群の表現

$V=K$ とし、すべての $g$ を $\mathrm{id}_K$ に送る表現を 自明表現 という。一般に、次数 $1$ の表現は $\mathrm{GL}_1(K)=K^\times$ への準同型 $G\to K^\times$ にほかならない。たとえば次のものがある（Web16 Example 1.1.1–1.1.2）。

• 対称群 $S_n$ の 符号表現 $\sigma\mapsto\operatorname{sgn}(\sigma)\in\{\pm1\}\subset K^\times$（置換の符号）。
• 位数 $n$ の巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の複素表現 $k\bmod n\mapsto\zeta^{rk}$（$\zeta=e^{2\pi i/n}$、$0\le r\le n-1$）。$\zeta^{rn}=1$ なので $k$ の代表元によらず定まる。これらは 巡回群の指標と直交関係 の記事の指標にほかならない。
  次数 $1$ の表現は、不変部分空間が $0$ と全体しかないので、つねに既約である。

$G$ が集合 $X$ に作用しているとき、$X$ の元 $x$ を基底 $e_x$ とするベクトル空間 $K^{(X)}$ に $ge_x:=e_{gx}$ で $G$ を作用させたものを 置換表現 という。各 $\rho(g)$ は基底の置換なので、$X$ が有限なら行列で書くと各行・各列に $1$ がちょうど 1 つある置換行列である。$X=G$ に左からの積で作用させたものを 正則表現 という（群環 の例「自明な表現・正則表現・置換表現」）。$X$ が有限集合なら、$s:=\sum_{x\in X}e_x$ は $gs=\sum_xe_{gx}=s$ を満たし、$Ks$ は自明表現と同型な部分表現である。

$S_3$ を $K^3$ に座標の置換として作用させる（$\sigma e_i=e_{\sigma(i)}$）。$L:=K(e_1+e_2+e_3)$ と $W:=\{x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\mid x_1+x_2+x_3=0\}$ はどちらも不変部分空間である（置換は座標の和を変えない）。$W$ の基底 $w_1:=e_1-e_2$、$w_2:=e_2-e_3$ に関して
$$ (1\,2)\mapsto\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad(1\,2\,3)\mapsto\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix} $$
である（たとえば $(1\,2\,3)w_2=e_3-e_1=-w_1-w_2$）。$S_3$ は $(1\,2)$ と $(1\,2\,3)$ で生成されるので、これで行列表現 $\rho\colon S_3\to\mathrm{GL}_2(K)$ が決まる。$K=\mathbb{R}$ なら、$c:=\frac13(e_1+e_2+e_3)$ として $e_1-c,\ e_2-c,\ e_3-c$ を頂点とする正三角形は $W$ に含まれ、$S_3$ はその頂点を置換する対称性として作用する（Web16 Example 1.1.3）。
$K$ の標数が $3$ でなければ $e_1+e_2+e_3\notin W$（座標の和が $3\neq0$）なので $K^3=L\oplus W$ であり、置換表現は自明表現と 2 次元表現 $W$ の直和に分かれる。標数が $3$ なら $L\subset W$ となり、この分解は成り立たない（ex-group-representation-modular と同じ現象で、$3$ は $\lvert S_3\rvert=6$ を割る）。
$K=\mathbb{C}$ のとき $W$ は既約である。$\rho(1\,2)$ と $\rho(1\,2\,3)$ に共通の固有ベクトルがないことを確かめればよい。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の $\mathbb{R}^2$ 上の表現 $k\bmod n\mapsto\begin{pmatrix}\cos(2\pi k/n)&-\sin(2\pi k/n)\\\sin(2\pi k/n)&\cos(2\pi k/n)\end{pmatrix}$ は、正 $n$ 角形の回転を表す。$n\ge3$ なら生成元の行列は実数の固有値をもたないので、$\mathbb{R}$ 上では既約である。$\mathbb{C}$ 上では固有ベクトル $(1,\mp i)^{\top}$ により、ex-group-representation-one-dimensional の $r=1$ と $r=n-1$ の 1 次元表現の直和に分かれる。
行列の群は、そのまま自分自身の表現をもつ。たとえば 2 次特殊ユニタリ群 $\mathrm{SU}(2)\subset\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$（SO(3)とSU(2) の定義「2 次特殊ユニタリ群」）は包含写像によって $\mathbb{C}^2$ に作用し、回転群 $\mathrm{SO}(3)$ は $\mathbb{R}^3$ に作用する。

$p$ を素数とし、$\mathbb{F}_p$ 上で $\rho\colon\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ を $\rho(k\bmod p):=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$ と定める。これは準同型で、$1$ 次元の不変部分空間は $\mathbb{F}_pe_1$ ただ 1 つである。したがって $\mathbb{F}_pe_1$ には不変な補空間がなく、この表現は既約でも既約表現の直和でもない。この例は「有限群の有限次元表現」を満たすが「係数体の標数が $\lvert G\rvert=p$ を割らない」を満たさず、完全可約性を破る（Web16 Example 1.1.4・1.1.7 は下三角行列で同じ例を与えている）。

任意の体 $K$ 上で $\rho\colon\mathbb{Z}\to\mathrm{GL}_2(K)$、$\rho(n):=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ は準同型である（$n$ は $n\cdot1\in K$ と読む）。ex-group-representation-modular と同じく、$1$ 次元の不変部分空間は $\rho(1)$ の固有ベクトルで張られ、$Ke_1$ だけなので、不変な補空間がない。係数体を $\mathbb{C}$ にとってもこの議論は同じなので、この例は「係数体が $\mathbb{C}$」を満たすが「群が有限」を満たさず、完全可約性を破る。$K=\mathbb{C}$ のとき、thm-group-representation-invariant-inner-product の平均が $\mathbb{Z}$ では作れないことが原因である。

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の $\mathbb{R}^2$ 上の表現を、生成元を $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$（$90^\circ$ 回転、$J^4=I_2$）に送って定める。$J$ は実数の固有値をもたないので $1$ 次元の不変部分空間はなく、この表現は既約である。表現の射は $J$ と可換な実行列であり、それは $aI_2+bJ$（$a,b\in\mathbb{R}$）の形の行列全体で、$\mathbb{C}$ と同型な体をなす。

$K$ の標数が $2$ でないとし、$S_2=\{1,\tau\}$ の自明表現と符号表現 $\tau\mapsto-1$ を考える。どちらも次数 $1$ である。同型 $f\colon K\to K$ は $0$ でない $c$ による $c$ 倍写像で、射であるためには $c\cdot1=(-1)\cdot c$、すなわち $2c=0$ が要るが、$2\neq0$ なので $c=0$ となり矛盾する。よって 2 つは同値でなく、指標も $\tau$ で $1$ と $-1$ と異なる。この例は「次数が等しい」を満たすが「同値」を満たさない。標数 $2$ では $-1=1$ なので 2 つの表現は一致する。