Lipschitz多様体とSullivanの定理

同義語：Lipschitz多様体Lipschitz manifoldリプシッツ多様体Lipschitz構造Lipschitz structureSullivanの定理Sullivan's theoremLIP多様体Donaldson–Sullivanの定理

概要

Lipschitz多様体とSullivanの定理（Lipschitz manifold and Sullivan's theorem）とは、座標変換が局所的に双 Lipschitz な座標近傍系をもつ位相多様体と、その存在と一意性についての定理である。滑らかな多様体と PL 多様体は Lipschitz 多様体になり、Lipschitz 構造の上では測度 0 の集合や Hausdorff 次元が定まる。Sullivan は、4 次元以外では、すべての位相多様体が Lipschitz 構造をもち、同相な Lipschitz 多様体は Lipschitz 同相であることを示した。PL 構造と違い、障害も分類の自由度もない。4 次元では Donaldson と Sullivan が、Lipschitz 構造をもたない E8 多様体と、同相だが Lipschitz 同相でない多様体の組を示した。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 位相多様体, Lipschitz連続, 多様体の構造の階層

Lipschitz 多様体（Lipschitz manifold）は、座標変換が局所的に双 Lipschitz であるような座標近傍系をもつ位相多様体である。滑らかな多様体と PL 多様体は Lipschitz 多様体になり、Lipschitz 多様体は位相多様体である。Lipschitz 構造があると、測度 $0$ の集合、Hausdorff 次元、有界可測な係数の微分形式など、測度論の道具が多様体の上で意味をもつ。
Sullivan の定理（1979）は、$4$ 次元以外では、この構造が位相多様体につねに存在して本質的に一意であることを述べる。すなわち $n\ne4$ なら、すべての $n$ 次元位相多様体は Lipschitz 構造をもち、同相な $n$ 次元 Lipschitz 多様体は Lipschitz 同相である。PL 構造（Kirby–Siebenmann 不変量が障害）や三角形分割（Manolescu の定理）とは対照的である。$4$ 次元ではこの定理は成り立たず、Donaldson と Sullivan はゲージ理論を使って、Lipschitz 構造をもたない位相多様体と、同相だが Lipschitz 同相でない滑らかな多様体を示した。
この記事では、Sullivan の定理と Donaldson–Sullivan の定理は所在を示して引用する。そのうえで、局所双 Lipschitz 写像が擬群をなすこと、測度 $0$ の集合と Hausdorff 次元が Lipschitz 構造で定まること、原点で微分可能でも区分線形でもない双 Lipschitz 同相写像（対数らせん）の例、Sullivan の定理から従う帰結（PL 構造をもたない Lipschitz 多様体、偽トーラスや異種球面が標準的なものと Lipschitz 同相であること）を完全に証明する。

定義と規約

多様体は Hausdorff かつ第 2 可算とし、断らない限り境界をもたない。$\mathbb{R}^n$ には Euclid 距離 $\lvert x-y\rvert$ を入れる。

Lipschitz 写像と双 Lipschitz 写像

$A\subset\mathbb{R}^n$、$L\ge1$ とし、$f\colon A\to\mathbb{R}^m$ を写像とする。

  1. すべての $x,y\in A$ について $\lvert f(x)-f(y)\rvert\le L\lvert x-y\rvert$ のとき、$f$ は $L$-Lipschitz であるという。
  2. さらに $\lvert f(x)-f(y)\rvert\ge L^{-1}\lvert x-y\rvert$ もみたすとき、$f$ は $L$-双 Lipschitz であるという。
  3. $A$ の各点が、その上への制限が（ある $L$ について）$L$-Lipschitz（$L$-双 Lipschitz）になる近傍をもつとき、$f$ は局所 Lipschitz（局所双 Lipschitz）であるという。
  4. $\mathbb{R}^n$ の開集合のあいだの同相写像で局所双 Lipschitz なものを LIP 同相写像という。

これは TV81 §2.1（p. 304）の定義である。局所 Lipschitz 連続性は Lipschitz連続 の定義「局所的なLipschitz連続性」と同じである。

LIP 同相写像の擬群

$U,V,W\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とする。

  1. 同相写像 $h\colon U\to V$ について、$h$ が局所双 Lipschitz であることと、$h$ と $h^{-1}$ がともに局所 Lipschitz であることは同値である。
  2. LIP 同相写像 $h\colon U\to V$、$k\colon V\to W$ について、$k\circ h$ と $h^{-1}$ は LIP 同相写像である。LIP 同相写像の開集合への制限は LIP 同相写像である。
  3. 同相写像 $h\colon U\to V$ について、$U$ の開被覆 $\{U_i\}$ があって各 $h|_{U_i}\colon U_i\to h(U_i)$ が LIP 同相写像なら、$h$ は LIP 同相写像である。
LIP 同相写像の擬群の証明

要点：どれも各点の近傍での評価を組み合わせるだけである。

詳しい証明を開く

1． $h$ が $x$ の近傍 $N$ で $L$-双 Lipschitz なら、$h$ は $N$ で $L$-Lipschitz で、$h^{-1}$ は $h(N)$（$h$ は同相写像なので $h(x)$ の近傍）で $L$-Lipschitz である。逆に、$h$ と $h^{-1}$ が局所 Lipschitz とする。$x\in U$ について、$h(x)$ の近傍 $N'$ で $h^{-1}$ が $L'$-Lipschitz、$x$ の近傍 $N$ で $h$ が $L$-Lipschitz とする。$N_0:=N\cap h^{-1}(N')$ は $x$ の近傍で、$y,z\in N_0$ について $\lvert y-z\rvert=\lvert h^{-1}(h(y))-h^{-1}(h(z))\rvert\le L'\lvert h(y)-h(z)\rvert$ である。$\max(L,L')$ をとれば $h$ は $N_0$ で双 Lipschitz である。

2． $h$ が $x$ の近傍 $N$ で $L$-双 Lipschitz、$k$ が $h(x)$ の近傍 $N'$ で $L'$-双 Lipschitz なら、$N\cap h^{-1}(N')$ の上で $k\circ h$ は $LL'$-双 Lipschitz である。$h^{-1}$ については 1 の議論で、制限については定義から明らかである。

3． 局所双 Lipschitz は各点の近傍についての条件なので、定義から明らかである。$\square$

2 と 3 により、LIP 同相写像の全体は擬群をなし、多様体の構造の階層 の定義「座標変換の類と構造」の条件をみたす。

Lipschitz 多様体

$M$ を $n$ 次元位相多様体とする。

  1. $M$ の座標近傍系で、座標変換がすべて LIP 同相写像であるものを LIP アトラスという。極大な LIP アトラスを Lipschitz 構造（LIP 構造）といい、Lipschitz 構造を 1 つ固定した位相多様体を Lipschitz 多様体（LIP 多様体）という。
  2. Lipschitz 多様体のあいだの同相写像 $f\colon M\to N$ が LIP 同相写像であるとは、座標近傍で表した $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ がすべて LIP 同相写像であることをいう。LIP 同相写像があるとき、$M$ と $N$ は Lipschitz 同相であるという。

これは 多様体の構造の階層 の定義「TOP・DIFF・PL・LIP」の LIP 構造と同じもので、TV81 §2.1（p. 305）の定義とも一致する。DS89 §1（p. 181）、Tel83 p. 42 は座標変換に大域的な（双）Lipschitz 条件を課しているが、座標近傍を小さな相対コンパクトなものに取り替えれば局所の条件から大域の条件が出るので、同じ Lipschitz 構造を定める（座標変換の条件は lem-lip-pseudogroup の 1 で言い換えられる）。任意の LIP アトラスは、それを含む Lipschitz 構造をただ 1 つ定める（lem-lip-pseudogroup による。多様体の構造の階層 の命題「座標変換の類の包含と構造」と同じ議論）。
滑らかな構造（一般に $C^1$ 構造）と PL 構造は、それぞれ Lipschitz 構造をただ 1 つ定める（多様体の構造の階層 の命題「$C^1$ 構造は LIP 構造を定める」「PL 構造は LIP 構造を定める」）。以下、滑らかな多様体や PL 多様体は、この Lipschitz 構造で Lipschitz 多様体とみなす。

測度 0 の集合と Hausdorff 次元

$E\subset\mathbb{R}^n$ と $s\ge0$、$\delta>0$ について
$$ \mathcal{H}^s_\delta(E):=\inf\Bigl\{\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^s\ \Big|\ E\subset\bigcup_{i=1}^\infty U_i,\ \operatorname{diam}U_i\le\delta\Bigr\},\qquad\mathcal{H}^s(E):=\lim_{\delta\to0}\mathcal{H}^s_\delta(E) $$
とおく（正規化の定数は省いた。$0$ かどうかと次の次元には影響しない）。$\mathcal{H}^s(E)=0$ となる $s$ の下限を $E$ の Hausdorff 次元 $\dim_{\mathrm H}E$ という（$\mathcal{H}^s(E)=0$ なら $t>s$ で $\mathcal{H}^t(E)=0$ である）。Lebesgue 外測度を $\lambda^*$ と書く。

Lipschitz 写像と測度 0 の集合

$A\subset\mathbb{R}^n$ とし、$f\colon A\to\mathbb{R}^n$ を $L$-Lipschitz 写像とする。$E\subset A$ について次が成り立つ。

  1. $\lambda^*(E)=0$ なら $\lambda^*(f(E))=0$ である。
  2. すべての $s\ge0$ について $\mathcal{H}^s(f(E))\le L^s\mathcal{H}^s(E)$ である。とくに $\dim_{\mathrm H}f(E)\le\dim_{\mathrm H}E$ である。
    $f$ が局所 Lipschitz のときも、1 と「$\dim_{\mathrm H}f(E)\le\dim_{\mathrm H}E$」は成り立つ。
Lipschitz 写像と測度 0 の集合の証明

1． $\varepsilon>0$ とする。$\lambda^*(E)=0$ なので、辺の長さ $r_i$ の閉立方体 $Q_i$ で $E\subset\bigcup_iQ_i$、$\sum_ir_i^n<\varepsilon$ となるものがある。$E\cap Q_i\ne\emptyset$ のとき $x_i\in E\cap Q_i$ を選ぶ。$x\in E\cap Q_i$ について $\lvert x-x_i\rvert\le\sqrt n\,r_i$ なので $\lvert f(x)-f(x_i)\rvert\le L\sqrt n\,r_i$ であり、$f(E\cap Q_i)$ は $f(x_i)$ を中心とする辺 $2L\sqrt n\,r_i$ の立方体に含まれる。よって
$$ \lambda^*(f(E))\le\sum_i(2L\sqrt n\,r_i)^n<(2L\sqrt n)^n\varepsilon $$
で、$\varepsilon$ は任意なので $\lambda^*(f(E))=0$ である。
2． $E\subset\bigcup_iU_i$、$\operatorname{diam}U_i\le\delta$ とすると、$f(E)\subset\bigcup_if(E\cap U_i)$ で $\operatorname{diam}f(E\cap U_i)\le L\operatorname{diam}U_i\le L\delta$ である。よって $\mathcal{H}^s_{L\delta}(f(E))\le L^s\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^s$ で、右辺の下限をとって $\mathcal{H}^s_{L\delta}(f(E))\le L^s\mathcal{H}^s_\delta(E)$、$\delta\to0$ として $\mathcal{H}^s(f(E))\le L^s\mathcal{H}^s(E)$ を得る。$s>\dim_{\mathrm H}E$ なら $\mathcal{H}^s(E)=0$ なので $\mathcal{H}^s(f(E))=0$ で、$\dim_{\mathrm H}f(E)\le s$ である。
局所 Lipschitz の場合。 $A$ の各点は $f$ が Lipschitz になる相対開近傍をもち、$\mathbb{R}^n$ は第 2 可算なので、そのうち可算個 $A_1,A_2,\dots$ で $A$ が覆われる。$f(E)=\bigcup_kf(E\cap A_k)$ で、測度 $0$ の集合の可算和は測度 $0$、$\mathcal{H}^s$ は可算劣加法的なので、各 $A_k$ での結論から全体の結論が従う。$\square$

測度 0 と Hausdorff 次元は Lipschitz 構造で定まる

$M$ を $n$ 次元 Lipschitz 多様体とし、$E\subset M$ とする。

  1. Lipschitz 構造のある座標近傍系 $\{(U_i,\varphi_i)\}$ について、すべての $i$ で $\lambda^*(\varphi_i(E\cap U_i))=0$ なら、Lipschitz 構造のすべての座標近傍 $(U,\varphi)$ について $\lambda^*(\varphi(E\cap U))=0$ である。このとき $E$ は測度 $0$ であるという。
  2. $\dim_{\mathrm H}E:=\sup_{(U,\varphi)}\dim_{\mathrm H}\varphi(E\cap U)$（Lipschitz 構造のすべての座標近傍についての上限）は、座標近傍系 $\{(U_i,\varphi_i)\}$ についての上限 $\sup_i\dim_{\mathrm H}\varphi_i(E\cap U_i)$ に等しい。
  3. LIP 同相写像 $f\colon M\to N$ は測度 $0$ の集合を測度 $0$ の集合に移し、Hausdorff 次元を保つ。

要点：座標変換は LIP 同相写像なので、prop-lip-null により座標をとり替えても測度 $0$ と Hausdorff 次元は変わらない。

詳しい証明を開く

1． $M$ は第 2 可算なので、$\{U_i\}$ から可算個を選んで $M$ を覆える。$(U,\varphi)$ を Lipschitz 構造の座標近傍とする。$\varphi(E\cap U)=\bigcup_i\varphi(E\cap U\cap U_i)$（$i$ は選んだ可算個）で、$\varphi(E\cap U\cap U_i)$ は座標変換 $\varphi\circ\varphi_i^{-1}$（LIP 同相写像）による $\varphi_i(E\cap U\cap U_i)$ の像である。後者は $\varphi_i(E\cap U_i)$ に含まれるので測度 $0$ で、prop-lip-null の 1（局所 Lipschitz の場合）により前者も測度 $0$ である。測度 $0$ の集合の可算和なので $\varphi(E\cap U)$ は測度 $0$ である。

2． 座標近傍系についての上限は、すべての座標近傍についての上限以下である。逆向きの不等式は、1 と同じ分解、prop-lip-null の 2（局所 Lipschitz の場合）、および可算和の Hausdorff 次元が各成分の次元の上限であること（$\mathcal{H}^s$ の可算劣加法性から従う）による。

3． $f$ を座標近傍で表すと LIP 同相写像なので、prop-lip-null を $f$ と $f^{-1}$ の両方に当てはめればよい。$\square$

Sullivan の定理（下の thm-lip-sullivan）と合わせると、$4$ 次元以外の位相多様体では、測度 $0$ の集合と Hausdorff 次元が「Lipschitz 同相写像で保たれる概念」として定まる。位相だけではこれらは定まらない（ex-lip-cantor）。Sul79 の結びの節（p. 550）は、Hausdorff 測度と次元、一般の位置、Whitney の平坦形式による微分形式とカレントの理論が、Lipschitz 構造の上で展開できることを述べている。

Sullivan の定理

Sullivan の定理

$n\ne4$ とする。

  1. 存在：境界のない $n$ 次元位相多様体は Lipschitz 構造をもつ。
  2. 近似と一意性：$M$、$N$ を境界のない $n$ 次元 Lipschitz 多様体、$d$ を $N$ の位相を定める距離、$f\colon M\to N$ を同相写像、$\varepsilon\colon M\to(0,\infty)$ を連続関数とする。このとき LIP 同相写像 $g\colon M\to N$ で、すべての $x\in M$ について $d(f(x),g(x))<\varepsilon(x)$ となるものがある。とくに、同相な $n$ 次元 Lipschitz 多様体は Lipschitz 同相である。

これは Sullivan（1979）の定理で、Sul79 Theorem 2・Corollary 2・Corollary 3（p. 549）による。Sul79 は証明の筋だけを述べており、詳しい証明は TV81 Theorem 4.4（p. 320）、Corollary 4.5・Theorem 4.6（p. 321）にある。この記事では証明しない。TV81 Theorem 4.8（p. 322）は、境界付きの多様体についても $n\ne4,5$ で同じことが成り立つとしている。$n\le3$ では PL の方法でも得られる（TV81 §1、p. 303）。一意性は「Lipschitz 版の基本予想」であり、PL 版の基本予想が成り立たないこととの違いは Siebenmann が指摘していた（Sul79 p. 550 の脚注）。Tel83 の序文（p. 39）も、この定理を「$4$ 次元以外の位相多様体は Lipschitz 構造をもち、恒等写像に近い Lipschitz 同相写像を除いて一意」という形で紹介している。

証明の方針

$5$ 次元以上の PL 構造の理論（Kirby の torus trick。アニュラス予想と安定同相定理）では、Euclid 空間の同相写像をトーラス $T^n$ の同相写像に持ち上げ、PL 構造の問題に帰着する。Sullivan は、トーラスの代わりに、双曲空間を普遍被覆にもつコンパクトな多様体（双曲空間形）で、有限被覆が 1 点を除いて平行化可能なものを使う（Sul79 pp. 544–546、pp. 553–554）。単位球体 $B^n$ の Euclid 幾何と双曲幾何は等角に同値で、双曲空間の擬等長写像で恒等写像から有界な距離にあるものは、$B^n$ の Lipschitz 同相写像で境界で恒等写像になるものを定める（Sul79 p. 544）。これで $k$ ハンドルの上の同相写像を Lipschitz 同相写像に取り替える操作ができ、細かいハンドル分解に沿って帰納的に適用する（Sul79 pp. 546–549）。$4$ 次元で成り立たないのは、$4$ 次元の球体の同相写像を Lipschitz 同相写像で近似する段である（DS89 pp. 182–183）。

4 次元

Donaldson–Sullivan の定理
  1. Lipschitz 構造をもたない単連結な閉 $4$ 次元位相多様体がある。たとえば E8多様体 は Lipschitz 構造をもたない。
  2. 同相だが Lipschitz 同相でない、滑らかな閉 $4$ 次元多様体の組がある。たとえば Barlow 曲面と $\mathbb{C}P^2\#8\overline{\mathbb{C}P^2}$ である。

これは Donaldson–Sullivan（1989）の定理である。DS89 は擬等角構造について Theorem 1・2（p. 182）を示し、Lipschitz 構造についての主張はその自明な帰結であると述べている（同所）。局所双 Lipschitz な同相写像は擬等角なので、Lipschitz 多様体は擬等角多様体だからである（TV81 §2.1、p. 305）。1 の例は DS89 §7 (ii)（p. 237）による：交叉形式が負定値で偶で $-2$ を表す単連結な閉 $4$ 次元多様体は擬等角構造をもたず、向きを反転した $E_8$ 多様体がその例である。向きは Lipschitz 構造に関係しないので、$E_8$ 多様体も Lipschitz 構造をもたない。2 の例は DS89 §7 (iii)（pp. 238–239）で、Kotschick の不変量が擬等角同相で保たれることによる。この記事では証明しない。
したがって $4$ 次元では、Lipschitz 構造は位相多様体の構造よりも滑らかな構造に近いふるまいをする。

Sullivan の定理からの帰結

Sullivan の定理の帰結

$n\ge5$ とする。

  1. PL 構造をもたない閉 $n$ 次元 Lipschitz 多様体がある。
  2. 三角形分割をもたない閉 $n$ 次元 Lipschitz 多様体がある。
  3. $n$ 次元 PL 多様体 $P$、$P'$ が同相なら、定まる Lipschitz 構造について $P$ と $P'$ は Lipschitz 同相である。とくに $T^n$ と同相で PL 同相でない PL 多様体（偽トーラス）は、$T^n$ と Lipschitz 同相である。
  4. $n$ 次元の滑らかな多様体 $X$、$X'$ が同相なら、定まる Lipschitz 構造について $X$ と $X'$ は Lipschitz 同相である。とくに異種球面は標準的な球面と Lipschitz 同相である。
Sullivan の定理の帰結の証明

1． $V$ を E8多様体 とし、$M:=V\times T^{n-4}$ とおく。$M$ は閉 $n$ 次元位相多様体で、PL 構造をもたない（Kirby–Siebenmann不変量 の命題「$E_8$ 多様体と Euclid 空間・トーラスの積」の 2）。$n\ne4$ なので thm-lip-sullivan の 1 により $M$ は Lipschitz 構造をもつ。
2． 三角形分割予想とManolescuの定理 の定理「Manolescu の定理」により、三角形分割をもたない閉 $n$ 次元位相多様体 $M$ がある。thm-lip-sullivan の 1 により $M$ は Lipschitz 構造をもつ。
3． PL 構造は Lipschitz 構造を定める（多様体の構造の階層 の命題「PL 構造は LIP 構造を定める」）ので、$P$ と $P'$ は $n$ 次元 Lipschitz 多様体である。同相写像 $f\colon P\to P'$ に thm-lip-sullivan の 2 を当てはめると、LIP 同相写像 $g\colon P\to P'$ が得られる。$n\ge5$ では $T^n$ と同相で PL 同相でない PL 多様体があり（Kirby–Siebenmann不変量 の例「5 次元の偽トーラス」が引く対応で、$\Lambda^{n-3}\mathbb{Z}^n\otimes\mathbb{Z}/2$ の $0$ でない軌道にあたるもの）、それに当てはめれば後半を得る。
4． 滑らかな構造は Lipschitz 構造を定める（多様体の構造の階層 の命題「$C^1$ 構造は LIP 構造を定める」）ので、3 と同じ議論が使える。異種球面は定義により標準的な球面と同相である（異種球面）。$\square$

構造ごとに比べると次のようになる。$n\ge5$ の閉多様体について、PL 構造は $H^4(M;\mathbb{Z}/2)$ の障害をもち $H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ で数えられる（Kirby–Siebenmann不変量）。三角形分割は障害 $\delta\kappa(M)$ をもつ（三角形分割予想とManolescuの定理）。これに対して Lipschitz 構造には障害も分類の自由度もない。

構造（$n\ge5$）存在の障害一意性
滑らかな構造接束の分類写像 $M\to B\mathrm{TOP}$ を $B\mathrm{O}$ に持ち上げる障害（平滑化理論）一意でない（異種球面）
PL 構造$\kappa(M)\in H^4(M;\mathbb{Z}/2)$$H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ で数える
三角形分割$\delta\kappa(M)\in H^5(M;\ker\mu)$一意でない
Lipschitz 構造なし一意

例

Lipschitz 構造が滑らかな構造や PL 構造よりどれだけ粗いかを、平面の同相写像で見る。$R_\theta$ を角 $\theta$ の回転とし、$\varphi:=(1+\sqrt5)/2$ とおく。

対数らせん

$S\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ を $S(0)=0$、$x\ne0$ で $S(x)=R_{\log\lvert x\rvert}(x)$ と定める。

  1. $S$ は $\varphi$-双 Lipschitz な同相写像である。
  2. $S$ は原点で微分可能でない。
  3. 原点のどの近傍の上でも、$S$ は区分線形でない。
対数らせんの証明

$S$ は極座標 $(r,\theta)$ で $(r,\theta)\mapsto(r,\theta+\log r)$ と書け、逆写像は $T(x):=R_{-\log\lvert x\rvert}(x)$（$T(0)=0$）である。$\lvert S(x)\rvert=\lvert x\rvert$ なので $S$ と $T$ は原点で連続で、$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ では $C^\infty$ 級なので、$S$ は同相写像である。
1． $x\ne0$ で、$x$ における動径方向・角度方向の単位ベクトルを $e_r,e_\theta$、$S(x)$ におけるものを $e'_r,e'_\theta$ とする。$\partial S/\partial r=e'_r+r\cdot\frac1r\,e'_\theta$、$\frac1r\,\partial S/\partial\theta=e'_\theta$ なので、微分は
$$ dS_x(a\,e_r+b\,e_\theta)=a\,e'_r+(a+b)\,e'_\theta $$
である。$a^2+b^2=1$ のとき $\lvert dS_x(a e_r+b e_\theta)\rvert^2=a^2+(a+b)^2$ で、これは対称行列 $\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ の二次形式なので、最大値はその最大固有値 $(3+\sqrt5)/2=\varphi^2$ である。よって作用素ノルムは $\|dS_x\|=\varphi$ である。$T$ については $dT(a e_r+b e_\theta)=a e'_r+(b-a)e'_\theta$ で、行列 $\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ の固有値は同じなので、$\|dT_y\|=\varphi$ である。
$x,y\in\mathbb{R}^2$ とする。線分 $[x,y]$ が原点を通らなければ、$S$ はその近傍で $C^1$ 級なので
$$ \lvert S(x)-S(y)\rvert=\Bigl\lvert\int_0^1dS_{y+t(x-y)}(x-y)\,dt\Bigr\rvert\le\varphi\lvert x-y\rvert $$
である。原点を通るなら、原点は $x$ と $y$ のあいだにあるので $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert=\lvert x-y\rvert$ で、$\lvert S(x)-S(y)\rvert\le\lvert S(x)\rvert+\lvert S(y)\rvert=\lvert x\rvert+\lvert y\rvert=\lvert x-y\rvert\le\varphi\lvert x-y\rvert$ である。よって $S$ は $\varphi$-Lipschitz で、同じ議論で $T=S^{-1}$ も $\varphi$-Lipschitz である。$\lvert x-y\rvert=\lvert T(S(x))-T(S(y))\rvert\le\varphi\lvert S(x)-S(y)\rvert$ なので、$S$ は $\varphi$-双 Lipschitz である。
2． $e_1=(1,0)$ とし $t>0$ とすると、$S(te_1)/t=R_{\log t}(e_1)=(\cos\log t,\sin\log t)$ である。$t\to+0$ で $\log t$ は $-\infty$ に向かうので、これは収束しない。$S$ が原点で微分可能なら $S(te_1)/t\to dS_0(e_1)$ となるはずなので、微分可能でない。
3． 原点の近傍 $U$ が有限個の単体 $\Delta_1,\dots,\Delta_q$ の和で、$S$ が各 $\Delta_j$ の上でアフィン写像の制限であるとする。ある $t_0>0$ で $te_1\in U$（$0< t\le t_0$）なので、ある $j$ について $\Delta_j$ は $0$ に収束する列 $t_ke_1$ を含む。$\Delta_j$ は閉集合なので $0\in\Delta_j$ で、凸なので線分 $\{te_1\mid0\le t\le t_1\}$ を含む。$S$ は $\Delta_j$ でアフィンで $S(0)=0$ なので、$0< t\le t_1$ で $S(te_1)=\frac{t}{t_1}S(t_1e_1)$ となり、$S(te_1)/t$ は一定になる。これは 2 の計算に反する。$\square$

$S$ は $\mathbb{R}^2$ の標準的な Lipschitz 構造の LIP 同相写像だが、微分同相写像でも PL 同相写像でもない。たとえば $\mathbb{R}^2$ の標準的な座標 $\mathrm{id}$ と座標 $S$ は同じ Lipschitz 構造に属するが、$C^1$ 級でも PL でも両立しない。PL 同相写像は各点の近くで錐的で、原点を通る半直線を半直線に移すが、$S$ は半直線を原点のまわりを無限回まわる対数らせんに移す。

測度 0 の集合は位相だけでは定まらない

$[0,1]$ の中の Cantor 集合 $C$（各段で残った区間の中央の $1/3$ を除く）と、太い Cantor 集合 $C'$（第 $k$ 段で残った $2^{k-1}$ 個の区間それぞれの中央から長さ $4^{-k}$ の開区間を除く）を考える。$\lambda(C)=0$ で、$C'$ で除いた長さの和は $\sum_k2^{k-1}4^{-k}=1/2$ なので $\lambda(C')=1/2$ である。$[0,1]$ の増加な同相写像 $h$ で $h(C')=C$ となるものがある。

h の構成を開く

どちらの構成でも、除く開区間は同じ形の二分木で番号づけられ（第 $k$ 段に $2^{k-1}$ 個）、左右の順序も同じである。$C'$ の側の各開区間を $C$ の側の同じ番号の開区間に、増加なアフィン写像で写す。こうして除いた開区間の和 $D'$ から $D$ への増加な全単射 $h_0$ ができる。$D$、$D'$ はそれぞれ $[0,1]$ で稠密である（Cantor 集合は内点をもたない。$C'$ も各段で残る区間の長さが $0$ に近づくので内点をもたない）。$h(x):=\sup\{h_0(y)\mid y\in D',\ y\le x\}$（$\sup\emptyset:=0$）と定めると、$h$ は増加で、像が稠密な $D$ を含むので跳びがなく連続である。逆向きに同じ構成をした写像が逆写像になるので、$h$ は同相写像で、$h(D')=D$ から $h(C')=C$ である。

同相写像 $h$ は測度 $1/2$ の集合を測度 $0$ の集合に移す。cor-lip-null の 3 により $h$ は双 Lipschitz でありえず、$\{(\mathbb{R},\mathrm{id}),(\mathbb{R},\tilde h)\}$（$\tilde h$ は $h$ を $\mathbb{R}$ の同相写像に延ばしたもの）は位相多様体のアトラスだが Lipschitz アトラスではない。「測度 $0$」は位相多様体の上では定まらず、Lipschitz 構造を選んで初めて定まる。

反例

外す条件反例成り立たなくなること
次元が $4$ でない（存在）$E_8$ 多様体位相多様体は Lipschitz 構造をもつ
次元が $4$ でない（一意性）Barlow 曲面と $\mathbb{C}P^2\#8\overline{\mathbb{C}P^2}$同相な Lipschitz 多様体は Lipschitz 同相
Lipschitz 同相（同相写像に弱める）ex-lip-cantor の $h$測度 $0$ の集合を測度 $0$ の集合に移す
PL 同相（Lipschitz 同相に弱める）prop-lip-spiral の $S$原点を通る半直線を、原点の近くで半直線に移す
PL 構造（Lipschitz 構造に弱める）$V\times T^{n-4}$（$n\ge5$）Kirby–Siebenmann 不変量が $0$
反例の確認

1・2 行目は thm-lip-ds による。$4$ 次元では thm-lip-sullivan の存在も一意性も成り立たない。
3 行目は ex-lip-cantor の後の注意による。破れる条件は、$h$ が（局所）双 Lipschitz であることで、prop-lip-null はこの仮定を使っている。
4 行目：PL 同相写像 $p$ が原点を固定するとき、原点を含む単体の上で $p$ は線形なので、原点の近くで半直線を半直線に移す（prf-lip-spiral の 3 と同じ議論）。$S$ は $\varphi$-双 Lipschitz だがこの性質をもたない。
5 行目：prop-lip-consequences の 1 の証明のとおり、$V\times T^{n-4}$ は Lipschitz 構造をもつが、PL 構造をもたない。PL 多様体の Kirby–Siebenmann 不変量は $0$ である（Kirby–Siebenmann不変量 の命題「κ の基本性質」の 1）が、$\kappa(V\times T^{n-4})\ne0$ である。$\kappa$ は PL 構造の障害であって、Lipschitz 構造の障害ではない。

補足

  • 擬等角構造：局所擬等角な同相写像を座標変換とする擬等角多様体にも、Sullivan の定理と同じ主張が成り立つ（Sul79 Theorem 1・Corollary 1、pp. 547–548、TV81 Corollary 4.5・Theorem 4.6、p. 321）。$4$ 次元では Donaldson–Sullivan がゲージ理論を擬等角多様体の上で展開して thm-lip-ds を示した（DS89 §1、pp. 182–183）。
  • 解析への応用：Lipschitz 多様体の上では、有界可測な係数の微分形式の $L^2$ 空間と外微分が定まり、符号数作用素の指数理論が展開できる（Sul79 pp. 550–551、Tel83 序文、p. 39）。これは有理 Pontryagin 類の位相不変性の解析的な証明につながる。
  • 構造の階層：多様体の構造の階層 の段「LIP と TOP」は、この記事の主定理を指す。

関連項目

参考文献

[1]
Dennis Sullivan, Hyperbolic geometry and homeomorphisms, Geometric Topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), Academic Press, J. C. Cantrell (ed.), Geometric Topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), Academic Press, 1979, pp. 543–555。双曲幾何と Lipschitz 同相写像の注意（p. 544）、双曲空間形による Kirby の方法の置き換えとハンドルの扱い（pp. 544–547）、Theorem 1（p. 547）、Corollary 1（p. 548）、Theorem 2・Corollary 2・Corollary 3（p. 549）、結びの節と脚注（pp. 550–551）、双曲空間形（pp. 553–554）
[2]
Pekka Tukia, Jussi Väisälä, Lipschitz and quasiconformal approximation and extension, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, Series A. I. Mathematica, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, Series A. I. Mathematica 6 (1981), 303–342。§1（p. 303）；§2.1 Lipschitz・双 Lipschitz・局所双 Lipschitz の定義（p. 304）、LIP 多様体は擬等角多様体（p. 305）；Theorem 4.4（p. 320）；Corollary 4.5・Theorem 4.6（p. 321）；Theorem 4.8（p. 322）
[3]
S. K. Donaldson, D. P. Sullivan, Quasiconformal 4-manifolds, Acta Mathematica, Acta Mathematica 163 (1989), 181–252。§1 擬等角・双 Lipschitz の擬群（p. 181）、Theorem 1・2 と Lipschitz の場合（p. 182）、近似の性質が 4 次元で成り立たないこと（pp. 182–183）；§7 (ii)（p. 237）；§7 (iii)（pp. 238–239）
[4]
Nicolae Teleman, The index of signature operators on Lipschitz manifolds, Publications Mathématiques de l'IHÉS, Publications Mathématiques de l'IHÉS 58 (1983), 39–78。序文（p. 39、Sullivan の定理の紹介と Lipschitz 多様体の上の符号数作用素）、p. 42（Lipschitz 構造の定義）

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Lipschitz多様体とSullivanの定理