導来テンソル積

段 1（非輪状な複体に帰着する）．写像錐 $\operatorname{Cone}(s)$（擬同型の記事の節「写像錐による判定」の符号）について、$z\otimes(y,x)\mapsto\bigl(z\otimes y,(-1)^pz\otimes x\bigr)$（$z\in P^p$）は複体の同型 $P\otimes_R\operatorname{Cone}(s)\cong\operatorname{Cone}(\mathrm{id}_P\otimes s)$ を与える。擬同型の記事の命題「錐判定」により、$s$ が擬同型なら $\operatorname{Cone}(s)$ は非輪状であり、$\mathrm{id}_P\otimes s$ が擬同型であることは $P\otimes_R\operatorname{Cone}(s)$ が非輪状であることと同値である。よって「非輪状な左加群の複体 $E$ に対して $P\otimes_RE$ は非輪状」を示せばよい。
段 2（一つの項だけの複体）．平坦加群 $F$ を次数 $a$ だけに置いた複体と $E$ のテンソル積は、$F\otimes_RE^{n-a}$ を次数 $n$ に置き、微分を $(-1)^a(\mathrm{id}_F\otimes d)$ とした複体である。$F\otimes_R-$ は完全関手なのでコホモロジーと交換し、そのコホモロジーは $F\otimes_RH^{n-a}(E)=0$ である。
段 3（有界な複体）．$P^p\ne0$ となる $p$ が $m\le p\le a$ に限られるとき、その個数についての帰納法で示す。次数 $a$ の項 $P^a$ だけからなる部分複体を $T$ とする（$d(P^a)\subset P^{a+1}=0$ なので部分複体である）。商複体 $P':=P/T$ は次数 $m$ から $a-1$ までの項をもつ。短完全列 $0\to T\to P\to P'\to0$ は各次数で分裂するので、$E$ とテンソルしても各次数で分裂する短完全列 $0\to T\otimes_RE\to P\otimes_RE\to P'\otimes_RE\to0$ になる。段 2 と帰納法の仮定により両端は非輪状なので、コホモロジーの長完全列から $P\otimes_RE$ も非輪状である。
段 4（上に有界な複体）．$P$ の次数 $-k$ 以上の項からなる部分複体を $P_{(k)}$ とする。$P_{(k)}\otimes_RE$ は $P\otimes_RE$ の部分複体（各次数で直和因子）で、$k$ について増大し、和集合は $P\otimes_RE$ である。$P\otimes_RE$ のコサイクル $c$ は有限個の直和成分にしか成分をもたないので、ある $k$ について $P_{(k)}\otimes_RE$ のコサイクルであり、段 3 によりそこでコバウンダリである。よって $c$ は $P\otimes_RE$ のコバウンダリであり、$P\otimes_RE$ は非輪状である。
左右を入れ替えた主張も同じ議論で示せる。

左向きの写像は、thm-dtp-kflat を $P$ と擬同型 $Q\to N$ に使えば擬同型である。右向きの写像は、左右を入れ替えた thm-dtp-kflat を $Q$ と擬同型 $P\to M$ に使えば擬同型である。擬同型は $D(\mathbb Z)$ で同型になるので（導来圏の記事の命題「擬同型と同型」）、$P\otimes_RN\cong M\otimes_RQ$ である。別の選び方 $P'\to M$ についても $P'\otimes_RN\cong M\otimes_RQ$ なので、$P\otimes_RN\cong P'\otimes_RN$ である。$\square$

$N$ の射影分解 $Q\to N$ をとる。射影加群は平坦なので thm-dtp-welldef により $M\otimes^{\mathbf L}_RN\cong M\otimes_RQ$ であり、$H^{-n}(M\otimes_RQ)=H_n(M\otimes_RQ_\bullet)$ は Tor関手 の記事の定義による $\operatorname{Tor}^R_n(M,N)$ である。$M\otimes_RQ$ は次数 $0$ 以下にしか項がないので、正の次数のコホモロジーは $0$ である。$n=0$ は同記事の命題「次数 0 の Tor」による。$\square$

上に有界な平坦加群の複体からの擬同型 $P\to M$ を一つ選ぶ。$P$ の各項 $P^p$ は平坦なので、$0\to P^p\otimes_RN'^q\to P^p\otimes_RN^q\to P^p\otimes_RN''^q\to0$ は完全であり、その直和として $0\to P\otimes_RN'\to P\otimes_RN\to P\otimes_RN''\to0$ は複体の短完全列である。そのコホモロジーの長完全列が求めるものである（三つとも同じ $P$ で計算しているので、thm-dtp-welldef により各項は導来テンソル積のコホモロジーである）。加群の場合は prop-dtp-tor により各項が $\operatorname{Tor}$ になり、正の次数の項は $0$ である。$\square$

上に有界な平坦 $R$ 加群の複体からの擬同型 $P\to M$、$Q\to N$ をとる。
1：$x\otimes y\mapsto(-1)^{pq}y\otimes x$（$x\in P^p$、$y\in Q^q$）は複体の同型 $P\otimes_RQ\cong Q\otimes_RP$ である（微分の符号は $d(x\otimes y)$ の各項で $(-1)^{pq}$ と $(-1)^{(p+1)q}$、$(-1)^{p(q+1)}$ の比がちょうど相殺する）。thm-dtp-welldef により左辺は $M\otimes^{\mathbf L}_RN$、右辺は $N\otimes^{\mathbf L}_RM$ と同型である。
2：$S\otimes_RP$ は上に有界な平坦 $S$ 加群の複体で（$F$ が平坦な $R$ 加群なら $(S\otimes_RF)\otimes_S-\cong F\otimes_R-$ は完全）、$S\otimes_RP\cong S\otimes^{\mathbf L}_RM$ である。同様に $S\otimes_RQ\cong S\otimes^{\mathbf L}_RN$ なので、左辺は $(S\otimes_RP)\otimes_S(S\otimes_RQ)\cong S\otimes_R(P\otimes_RQ)$ と同型である。一方、平坦加群どうしのテンソル積は平坦（$(F\otimes_RG)\otimes_R-=F\otimes_R(G\otimes_R-)$ は完全関手の合成）なので $P\otimes_RQ$ は上に有界な平坦加群の複体であり、thm-dtp-welldef により $M\otimes^{\mathbf L}_RN$ と擬同型で結ばれる。よって $S\otimes_R(P\otimes_RQ)$ は右辺を計算する。
ここで、$S\otimes^{\mathbf L}_R-$ が $S$ 加群の複体の導来圏の対象として平坦な分解の選び方によらず定まることを使った。左導来関手 $\mathbf L(-\otimes_RS)$ の存在は Wei94 10.6.6（p. 396）にある（射影加群の複体による構成）。平坦な分解でも同じものが得られることを次に確かめる。