Weierstrassの割り算定理

$0< s< R$ について、$\partial_w^j\varphi(z',0)/j!=\frac1{2\pi i}\oint_{|t|=s}\varphi(z',t)t^{-j-1}\,dt$ であり、右辺は積分記号下の微分により $z'\in\Delta'$ について正則で、絶対値は $M s^{-j}$ 以下である。$s\to R$ として係数の絶対値は $MR^{-j}$ 以下なので、$|w|< R$ では $|\varphi_0|\le\sum_{j< b}M(|w|/R)^j\le bM$ である。$z'$ を止めると $\varphi-\varphi_0$ は $w=0$ で $b$ 位以上の零点をもつから、$\varphi_1(z',\cdot)$ は $D(R)$ で正則である。$(z',w)$ についての正則性は、Cauchy の積分公式$$\varphi_1(z',w)=\frac1{2\pi i}\oint_{|t|=s}\frac{\varphi(z',t)-\varphi_0(z',t)}{t^b\,(t-w)}\,dt\qquad(|w|< s)$$の右辺が $(z',w)$ について正則であることから従う。$|w|=s$ では $|\varphi_1|\le(M+bM)/s^b$ なので、$\varphi_1(z',\cdot)$ に 1 変数の最大値の原理を使うと $|w|\le s$ でも同じ評価が成り立ち、$s\to R$ として $\|\varphi_1\|_\Delta\le(b+1)M/R^b$ を得る。一意性：$w^b(\psi_1-\varphi_1)=\varphi_0-\psi_0$ の右辺は $w$ の次数 $b$ 未満の多項式で、左辺は $z'$ を止めると $w=0$ で $b$ 位以上の零点をもつ。次数 $b$ 未満の多項式が $0$ で $b$ 位以上の零点をもてば $0$ なので、$\psi_0=\varphi_0$、$\psi_1=\varphi_1$ である。$\square$

1. $g=w^bE+\sum_{j< b}c_jw^j$（$c_j\in\mathbb{C}[\![z']\!]$）と分けると、$z'=0$ と置いて $c_j(0)=0$、$E(0)=e(0)\ne0$ なので $E$ は $\mathbb{C}[\![z]\!]$ の単元で、$g=E(w^b+h)$、$h:=E^{-1}\sum_{j< b}c_jw^j$ の単項式はすべて $z'$ を含む。よって $\nu(h)\ge b+1$。$\varphi$ の分解 $(\varphi_1,\varphi_0)$ について $\nu(\varphi_1)\ge\nu(\varphi)-b$ である。$s_0=0$、$f-hs_k=w^bs_{k+1}+r_{k+1}$ で $s_k,r_k$ を定めると、$s_{k+1}-s_k$ は $-h(s_k-s_{k-1})$ の分解の商なので $\nu(s_{k+1}-s_k)\ge\nu(s_k-s_{k-1})+1$ である。重みが $N$ 以下の単項式は有限個だから、各単項式の係数は $k$ が大きければ変わらず、その値を係数とする $s$ と、同様に $r$ が定まる。極限で $f=(w^b+h)s+r$、$q:=E^{-1}s$ とおけばよい。一意性：$(w^b+h)\sigma+\rho=0$、$\sigma\ne0$ なら $\sigma$ は $-h\sigma$ の分解の商なので $\nu(\sigma)\ge\nu(h\sigma)-b\ge\nu(\sigma)+1$ となり矛盾する。よって $\sigma=0$、$\rho=0$。

2. 収束する場合、prf-wd-estimate の各段の操作（分解と $h$ を掛けること）は Taylor 係数の上で 1 の操作と同じ式で働く。$s_k\to s$ は一様収束なので、Cauchy の積分公式により $s$ の各 Taylor 係数は $s_k$ の係数の極限であり、1 によりそれは有限段で一定になる。$r$ も同様である。各段の操作で、$s_k$ の各係数は $f$ の有限個の係数の一次結合になる（分解は係数を並べ替えるだけで、$h$ を掛けることは有限和である）。$\square$

準備。 $\varepsilon>0$ を閉円板 $\overline{D(w_i,\varepsilon)}$ が互いに交わらず、各 $f_i$ が $x_i$ のある近傍 $\Delta'_0\times\overline{D(w_i,\varepsilon)}$ の近傍で正則になるようにとり、$\Gamma_i:=\{|t-w_i|=\varepsilon\}$ とおく。$W(0,\cdot)$ は $\Gamma_i$ の上で $0$ にならないので、連続性と $\Gamma_i$ のコンパクト性から、多重円板 $\Delta'\subset\Delta'_0$ を小さくとれば $z'\in\Delta'$、$t\in \Gamma_i$ で $W(z',t)\ne0$ である。さらに $\Delta'$ を小さくとれば、各 $z'\in\Delta'$ について $W(z',\cdot)$ は $D(w_i,\varepsilon)$ にちょうど $b_i$ 個の根を重複度こみでもつ（Rouchéの定理 の定理「多項式の根の連続性」）。合計は $b$ なので、$W(z',\cdot)$ の根はすべて $\bigcup_iD(w_i,\varepsilon)$ に入る。

存在。 $z'\in\Delta'$、$w\notin\bigcup_i\Gamma_i$ について$$Q(z',w):=\sum_{j=1}^t\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_j}\frac{f_j(z',t)}{W(z',t)\,(t-w)}\,dt,\qquad r(z',w):=\sum_{j=1}^t\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_j}\frac{f_j(z',t)}{W(z',t)}\cdot\frac{W(z',t)-W(z',w)}{t-w}\,dt$$とおく。$(W(z',t)-W(z',w))/(t-w)$ は $w$ の次数 $b-1$ 以下の多項式で、係数は $t$ の多項式と $a_k(z')$ の積の和だから、係数ごとに積分して $r$ は係数が $\Delta'$ 上で正則な $w$ の次数 $b$ 未満の多項式である。$Q$ は各円周の外で $(z',w)$ について正則である。$w\in D(w_i,\varepsilon)$ とすると、Cauchy の積分公式により $\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_j}\frac{f_j(z',t)}{t-w}dt$ は $j=i$ のとき $f_i(z',w)$、$j\ne i$ のとき $0$（被積分関数が $\overline{D(w_j,\varepsilon)}$ の近傍で正則）である。よって$$r(z',w)=f_i(z',w)-W(z',w)\,Q(z',w)\qquad(z'\in\Delta',\ w\in D(w_i,\varepsilon))$$であり、$q_i:=Q|_{\Delta'\times D(w_i,\varepsilon)}$ とおけばよい。

一意性。 $q_iW+r=0$ が各 $x_i$ の近くで成り立つとする。上の $\varepsilon$、$\Delta'$ を小さくとり直して、これが $\Delta'\times D(w_i,\varepsilon)$ で成り立つとしてよい。$z'\in\Delta'$ を止めると、$r(z',\cdot)=-q_i(z',\cdot)W(z',\cdot)$ は $D(w_i,\varepsilon)$ 内の $W(z',\cdot)$ の根を少なくとも同じ重複度で零点にもつ。準備により根は重複度こみで合計 $b$ 個あり、すべてどれかの $D(w_i,\varepsilon)$ に入るので、次数 $b$ 未満の多項式 $r(z',\cdot)$ は重複度こみで $b$ 個以上の零点をもち、$0$ である。よって $r=0$、$q_iW=0$ であり、$W(0,\cdot)$ は $w_i$ の近くで恒等的に $0$ でないから 一致の定理 により $q_i=0$ である。$\square$