普遍鎖状環

要点：$A_{\mathfrak p}\to A[X_1,\dots,X_n]_{\mathfrak P}$ は平坦な局所準同型なので、次元は基礎の次元 $\operatorname{ht}\mathfrak p$ と閉ファイバーの次元の和になる。閉ファイバーは体 $\kappa(\mathfrak p)$ 上の多項式環の局所化で、その次元は体上の高さ公式から $n-\operatorname{trdeg}_{\kappa(\mathfrak p)}\kappa(\mathfrak P)$ である。

$\mathfrak P$ で終わる長さ $\operatorname{ht}\mathfrak P$ の鎖と、$\mathfrak P$ から $\mathfrak Q$ への長さ $\operatorname{ht}(\mathfrak Q/\mathfrak P)$ の鎖をつなげば、$\mathfrak Q$ で終わる鎖になるので不等式を得る。等号がつねに成り立つとし、$\mathfrak P_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak P_l$ を飽和鎖とする。飽和なので $\operatorname{ht}(\mathfrak P_{i+1}/\mathfrak P_i)=1$ であり、等号から $\operatorname{ht}\mathfrak P_{i+1}=\operatorname{ht}\mathfrak P_i+1$ である。よって $l=\operatorname{ht}\mathfrak P_l-\operatorname{ht}\mathfrak P_0$ は鎖の取り方によらず、$B$ は鎖状である。$\square$

$A$ が普遍鎖状なら剰余環 $A'=A/\mathfrak p$ も普遍鎖状なので、$A$ が整域で $\mathfrak p=0$ の場合を示せばよい。$B=A[X_1,\dots,X_n]/\mathfrak Q_0$ と表すと、$A\subset B$ なので $\mathfrak Q_0\cap A=0$ である。$\mathfrak Q\in\operatorname{Spec}B$ の $R=A[X_1,\dots,X_n]$ での逆像を $\mathfrak P$、$\mathfrak p'=\mathfrak Q\cap A=\mathfrak P\cap A$ とする。
$R$ は鎖状な整域なので、局所環 $R_{\mathfrak P}$ は鎖状な局所整域であり、$\operatorname{ht}\mathfrak Q_0+\operatorname{ht}(\mathfrak P/\mathfrak Q_0)=\operatorname{ht}\mathfrak P$ が成り立つ（鎖状環 の記事の系「鎖状局所整域の高さの式」）。$\operatorname{ht}\mathfrak Q=\operatorname{ht}(\mathfrak P/\mathfrak Q_0)$ なので、lem-uc-polynomial-height を $\mathfrak P$ と $\mathfrak Q_0$ に使うと
$$ \operatorname{ht}\mathfrak Q=\Bigl(\operatorname{ht}\mathfrak p'+n-\operatorname{trdeg}_{\kappa(\mathfrak p')}\kappa(\mathfrak P)\Bigr)-\Bigl(0+n-\operatorname{trdeg}_{\operatorname{Frac}A}\kappa(\mathfrak Q_0)\Bigr). $$
$\kappa(\mathfrak P)=\kappa(\mathfrak Q)$、$\kappa(\mathfrak Q_0)=\operatorname{Frac}B$ なので、これは次元公式 $\operatorname{ht}\mathfrak Q=\operatorname{ht}\mathfrak p'+\operatorname{trdeg}_AB-\operatorname{trdeg}_{\kappa(\mathfrak p')}\kappa(\mathfrak Q)$ である。$\square$

2 を仮定し、$A$ が普遍鎖状でないとする。鎖状でない有限生成 $A$ 代数があり、その長さの違う二つの飽和鎖の下端 $\mathfrak P_0$ で割ると、鎖状でない有限生成 $A$ 代数の整域 $B$ が得られる（鎖状環 の記事の命題「商と局所化の区間対応」）。$\mathfrak p=\ker(A\to B)$ とし、$A'=A/\mathfrak p\subset B$ とみなす。lem-uc-height-additivity により、$B$ の素イデアル $\mathfrak P\subsetneq\mathfrak Q$ で
$$ \operatorname{ht}\mathfrak Q>h+d,\qquad h=\operatorname{ht}\mathfrak P,\quad d=\operatorname{ht}(\mathfrak Q/\mathfrak P) $$
となるものがある。$B$ は整域なので $h=0$ なら $\mathfrak P=0$ で不等式が成り立たないから、$h\ge1$ である。
段 1（$\mathfrak P$ を $h$ 個の元の上の極小素イデアルにする）．$h$ 次元の局所環 $B_{\mathfrak P}$ のパラメータ系（パラメータ系 の記事の定理「パラメータ系の存在」）の分子を取って、$a_1,\dots,a_h\in\mathfrak P$ で $\mathfrak P$ が $I=(a_1,\dots,a_h)$ の上の極小素イデアルとなるものを選ぶ。$I$ の最小準素分解 $I=\mathfrak q_1\cap\cdots\cap\mathfrak q_r$ を取り（準素分解）、$\mathfrak q_1$ を $\mathfrak P$ 準素の成分とする。$j\ge2$ の $\sqrt{\mathfrak q_j}$ は $I$ を含む $\mathfrak P$ と異なる素イデアルなので、$\mathfrak P$ の極小性から $\mathfrak P$ に含まれない。$\mathfrak Q\not\subset\mathfrak P$ でもあるので、積 $\mathfrak Q\mathfrak q_2\cdots\mathfrak q_r$ は素イデアル $\mathfrak P$ に含まれず、$b\in\mathfrak Q\cap\mathfrak q_2\cap\cdots\cap\mathfrak q_r$ で $b\notin\mathfrak P$ となるものが取れる。$b^k\notin\sqrt{\mathfrak q_1}$ なので、すべての $k\ge1$ で $I:b^k=\mathfrak q_1$ である。
段 2（環 $C$ の構成）．$B$ の商体の中で $y_i=a_i/b$ とおき、$C=B[y_1,\dots,y_h]$、$J=(y_1,\dots,y_h)C$ とする。$C$ の元は定数項と $y_i$ の倍の和なので $C=B+J$ である。$J\cap B=\mathfrak q_1$ を示す。$z\in\mathfrak q_1$ なら $zb\in I$ なので $zb=\sum a_ic_i$（$c_i\in B$）と書け、$z=\sum y_ic_i\in J$ である。逆に $z=\sum y_ig_i\in B$（$g_i\in C$）とし、$g_i$ の $y$ についての次数を $k$ 以下とすると、$b^ky^\alpha=a^\alpha b^{k-\lvert\alpha\rvert}\in B$ から $b^kg_i\in B$ であり、$zb^{k+1}=\sum a_i(b^kg_i)\in I$、よって $z\in I:b^{k+1}=\mathfrak q_1$ である。
したがって $C/J\cong B/\mathfrak q_1$ である。$\mathfrak Q/\mathfrak q_1$ に対応する $C$ の素イデアルを $\mathfrak M$ とすると、$\mathfrak M\cap B=\mathfrak Q$、$C/\mathfrak M\cong B/\mathfrak Q$ であり、とくに $\kappa(\mathfrak M)\cong\kappa(\mathfrak Q)$ である。
段 3（高さの比較）．$C$ は Noether 環 $A$ 上有限生成なので Noether である。$C_{\mathfrak M}/JC_{\mathfrak M}\cong(B/\mathfrak q_1)_{\mathfrak Q}$ で、$\mathfrak P/\mathfrak q_1$ は冪零だからその次元は $\dim(B/\mathfrak P)_{\mathfrak Q}=d$ に等しい。$JC_{\mathfrak M}$ は $h$ 個の元で生成されるので、パラメータ系 の記事の命題「有限個の切断で次元は下がりすぎない」から
$$ \operatorname{ht}\mathfrak M=\dim C_{\mathfrak M}\le h+d<\operatorname{ht}\mathfrak Q. $$
一方、$C$ は $A'$ を含み $A'$ 上有限生成な整域なので、仮定 2 により $A'$ と $B$、$A'$ と $C$ の間で次元公式が成り立つ。$B$ と $C$ の商体は等しく、$\mathfrak M\cap A'=\mathfrak Q\cap A'$、$\kappa(\mathfrak M)\cong\kappa(\mathfrak Q)$ なので、二つの次元公式の右辺と左辺の超越次数はそれぞれ一致し、$\operatorname{ht}\mathfrak M=\operatorname{ht}\mathfrak Q$ となる。これは矛盾である。$\square$

体は Cohen–Macaulay 環なので、下の thm-uc-cm により普遍鎖状である。$k$ の素イデアルは $0$ だけで、thm-uc-ratliff の 2 から主張を得る。$\square$

$R_{\mathfrak P}$ は Cohen–Macaulay 局所環なので、その任意の素イデアル $\mathfrak q$ について $\dim R_{\mathfrak P}=\dim(R_{\mathfrak P})_{\mathfrak q}+\dim R_{\mathfrak P}/\mathfrak q$ である（Cohen–Macaulay環 の記事の定理「埋込素がなく、局所的に等次元」）。$\mathfrak q=\mathfrak QR_{\mathfrak P}$ とすると、$\dim R_{\mathfrak P}=\operatorname{ht}\mathfrak P$、$\dim(R_{\mathfrak P})_{\mathfrak q}=\dim R_{\mathfrak Q}=\operatorname{ht}\mathfrak Q$、$\dim R_{\mathfrak P}/\mathfrak QR_{\mathfrak P}=\operatorname{ht}(\mathfrak P/\mathfrak Q)$ なので等式を得る。後半は lem-uc-height-additivity による。$\square$

$R$ を Cohen–Macaulay 環とする。多項式環 $R[X_1,\dots,X_n]$ は Cohen–Macaulay 環である（Cohen–Macaulay環 の記事の定理「CM 環の有限変数多項式環」）。lem-uc-cm-additivity によりこれは鎖状なので、$R$ は普遍鎖状である。普遍鎖状環の剰余環は普遍鎖状なので、主張を得る。$\square$

体、$\mathbb{Z}$、Dedekind 整域の素イデアルでの局所環は体か離散付値環で、正則局所環である。正則局所環は Cohen–Macaulay なので（正則局所環 の記事の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）、これらと正則環は Cohen–Macaulay 環であり、thm-uc-cm が使える。完備 Noether 局所環は正則局所環の剰余環である（Cohenの構造定理）。有限生成代数・剰余環・局所化への遺伝は 鎖状環 の記事による。$\square$

素イデアル $\mathfrak p\subset\mathfrak q$ の間の飽和鎖は、局所整域 $D=(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}$ の零イデアルから極大イデアル $\mathfrak m$ への飽和鎖と対応する（鎖状環 の記事の命題「商と局所化の区間対応」）。$\delta=\dim D\le2$ とする。$\delta\le1$ なら、$0$ と $\mathfrak m$ の間に素イデアルはなく（$\delta=0$ なら $0=\mathfrak m$）、飽和鎖はただ一つである。$\delta=2$ のとき、長さ $l$ の飽和鎖 $0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak m$ は $l\le2$ を満たす。$l=1$ なら $0$ と $\mathfrak m$ の間に素イデアルがないことになるが、$\operatorname{ht}\mathfrak m=\delta=2$ なので長さ $2$ の鎖 $0\subsetneq\mathfrak r\subsetneq\mathfrak m$ があり、矛盾する。よって飽和鎖の長さはつねに $2$ である。$\square$