Lichnerowicz–小畠の定理

$M$ が向き付け可能でなければ、向き付けの二重被覆に計量と $f$ を引き戻す。被覆写像は局所等長写像なので、Ricci 曲率の条件、Laplacian、Hessian は保たれ、引き戻した $f$ は同じ固有値の固有関数である。そこで $M$ は向き付けられているとしてよい（被覆が連結でなくても以下の議論は通る）。
$f$ を固有値 $\lambda>0$ の固有関数とし、Bochnerの方法 の定理「Bochner の公式」を 1 次形式 $\alpha=df$ に当てはめる。$d\alpha=0$、$\alpha^\sharp=\operatorname{grad}f$ で、同じ記事の補題「外微分・余微分と共変微分」の 2 により $d^*\alpha=-\operatorname{div}\operatorname{grad}f=-\Delta f$ である。また $(\nabla_{e_i}\alpha)(e_j)=\nabla^2f(e_i,e_j)$ なので $|\nabla\alpha|^2=|\nabla^2f|^2:=\sum_{i,j}\nabla^2f(e_i,e_j)^2$ である。よって
$$ \int_M(\Delta f)^2=\int_M|\nabla^2f|^2+\int_M\mathrm{Ric}(\operatorname{grad}f,\operatorname{grad}f).\qquad(1) $$
各点で対称行列 $H=(\nabla^2f(e_i,e_j))$ に Cauchy–Schwarz の不等式を使うと
$$ (\Delta f)^2=(\operatorname{tr}H)^2\le n\operatorname{tr}(H^2)=n|\nabla^2f|^2\qquad(2) $$
であり、等号は $H$ が単位行列の定数倍のとき、すなわち $\nabla^2f=\frac1n(\Delta f)g$ のときに限る。(1) に $\Delta f=-\lambda f$、(2)、Ricci 曲率の条件、$\int|\operatorname{grad}f|^2=\lambda\int f^2$ を代入すると
$$ \lambda^2\int_Mf^2\ \ge\ \frac{\lambda^2}n\int_Mf^2+(n-1)\kappa\lambda\int_Mf^2 $$
となる。$\lambda\int f^2>0$ で割ると $\lambda(1-\frac1n)\ge(n-1)\kappa$、すなわち $\lambda\ge n\kappa$ である（$n\ge2$ を使った）。
$\lambda=n\kappa$ なら上の不等式は等式なので、(2) を積分した不等式も等式である。(2) の両辺の差は非負の連続関数なので恒等的に $0$ で、各点で $\nabla^2f=\frac1n(\Delta f)g=-\frac\lambda nfg=-\kappa fg$ である。$\square$

1：接ベクトル $Y$ について $Y(|\operatorname{grad}f|^2+f^2)=2\nabla^2f(Y,\operatorname{grad}f)+2f\,Yf=-2f\,g(Y,\operatorname{grad}f)+2f\,Yf=0$ なので、連結な $M$ 上で定数 $c$ である。$c=0$ なら $f=0$ となり仮定に反するので $c>0$ で、方程式は線形なので $f/\sqrt c$ に替えてよい。
単位速さの測地線 $\gamma$ に沿って $h(t):=f(\gamma(t))$ とおくと、$h'=g(\operatorname{grad}f,\dot\gamma)$、$h''=\nabla^2f(\dot\gamma,\dot\gamma)=-h$ である。$M$ は完備なので、測地線はすべての $t\in\mathbb R$ で定義される（Hopf–Rinowの定理）。
2：$f$ は定数でないので $\operatorname{grad}f(q_0)\ne0$ となる点 $q_0$ がある。$\dot\gamma(0)=\operatorname{grad}f(q_0)/|\operatorname{grad}f(q_0)|$ とすると $h(0)=f(q_0)$、$h'(0)=|\operatorname{grad}f(q_0)|>0$ で、1 から $h(0)^2+h'(0)^2=1$ なので、$\cos t_0=f(q_0)$、$\sin t_0=|\operatorname{grad}f(q_0)|$ となる $t_0\in(0,\pi)$ がある。$h(t)=\cos(t-t_0)$ なので $p:=\gamma(t_0)$ で $f(p)=1$ である。
3：1 から $\operatorname{grad}f(p)=0$ なので $h(0)=1$、$h'(0)=0$ で、$h(t)=\cos t$ である。$E(t):=\operatorname{grad}f+\sin t\,\dot\gamma$ とおくと、$D_tE=\nabla_{\dot\gamma}\operatorname{grad}f+\cos t\,\dot\gamma=-f(\gamma(t))\dot\gamma+\cos t\,\dot\gamma=0$、$E(0)=0$ なので $E\equiv0$ である。
4：$X:=\operatorname{grad}f$ は $\nabla_YX=-fY$ を満たすので、ベクトル場 $Y,Z$ について捩れのない条件から
$$ R(Y,Z)X=\nabla_Y(-fZ)-\nabla_Z(-fY)+f[Y,Z]=-(Yf)Z+(Zf)Y=-g(X,Y)Z+g(X,Z)Y $$
である（両辺はテンソルなので各点の接ベクトルについても成り立つ）。$\gamma(t)$ で $Z=\dot\gamma$、$X=-\sin t\,\dot\gamma$ を代入すると $-\sin t\,R(Y,\dot\gamma)\dot\gamma=\sin t\,(g(\dot\gamma,Y)\dot\gamma-Y)$ となり、$\sin t\ne0$ で割ればよい。
5：$J(t):=(d\exp_p)_{tv}(tw)$ は $J(0)=0$、$J'(0)=w$ の Jacobi 場である（Jacobi場 の定理「Jacobi場は測地線による変分から生じる」の 2）。$w\perp v$ なので、同じ記事の命題「接成分と法成分への分解」の 4 により $J$ は各点で $\dot\gamma$ に直交し、4 から $0< t<\pi$ で $J''=-R(J,\dot\gamma)\dot\gamma=-J$ である。$J$ は滑らかなので $t=0$ でも $J''+J=0$ が成り立つ。平行な正規直交枠で成分をとると、$J$ と $\sin t\,W$ は $[0,\pi)$ で同じ線形常微分方程式と同じ初期値 $(0,w)$ をもつので一致する。$\square$

要点：一致する点と微分の集合が開かつ閉であることを、局所等長写像が測地線を測地線に写すことから示す。

$\kappa=1$ とし、lem-lo-radial の 1 の正規化をした $f$ と、2 の点 $p$ をとる。
段 1（球面の側）．単位球面 $S^n\subset\mathbb R^{n+1}$ と北極 $N=(0,\dots,0,1)$ をとる。ex-lo-sphere により $f_S:=x_{n+1}$ は $\nabla^2f_S=-f_Sg_S$ を満たし、$f_S(N)=1$、$|\operatorname{grad}f_S|^2+f_S^2=1$ なので、lem-lo-radial は $(S^n,f_S,N)$ にも当てはまる。$\exp_N(tv)=\cos t\,N+\sin t\,v$ なので、$\exp_N$ は $B_\pi(0)\subset T_NS^n$ を $S^n\setminus\{-N\}$ に全単射で写し、lem-lo-radial の 5 により局所微分同相なので、微分同相である。
段 2（北半分の写像）．線形な等長写像 $\iota\colon T_NS^n\to T_pM$ を 1 つ選び、
$$ \Phi_1:=\exp_p\circ\iota\circ(\exp_N|_{B_\pi(0)})^{-1}\colon S^n\setminus\{-N\}\to M $$
とおく。$v\in T_NS^n$ を単位ベクトル、$\sigma(t)=\exp_N(tv)$、$\gamma(t)=\exp_p(t\iota v)$ とし、$\sigma,\gamma$ に沿う $0$ から $t$ への平行移動を $P_\sigma^t,P_\gamma^t$ と書く。$0< t<\pi$ のとき、$\dot\sigma(t)$ と $P_\sigma^te$（$e$ は $v^\perp$ の正規直交基底を動く）は $T_{\sigma(t)}S^n$ の正規直交基底で、lem-lo-radial の 5 を両側に使うと $d\Phi_1$ はそれぞれを $\dot\gamma(t)$、$P_\gamma^t(\iota e)$ に写す。これも正規直交系なので、$d\Phi_1$ は $\sigma(t)$ で内積を保ち、
$$ (d\Phi_1)_{\sigma(t)}=P_\gamma^t\circ\iota\circ(P_\sigma^t)^{-1}\qquad(3) $$
である。$N$ では $(d\Phi_1)_N=\iota$ である。よって $\Phi_1$ は局所等長写像である。
段 3（南極にあたる点）．lem-lo-radial の 3 により $f\circ\Phi_1(\exp_N(tv))=\cos t$ である。（a）$\Phi_1$ は単射である。実際 $\Phi_1(\exp_Ntv)=\Phi_1(\exp_Nt'v')$（$0\le t,t'<\pi$）なら $\cos t=\cos t'$ から $t=t'$ で、$t>0$ なら同じ点での $\operatorname{grad}f$ を 3 で 2 通りに書いて $\sin t\ne0$ で割ると、2 本の測地線 $\exp_p(s\iota v)$、$\exp_p(s\iota v')$ の $s=t$ での速度が一致するので、測地線の一意性から $v=v'$ である。（b）$f\circ\Phi_1>-1$ である。（c）$f(q')=-1$ となる点 $q'$ は孤立している。実際 $-f$ も同じ方程式を満たし $q'$ で最大値 $1$ をとるので、lem-lo-radial の 3 を $-f$ と $q'$ に使い、$0< d(q',x)<\pi$ となる $x$ と $q'$ を最短測地線で結ぶと（Hopf–Rinowの定理）、$f(x)=-\cos d(q',x)>-1$ である。$T_pM$ の単位球面は $n\ge2$ なので連結で、その上の連続写像 $v\mapsto\exp_p(\pi v)$ は値を孤立点からなる集合 $f^{-1}(-1)$ にとるので定数である。その値を $q$ とすると、$p$ から出る単位速さの測地線はすべて $t=\pi$ で $q$ を通る。
段 4（南半分の写像と貼り合わせ）．南極 $-N$ と $q$ を中心に段 1・2 と同じ写像 $\Phi_2\colon S^n\setminus\{N\}\to M$ を作り、平行移動で基準の等長写像を合わせると、$\Phi_2$ は $\Phi_1$ と 1 点で値と微分が一致するので、lem-lo-rigidity により $S^n\setminus\{N,-N\}$ で一致する。こうして局所等長写像 $\Phi:=\Phi_1\cup\Phi_2\colon S^n\to M$ が得られ、$\Phi(-N)=q$ である。

$n\kappa$ が固有値ならその固有関数 $f$ は thm-lo-lichnerowicz により $\nabla^2f=-\kappa fg$ を満たし、固有値が正なので定数でない。コンパクトな Riemann 多様体は完備なので（Hopf–Rinowの定理 の系「コンパクトなリーマン多様体は完備」）、thm-lo-obata により $M$ は $S^n(1/\sqrt\kappa)$ と等長である。逆は ex-lo-sphere による。$\square$