エタール射

環の準同型は $\varphi\colon A=k[u,u^{-1}]\to B=k[u,u^{-1}]$、$u\mapsto u^n$ であり、$B$ を $A$ 代数として書くと $B=A[t]/(t^n-u)$（$t$ が $B$ の $u$）である。$f(t)=t^n-u$ はモニックなので $B$ は $A$ 上 $1,t,\dots,t^{n-1}$ を基底とする自由加群、特に平坦で有限表示である。導関数は $f'(t)=nt^{n-1}$ で、$n$ は $k$ で可逆、$t$ は $B$ で可逆（$t\cdot t^{n-1}u^{-1}=1$）なので $f'(t)$ は $B$ の単元である。したがって $B$ は標準エタール $A$ 代数（$g=1$）であり、prop-etale-morphism-standard-etale によりエタールである。

$L$ は $K$ ベクトル空間なので平坦であり、有限次なので有限表示である。よってエタールであることは不分岐であること、すなわち $\Omega^1_{L/K}=0$（prop-etale-morphism-omega）と同値である。$L/K$ が分離的なら原始元定理により $L=K[t]/(h)$、$h$ は分離多項式で $h'(\alpha)\neq0$（$\alpha$ は $t$ の像）である。Kähler微分の計算 $\Omega^1_{L/K}=L\,dt/(h'(\alpha)\,dt)$ と $h'(\alpha)\in L^\times$ から $\Omega^1_{L/K}=0$ を得る。逆に $L/K$ が分離的でなければ $\Omega^1_{L/K}\neq0$ であり、したがって $\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K$ はエタールでない。この逆向きは Kähler微分 の記事の命題（分離拡大の微分加群）で証明されているので筋だけ述べる：$K$ の標数は $p>0$ であり、$M$ を $L$ における $K$ の分離閉包とすると $M\neq L$ で $L/M$ は純非分離拡大なので、$L=M'(\beta)$、$\beta\notin M'$、$\beta^p=b\in M'$ となる中間体 $M'$ がとれる。すると $L=M'[t]/(t^p-b)$ から $\Omega^1_{L/M'}=L\,dt/(pt^{p-1}dt)=L\,dt\neq0$ であり、第 1 基本完全列により $\Omega^1_{L/K}\to\Omega^1_{L/M'}$ は全射なので $\Omega^1_{L/K}\neq0$ である。

$C=A[t]/(f)$ とおく。$f$ がモニックで次数 $n$ なので、多項式の割り算により $C$ は $1,t,\dots,t^{n-1}$ を基底とする自由 $A$ 加群であり、特に平坦かつ有限表示である。$B=C_g$ は $C$ の局所化なので $C$ 上平坦、よって $B$ は $A$ 上平坦である（平坦性は合成で閉じる。平坦射 の記事の命題（合成と底変換））。また $B=A[t,w]/(f,\,gw-1)$ なので $B$ は $A$ 上有限表示である。残るのは不分岐性、すなわち prop-etale-morphism-omega により $\Omega^1_{B/A}=0$ を示すことである。Kähler微分の基本性質から $\Omega^1_{A[t]/A}=A[t]\,dt$ であり、商 $A[t]\to C$ に対する第 2 基本完全列 $(f)/(f)^2\to\Omega^1_{A[t]/A}\otimes_{A[t]}C\to\Omega^1_{C/A}\to0$ で $(f)/(f)^2$ の生成元 $f$ の像は $df=f'(t)\,dt$ なので $\Omega^1_{C/A}=C\,dt/(f'(t)\,dt)$、さらに局所化と可換なこと $\Omega^1_{C_g/A}=(\Omega^1_{C/A})_g$ から
$$ \Omega^1_{B/A}=B\,dt\big/\bigl(f'(t)\,dt\bigr) $$
である。$f'(t)$ は $B$ の単元なので $\Omega^1_{B/A}=0$ である。

問題は局所的なので、$s=f(x)$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ と $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ で $A\to B$ が有限型となるものをとり、$x$ に対応する $B$ の素イデアルを $\mathfrak{q}$、$\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$ とする。$\Omega^1_{X/S}|_{\operatorname{Spec}B}$ は $\Omega^1_{B/A}$ に付随する準連接層なので $(\Omega^1_{X/S})_x=(\Omega^1_{B/A})_{\mathfrak{q}}$ である。$B$ は $A$ 上有限型なので $\Omega^1_{B/A}$ は有限生成 $B$ 加群（有限生成加群）であり、Nakayamaの補題により $(\Omega^1_{B/A})_{\mathfrak{q}}=0$ は $\Omega^1_{B/A}\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})=0$ と同値である。
次にファイバーへ移る。$k=\kappa(\mathfrak{p})$、$B'=B\otimes_Ak$ とおき、$\mathfrak{q}$ に対応する $B'$ の素イデアルを $\mathfrak{q}'$ とすると、Kähler 微分の底変換 $\Omega^1_{B'/k}=\Omega^1_{B/A}\otimes_BB'$ と $\kappa(\mathfrak{q}')=\kappa(\mathfrak{q})$ により $\Omega^1_{B/A}\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})=\Omega^1_{B'/k}\otimes_{B'}\kappa(\mathfrak{q}')$ である。局所環 $R=B'_{\mathfrak{q}'}=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_s\mathcal{O}_{X,x}$ の極大イデアルを $\mathfrak{n}$、剰余体を $K=\kappa(x)$ とおくと、$\Omega^1_{R/k}=(\Omega^1_{B'/k})_{\mathfrak{q}'}$ なので上の加群は $\Omega^1_{R/k}\otimes_RK$ に等しい。一方 def-etale-morphism-unramified の条件は「$\mathfrak{n}=0$ かつ $K/k$ が有限分離拡大」である。$R$ は有限型 $k$ 代数 $B'$ の局所化なので Noether環であり、$K$ は有限生成 $k$ 整域 $B'/\mathfrak{q}'$ の分数体、すなわち $k$ 上有限生成な体である。したがって示すべきことは次である：有限型 $k$ 代数の局所化である局所環 $(R,\mathfrak{n},K)$ について、$\Omega^1_{R/k}\otimes_RK=0$ と「$\mathfrak{n}=0$ かつ $K/k$ が有限分離拡大」は同値である。
「$\Leftarrow$」：$R=K$ が $k$ の有限分離拡大なら、ex-etale-morphism-separable-extension の証明の前半により $\Omega^1_{K/k}=0$ である。
「$\Rightarrow$」：$\Omega^1_{R/k}\otimes_RK=0$ とする。$\Omega^1_{R/k}$ は有限生成 $R$ 加群なので Nakayama の補題により $\Omega^1_{R/k}=0$ である。第 1 基本完全列 $\Omega^1_{R/k}\otimes_RK\to\Omega^1_{K/k}\to\Omega^1_{K/R}=0$ から $\Omega^1_{K/k}=0$ を得る。$K$ は $k$ 上有限生成な体なので、Har77 II 8.6A（$\dim_K\Omega^1_{K/k}\ge\operatorname{tr.deg}_kK$ で、等号は $K/k$ が分離生成のとき）により $K/k$ は超越次数 $0$ の分離生成拡大、すなわち有限分離拡大である。残るのは $\mathfrak{n}=0$ である。$R'=R/\mathfrak{n}^2$、$\mathfrak{n}'=\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ とおくと $\mathfrak{n}'^2=0$ であり、$\Omega^1_{R'/k}$ は $\Omega^1_{R/k}\otimes_RR'=0$ の商なので $\Omega^1_{R'/k}=0$ である。$K/k$ は有限分離なので原始元定理により $K=k[u]/(h)$、$h$ は分離多項式で、$u$ の像 $\bar{u}$ について $h'(\bar{u})\neq0$ である。$\bar{u}$ の $R'$ への任意の持上げ $u_1$ をとると $h(u_1)\in\mathfrak{n}'$ で $h'(u_1)$ は $R'$ の単元（像が $h'(\bar{u})\neq0$）である。$u_2=u_1-h(u_1)/h'(u_1)$ とおくと、Taylor展開と $\mathfrak{n}'^2=0$ により $h(u_2)=h(u_1)-h'(u_1)\cdot h(u_1)/h'(u_1)=0$ である。よって $u\mapsto u_2$ は $k$ 代数の準同型 $\sigma\colon K\to R'$ を定め、$R'\to K$ との合成は恒等写像である。したがって $R'=\sigma(K)\oplus\mathfrak{n}'$ であり、$D\colon R'\to\mathfrak{n}'$ を $D(\sigma(a)+v)=v$ で定めると、$\mathfrak{n}'^2=0$ により
$$ D\bigl((\sigma(a)+v)(\sigma(b)+w)\bigr)=\sigma(a)w+\sigma(b)v=(\sigma(a)+v)D(\sigma(b)+w)+(\sigma(b)+w)D(\sigma(a)+v) $$
となるので $D$ は $R'$ 加群 $\mathfrak{n}'$ に値をもつ $k$ 導分である（$\sigma(K)$ 上で $0$）。Kähler 微分の普遍性により $D$ は $\Omega^1_{R'/k}=0$ を経由するので $D=0$、すなわち $\mathfrak{n}'=0$、$\mathfrak{n}=\mathfrak{n}^2$ である。$R$ は Noether 環なので $\mathfrak{n}$ は有限生成であり、Nakayama の補題により $\mathfrak{n}=0$ である。

局所有限表示が合成と底変換で保たれることは、有限表示代数の合成とテンソル積がふたたび有限表示であることから従う（$A\to B\to C$ で $B=A[t_1,\dots,t_m]/I$、$C=B[u_1,\dots,u_n]/J$、$I,J$ が有限生成なら $C=A[t,u]/(I,J)$ であり、$B\otimes_AA'=A'[t]/IA'[t]$ である）。平坦射が合成と底変換で保たれることは 平坦射 の記事の命題（合成と底変換）で証明されている（要点は、$A\to B\to C$ が平坦なら $M\otimes_AC=(M\otimes_AB)\otimes_BC$ が完全関手の合成として完全であること、および $N\otimes_{A'}(B\otimes_AA')=N\otimes_AB$ である）。
不分岐性は prop-etale-morphism-omega により $\Omega^1=0$ の条件に置き換えられる（合成と底変換は局所有限型を保つので同命題が使える）。底変換については Kähler 微分の底変換 $\Omega^1_{X\times_SS'/S'}=\mathrm{pr}_1^*\Omega^1_{X/S}$ から $\Omega^1_{X'/S'}=0$ である。合成については、第 1 基本完全列
$$ f^*\Omega^1_{Y/Z}\longrightarrow\Omega^1_{X/Z}\longrightarrow\Omega^1_{X/Y}\longrightarrow0 $$
において両端が $0$ なので $\Omega^1_{X/Z}=0$ である。以上により合成と底変換はエタールである。

証明の筋を述べる。$A=\mathcal{O}_{Y,y}$、$B=\mathcal{O}_{X,x}$ とおく。これらは Noether 局所環であり、$k$ が代数閉で $x,y$ が閉点なので $\kappa(x)=\kappa(y)=k$ である。したがって不分岐性は $\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B$ に他ならない。
「$\Rightarrow$」：$f$ が $x$ でエタールとする。$\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B$ から $\mathfrak{m}_A^nB=\mathfrak{m}_B^n$ なので、$B$ の $\mathfrak{m}_B$ 進完備化 $\widehat{B}$ は $\mathfrak{m}_A$ 進完備化でもあり、$\widehat{A}\to\widehat{B}$ は局所準同型で $\mathfrak{m}_{\widehat{A}}\widehat{B}=\mathfrak{m}_{\widehat{B}}$、剰余体はともに $k$ である。$\widehat{A}$ は完備で $\widehat{B}$ は $\mathfrak{m}_{\widehat{A}}$ 進位相で分離的なので、完備局所環に対する Nakayama の補題（Mat89 8.4）により、$\widehat{B}/\mathfrak{m}_{\widehat{A}}\widehat{B}=k$ の生成元 $1$ の持上げ $1$ が $\widehat{B}$ を $\widehat{A}$ 加群として生成する。すなわち $\widehat{A}\to\widehat{B}$ は全射で、$\widehat{B}$ は有限生成 $\widehat{A}$ 加群である。次に $\widehat{B}$ が $\widehat{A}$ 上平坦であることを見る。$A\to B$ は平坦、$B\to\widehat{B}$ は平坦（Mat89 8.8）なので $\widehat{B}$ は $A$ 上平坦である。$A\to\widehat{A}$ も平坦なので、$\widehat{A}$ 加群 $M$ と $A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Tor}^{\widehat{A}}_i(\widehat{A}\otimes_AN,M)=\operatorname{Tor}^A_i(N,M)$（Tor関手の平坦底変換）が成り立ち、$N=k=A/\mathfrak{m}_A$ について $\widehat{A}\otimes_Ak=k$ なので $\operatorname{Tor}^{\widehat{A}}_1(k,\widehat{B})=\operatorname{Tor}^A_1(k,\widehat{B})=0$ である。平坦性の局所判定（Mat89 22.3）により有限生成 $\widehat{A}$ 加群 $\widehat{B}$ は自由であり、$\widehat{B}\otimes_{\widehat{A}}k=k$ から階数 $1$、生成元 $1$ をもつので $\widehat{A}\to\widehat{B}$ は同型である。
「$\Leftarrow$」：$\widehat{A}\to\widehat{B}$ が同型とする。$B\to\widehat{B}$ は忠実平坦（忠実平坦射、Mat89 8.14）で $\widehat{B}=\widehat{A}$ は $A$ 上平坦なので、忠実平坦な準同型に沿った平坦性の降下（Mat89 §7）により $A\to B$ は平坦である。また $\mathfrak{m}_A\widehat{B}=\mathfrak{m}_{\widehat{A}}\widehat{B}=\mathfrak{m}_{\widehat{B}}=\mathfrak{m}_B\widehat{B}$ であり、忠実平坦な $B\to\widehat{B}$ について任意のイデアル $I\subset B$ は $I\widehat{B}\cap B=I$ をみたすので $\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B$ である。よって $f$ は $x$ で平坦かつ不分岐、すなわちエタールである。