はさみうちの原理

$x\ne0$ で $\lvert\sin\frac1x\rvert\le1$ なので、$\bigl\lvert x\sin\frac1x\bigr\rvert\le\lvert x\rvert$ である。$\lvert x\rvert\to0$（$x\to0$）なので、cor-sqzth-one-side の 1 により $\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$ である。一方 $\sin\frac1x$ 自身は $x\to0$ で極限をもたない（$x=\frac1{n\pi+\pi/2}$ に沿うと値が $(-1)^n$ になる）。

$0<\lvert x\rvert<\frac\pi2$ で $\cos x<\frac{\sin x}x<1$ が成り立つ（扇形と三角形の面積の比較による。sin x/xの極限 の記事を参照）。$\cos$ は連続で $\cos0=1$ なので、thm-sqzth-main により $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ である。ここでは $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$、$V_0=V_{\pi/2}(0)$ としている。

$n\ge2$ で $h_n:=\sqrt[n]n-1\ge0$ とおく。二項定理により
$$ n=(1+h_n)^n\ge1+nh_n+\frac{n(n-1)}2h_n^2\ge\frac{n(n-1)}2h_n^2 $$
なので $0\le h_n\le\sqrt{\frac2{n-1}}$ である。右辺は $0$ に収束するので、はさみうちの原理により $h_n\to0$、すなわち $\sqrt[n]n\to1$ である。

$I_n:=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$（$n\ge0$）とおく。$0\le\sin x\le1$ なので $I_{n+1}\le I_n$ であり、$I_n>0$ である。部分積分により、$n\ge1$ で
$$ I_{n+1}=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,\sin x\,dx=\Bigl[-\sin^nx\cos x\Bigr]_0^{\pi/2}+n\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\cos^2x\,dx=n(I_{n-1}-I_{n+1}) $$
となり、$I_{n+1}=\frac n{n+1}I_{n-1}$ を得る。$I_{n+1}\le I_n\le I_{n-1}$ を $I_{n+1}$ で割ると
$$ 1\le\frac{I_n}{I_{n+1}}\le\frac{I_{n-1}}{I_{n+1}}=\frac{n+1}n $$
であり、右端は $1$ に収束するので $\frac{I_n}{I_{n+1}}\to1$ である。この比の極限が Wallis の公式と Stirlingの公式 の定数を決める決め手になる。

$f$ を区間 $I$ で連続な関数、$a\in I$ とし、$F(x):=\int_a^xf(t)\,dt$ とおく。$x\in I$ と $h>0$（$x+h\in I$）に対し、$[x,x+h]$ での $f$ の最小値 $m(h)$ と最大値 $M(h)$ をとる（最大値・最小値の定理）。$m(h)\le f(t)\le M(h)$ を $x$ から $x+h$ まで積分して $h$ で割ると
$$ m(h)\le\frac{F(x+h)-F(x)}h\le M(h) $$
である。$m(h)=f(c_h)$、$M(h)=f(d_h)$ となる $c_h,d_h\in[x,x+h]$ は $h\to+0$ で $x$ に近づくので、$f$ の連続性から $m(h),M(h)\to f(x)$ であり、はさみうちの原理により右側の微分係数は $f(x)$ になる。$h<0$ も同様である。これは 微分積分学の基本定理 の定理「積分の上端についての微分」の証明の骨格であり、確率密度関数や極座標の面積の議論でも同じ形が現れる。

$x\ge0$ では $e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$ の各項が $0$ 以上なので $e^x\ge\frac{x^2}2$ であり、$x>0$ で $\frac{e^x}x\ge\frac x2$ となる。$\frac x2\to+\infty$ なので、cor-sqzth-one-side の 2 により $\frac{e^x}x\to+\infty$（$x\to\infty$）である。

$a_n\to c$ ならば、平均 $\sigma_n:=\frac{a_1+\dots+a_n}n$ も $c$ に収束する。$\varepsilon>0$ をとり、$k>N$ で $\lvert a_k-c\rvert<\varepsilon$ となる $N$ を選んで $A:=\sum_{k=1}^N\lvert a_k-c\rvert$ とおく。$n>N$ なら
$$ \lvert\sigma_n-c\rvert\le\frac1n\sum_{k=1}^N\lvert a_k-c\rvert+\frac1n\sum_{k=N+1}^n\lvert a_k-c\rvert\le\frac An+\varepsilon $$
なので、$a^\varepsilon_n:=c-\varepsilon-\frac An$、$b^\varepsilon_n:=c+\varepsilon+\frac An$ で挟める。これらの極限は $c\mp\varepsilon$ なので、thm-sqzth-epsilon により $\sigma_n\to c$ である。ここでは $N$ と $A$ が $\varepsilon$ に依存するので、この評価から $\varepsilon$ によらない 1 組の挟む数列が直接に得られるわけではない。

1. $x_n$ は $0,1$ を交互にとるので収束しない（数列の極限 の記事の例「反例：有界だが収束しない数列」と同じ）。$0\le x_n\le1$ はすべての $n$ で成り立つが、$\lim a_n\ne\lim b_n$ なので定理の仮定を満たさない。
2. $f(x)=1$（$x$ が無理数）、$f(x)=0$（$x$ が有理数）とする。$g=h=0$ について $g\le f\le h$ は有理数の点でだけ成り立つ。$x\to0$ の極限は存在しない。$0$ のどの穴あき近傍にも有理数と無理数がともにあり、値 $0$ と $1$ の両方をとるからである。不等式は「$a$ の近くの $D$ の点すべて」で必要である。ただし $D=\mathbb{Q}$ と取り直せば、$\mathbb{Q}$ の中で $0$ に近づくときの極限は $0$ になり、定理と矛盾しない。
3. $x_n=n$ は $x_n\ge0$ を満たし、下の量 $0$ は $0$ に収束するが、$x_n\to+\infty$ である。片側の評価で結論できるのは、cor-sqzth-one-side の 2 のように下の量が $+\infty$ に発散する場合だけである。
4. 表の仮定とは別に、よくある誤用を挙げる。定理が挟むのは番号ごとに 1 つの数 $x_n$ であり、項の個数が $n$ とともに増える和の各項を挟んでも、和を挟んだことにはならない。$S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}$ の各項 $\frac1{n+k}$ は $0<\frac1{n+k}\le\frac1n\to0$ を満たすが、項の個数 $n$ も増えるので、和は $0$ に近づかない。正しくは和全体を挟む。$t\in[n+k-1,n+k]$ で $\frac1{n+k}\le\frac1t$、$t\in[n+k,n+k+1]$ で $\frac1t\le\frac1{n+k}$ なので、$k=1,\dots,n$ について積分して足すと
   $$ \log\frac{2n+1}{n+1}=\int_{n+1}^{2n+1}\frac{dt}t\le S_n\le\int_n^{2n}\frac{dt}t=\log2 $$
   となる。左端も $\log2$ に収束するので、はさみうちの原理により $S_n\to\log2$ である。