem-cycle の 1 により $\partial Z_k=2c$（$c\in C_{k-1}(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z})$）と書けるので、
$$ \alpha^k(Z_k)=\beta(\partial Z_k)=2\,\beta(c)=0 $$
となり、同補題の 2 に反する。よって $[\alpha]^k\ne0$ である。
$k=1$ の場合から、$[\alpha]$ は $H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ のただ 1 つの $0$ でない元、すなわち $a$ である。したがって $1\le k\le n$ について $a^k\ne0$ は $H^k(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ の生成元である。$k=0$ では、$\mathbb{RP}^n$ は弧状連結なので $H^0(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$ は定数関数のなす $\mathbb{Z}/2$ であり（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）、単位元 $a^0=1$ が生成元である。多項式環からの環準同型 $(\mathbb{Z}/2)[x]\to H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$、$x\mapsto a$ は、次数 $k\le n$ では $x^k\mapsto a^k$ により $\{0,x^k\}$ から $H^k$ への全単射であり、次数 $k>n$ では $H^k=0$ への写像である。よって核は $(x^{n+1})$ で、$(\mathbb{Z}/2)[a]/(a^{n+1})\cong H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$ を得る。
$\mathbb{RP}^\infty$ の場合。 有限の場合へ制限して調べる。

1：$\tilde\ell(1)\in q^{-1}(q(x_0))=\{x_0,-x_0\}$ なので値は $0$ か $1$ である。端点を止めてホモトピックなループの持ち上げは同じ終点をもつので（被覆空間 の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」）、$\rho_n$ は $\pi_1$ の上で矛盾なく定まる。準同型であること：$\ell$ の持ち上げが $x_0$ から $\epsilon x_0$（$\epsilon=\pm1$）へ、$\ell'$ の持ち上げが $x_0$ から $\epsilon'x_0$ へ向かうとする。$q(-x)=q(x)$ なので $\epsilon\tilde\ell'$ も $\ell'$ の持ち上げで、始点は $\epsilon x_0$ である。持ち上げの一意性により、つないだループ $\ell\cdot\ell'$ の $x_0$ からの持ち上げは $\tilde\ell$ のあとに $\epsilon\tilde\ell'$ を続けた道で、終点は $\epsilon\epsilon'x_0$ である。符号の積が $\mathbb{Z}/2$ の和に対応するので、$\rho_n([\ell][\ell'])=\rho_n([\ell])+\rho_n([\ell'])$ である。$0$ でないこと：$n\ge1$ なので $S^n$ は弧状連結であり、$x_0$ から $-x_0$ への道 $\gamma$ がある。$\ell:=q\circ\gamma$ はループで、その持ち上げは $\gamma$ 自身なので $\rho_n([\ell])=1$ である。
2：rp-thm-cohomology-ring（あるいは rp-thm-homology の 2 と普遍係数定理）により $H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ なので、$\operatorname{Hom}(\pi_1(\mathbb{RP}^n,q(x_0)),\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元はちょうど 1 つである。1 により $\rho_n$ はその元であり、$a$ に対応する。$\square$

1：$a_n$、$a_m$ をそれぞれ $H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$、$H^1(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元とする。$g^*a_n\ne0$ と仮定すると、$H^1(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元は $a_m$ だけなので $g^*a_n=a_m$ である。$g^*$ はカップ積を保つ環準同型なので、rp-thm-cohomology-ring により
$$ a_m^{\,n+1}=(g^*a_n)^{n+1}=g^*\bigl(a_n^{\,n+1}\bigr)=g^*(0)=0 $$
となる。一方 $n+1\le m$ なので、同じ定理により $a_m^{\,n+1}\ne0$ であり、矛盾する。よって $g^*a_n=0$ である。
2：基点 $p_0\in\mathbb{RP}^m$ をとる。$n\ge2$ なので $\pi_1(\mathbb{RP}^n,g(p_0))\cong\mathbb{Z}/2$ であり、rp-lem-monodromy の $\rho_n$（基点を $g(p_0)$ の上の点にとったもの）は $0$ でない準同型なので同型である。1 と上の自然な同型により $\rho_n\circ g_*=0$ であり、$\rho_n$ が単射なので $g_*$ は自明である。$\mathbb{RP}^m$ は弧状連結かつ局所弧状連結なので（局所的に $\mathbb{R}^m$ と同相）、持ち上げの判定条件（Hat02 Proposition 1.33、p. 61）により $g$ は $q$ に沿って持ち上がる。$\square$

$n=0$ のとき：$S^0=\{1,-1\}$ であり、$m\ge1$ なので $S^m$ は連結だから、連続写像 $f\colon S^m\to S^0$ は定数である。定数写像は $f(-x)=-f(x)$ を満たさない。
$n\ge1$ のとき：奇写像 $f\colon S^m\to S^n$ があったとする。$m\ge n+1$ なので、最初の $n+2$ 個の座標以外が $0$ の点からなる $S^{n+1}\subset S^m$ への制限は、連続な奇写像 $S^{n+1}\to S^n$ である。これは、$n+1\ge2$ 次元の Borsuk–Ulamの定理 とその記事の命題「同値な言い換え」の 3（連続な奇写像 $S^{n+1}\to S^{n}$ は存在しない）に反する。$\square$