Lambert W関数

1：$g'(w)=(1+w)e^w$ で $e^w>0$ だから、$g'<0$（$w<-1$）、$g'>0$（$w>-1$）であり、単調性が従う。$g(-1)=-e^{-1}$ である。$w\to\infty$ で $g(w)\to\infty$、$w\to-\infty$ で $g(w)=w/e^{-w}\to0$（指数関数 の命題「指数関数はどの冪よりも速く増える」）であり、$w<0$ では $g(w)<0$ である。$g$ は連続なので、中間値の定理により $g([-1,\infty))=[-1/e,\infty)$、$g((-\infty,-1])=[-1/e,0)$ である（後者で $0$ は値にならない）。狭義単調なのでどちらも単射である。
2：1 から、解は各区間に高々 1 つで、$x$ がその区間の像に入るときだけ存在する。$x=-1/e$ では 2 つの区間の共通点 $w=-1$ だけが解である。
3：狭義単調な関数の逆関数は連続である（単調関数 の系「狭義単調関数の逆関数の連続性」）。$x>-1/e$ なら $W_0(x)>-1$ なので $g'(W_0(x))\neq0$ であり、逆関数の微分法から $W_0'(x)=1/g'(W_0(x))$ である。$x\neq0$ では $W_0(x)\neq0$ で、$W_0(x)e^{W_0(x)}=x$ から $e^{W_0(x)}=x/W_0(x)$ を代入すると 2 つ目の式になる。$W_0(0)=0$ なので $W_0'(0)=1/g'(0)=1$ である。$W_{-1}$ も同様である。$\square$

段 1（解がちょうど 1 つ）．$\lvert w\rvert=1$ では $\lvert g(w)\rvert=\lvert w\rvert e^{\operatorname{Re}w}\ge e^{-1}$ である。$\lvert x\rvert<1/e$ なら円周上で $\lvert(g(w)-x)-g(w)\rvert=\lvert x\rvert<\lvert g(w)\rvert$ なので、Rouchéの定理 の定理「Rouché の定理」により、$g-x$ と $g$ は円板 $\lvert w\rvert<1$ の中に重複を込めて同じ個数の零点をもつ。$g$ の零点は $w=0$ だけで、$g'(0)=1$ より 1 位なので、$g-x$ も円板の中にちょうど 1 つの 1 位の零点 $\omega(x)$ をもつ。
段 2（解を積分で書く）．関数 $wg'(w)/(g(w)-x)$ は、円板 $\lvert w\rvert<1$ の中では $\omega(x)$ だけに 1 位の極をもち、$g'(\omega(x))\neq0$ なので留数は $\omega(x)g'(\omega(x))/g'(\omega(x))=\omega(x)$ である（留数定理 の命題「極における留数の公式」の 2）。$g-x$ の零点は有界な集合の中に有限個しかなく、円周上にはないので、留数定理 の系「円周に沿う留数定理」から
$$ \omega(x)=\frac1{2\pi i}\oint_{\lvert w\rvert=1}\frac{wg'(w)}{g(w)-x}\,dw $$
である。
段 3（等比級数に展開する）．円周上で $\lvert x/g(w)\rvert\le e\lvert x\rvert<1$ なので
$$ \frac1{g(w)-x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{g(w)^{k+1}} $$
は円周上で一様に収束し、項別に積分できる。よって $\omega(x)=\sum_{k\ge0}c_kx^k$、$c_k:=\frac1{2\pi i}\oint_{\lvert w\rvert=1}\frac{wg'(w)}{g(w)^{k+1}}\,dw$ である。
段 4（係数を計算する）．$k=0$ では $wg'(w)/g(w)=1+w$ は正則なので $c_0=0$ である。$k\ge1$ では $\frac{d}{dw}g(w)^{-k}=-kg'(w)g(w)^{-k-1}$ と積の微分から
$$ \frac{wg'(w)}{g(w)^{k+1}}=-\frac1k\,w\frac{d}{dw}g(w)^{-k}=-\frac1k\frac{d}{dw}\bigl(wg(w)^{-k}\bigr)+\frac1kg(w)^{-k} $$
である。円周の近くで正則な関数の導関数の閉曲線に沿う積分は $0$ なので、
$$ c_k=\frac1k\cdot\frac1{2\pi i}\oint_{\lvert w\rvert=1}\frac{e^{-kw}}{w^k}\,dw=\frac1k\cdot\frac{(-k)^{k-1}}{(k-1)!}=\frac{(-k)^{k-1}}{k!} $$
である。真ん中の等号は、被積分関数の $w=0$ での留数が $e^{-kw}=\sum_j(-k)^jw^j/j!$ の $w^{k-1}$ の係数であることによる。
段 5（収束半径と実数の場合）．$a_n:=(-n)^{n-1}/n!$ とおくと $\lvert a_{n+1}/a_n\rvert=(n+1)^{n-1}/n^{n-1}=(1+1/n)^{n-1}\to e$ なので、収束半径は $1/e$ である。$x$ が実数なら、$\overline{\omega(x)}$ も $we^w=x$ の円板内の解なので、一意性から $\omega(x)$ は実数である。$-1/e< x<1/e$ の実数解のうち $W_{-1}(x)$ は $-1$ 以下で円板の外にあり、$W_0(x)$ は $-1< W_0(x)< W_0(1/e)<1$ を満たす（$g(1)=e>1/e$ と単調性）。よって $\omega(x)=W_0(x)$ である。$\square$

$w:=W_0(x)$ とおく。$W_0(e)=1$ と単調性から $x\ge e$ で $w\ge1$ である。$we^w=x$ の対数をとって $w+\log w=\log x$ である。$\log w\ge0$ なので $w\le\log x$ であり、すると $\log w\le\log\log x$ なので $w=\log x-\log w\ge\log x-\log\log x$ である。さらに
$$ w-(\log x-\log\log x)=\log\log x-\log w=\log\frac{\log x}{w}=\log\Bigl(1+\frac{\log w}{w}\Bigr) $$
であり、$x\to\infty$ で $w\to\infty$（$W_0$ は狭義増加で上に有界でない）なので $\log w/w\to0$、右辺は $0$ に近づく。$\square$

$e^x\neq0$、$a\neq0$ なので、$e^x=ax$ は $xe^{-x}=1/a$、すなわち $(-x)e^{-x}=-1/a$ と同値である。よって $w=-x$ が $we^w=-1/a$ の実数解であることと同値であり、thm-lw-real の 2 から解は $W_0(-1/a)$ と（$-1/e<-1/a<0$ のとき）$W_{-1}(-1/a)$ である。$a<0$ なら $-1/a>0$ で解は 1 つ、$0< a< e$ なら $-1/a<-1/e$ で解はなく、$a=e$ なら $-1/a=-1/e$ で $w=-1$ だけ、$a>e$ なら $-1/e<-1/a<0$ で 2 つである。$\square$