Wedderburn–Artinの定理

1：$X\in A$ は列ごとに一意に分けられ、左から行列を掛けても第 $j$ 列以外は $0$ のままなので、$C_j$ は左イデアルで $A=\bigoplus_jC_j$ である。$X\in C_j$ にその第 $j$ 列を対応させる写像は、左 $A$ 加群の同型 $C_j\cong V$ である。
2：$0\neq v\in V$ と $w\in V$ をとる。$v$ の $0$ でない成分を $v_l$ とし、第 $l$ 列が $wv_l^{-1}$ でほかの列が $0$ の行列 $X$ をとると $Xv=wv_l^{-1}v_l=w$ である。よって $v$ を含む部分加群は $V$ 全体で、$V$ は単純である。1 により ${}_AA$ は単純加群の和なので、$A$ は半単純環である。
3：$M$ を単純左 $A$ 加群とし、$0\neq x\in M$ をとる。$Ax$ は $0$ でない部分加群なので $Ax=M$ であり、$a\mapsto ax$ は全射 $A\to M$ である。1 によりある $C_j$ の像は $0$ でなく、$C_j\to M$ は単純加群の間の $0$ でない準同型なので同型である（Schurの補題(表現論) の定理「単純加群の間の準同型」）。よって $M\cong C_j\cong V$ である。
4：$r_d$ は左からの行列の積と可換なので $A$ 準同型であり、$r_d\circ r_{d'}=r_{d'd}$ なので $d\mapsto r_d$ は $D^{\mathrm{op}}$ からの環準同型である。$e_1,\dots,e_n$ を標準基底とする。$\varphi\in\operatorname{End}_A(V)$ について $\varphi(e_1)=\varphi(E_{11}e_1)=E_{11}\varphi(e_1)$ は第 $1$ 成分以外が $0$ なので、$\varphi(e_1)=e_1d$ と書ける。$v\in V$ について、第 $1$ 列が $v$ でほかが $0$ の行列 $B_v$ をとると $v=B_ve_1$ なので $\varphi(v)=B_v\varphi(e_1)=B_ve_1d=vd$ であり、$\varphi=r_d$ である。$r_d(e_1)=e_1d$ の第 $1$ 成分は $d$ なので、$r_d=0$ なら $d=0$ であり、対応は単射でもある。最後に、$r_d\cdot v=vd$ なので、$V$ の $\operatorname{End}_A(V)$ 上の左ベクトル空間の構造は、$D^n$ の右 $D$ ベクトル空間の構造と同じであり、$e_1,\dots,e_n$ が基底で次元は $n$ である。$\square$

1：$R$ は射影 $R\to R_i$ を通じて作用するので、$R$ 部分加群と $R_i$ 部分加群、$R$ 準同型と $R_i$ 準同型はそれぞれ同じものである。
2：$\varepsilon_i$ は中心にあり、$\varepsilon_i\varepsilon_j=0$（$i\neq j$）、$\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_r=1$ を満たす。よって $\varepsilon_iM$ は部分加群で、$M=\varepsilon_1M\oplus\cdots\oplus\varepsilon_rM$ である（$x=\sum_i\varepsilon_ix$ と書け、$\sum_i\varepsilon_ix_i=0$ に $\varepsilon_j$ を掛けると $\varepsilon_jx_j=0$）。$M$ は単純なので、ちょうど 1 つの $i$ で $\varepsilon_iM=M$、ほかは $0$ である。このとき $\varepsilon_j$（$j\neq i$）は $0$ として作用するので、$R$ の作用は $R_i$ を通じた作用であり、1 の形である。
3：$R$ 加群の同型 $f\colon S\to S'$ は $f(\varepsilon_is)=\varepsilon_if(s)$ を満たす。$S$ では $\varepsilon_i$ が恒等写像、$S'$ では $0$ なので、$S\neq0$ に反する。$\square$

1 と 2 の同値は 半単純環 の定理「Artin 性による特徴づけ」で証明されているので、ここでは 1 と 3 の同値を示す。
3 ⇒ 1． 同型な環は同時に半単純なので、$R=\prod_iM_{n_i}(D_i)$ としてよい。左 $R$ 加群として ${}_RR=\bigoplus_i\varepsilon_iR$ であり、$\varepsilon_iR=M_{n_i}(D_i)$ は lem-wa-matrix の 1・2 により単純左 $M_{n_i}(D_i)$ 加群の和、lem-wa-product の 1 により単純左 $R$ 加群の和である。よって $R$ は半単純環である。
1 ⇒ 3． $R$ を半単純環とし、$R\neq0$ とする（$R=0$ なら $r=0$ の空の直積である）。
段 1（有限個の直和）．${}_RR$ は極小左イデアルの和なので、そのうちの一部の直和 $R=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}L_\lambda$ に書ける。$1=\sum_{\lambda\in\Lambda_0}e_\lambda$（$\Lambda_0$ は有限、$e_\lambda\in L_\lambda$）と書くと、任意の $x\in R$ は $x=x\cdot1=\sum_{\lambda\in\Lambda_0}xe_\lambda\in\bigoplus_{\lambda\in\Lambda_0}L_\lambda$ なので、$\Lambda=\Lambda_0$ は有限である。
段 2（同型類でまとめる）．$L_\lambda$ たちの同型類の代表を $S_1,\dots,S_r$ とし、$S_i$ と同型な $L_\lambda$ の個数を $n_i\ge1$ とすると、左 $R$ 加群の同型
$$ {}_RR\cong S_1^{\oplus n_1}\oplus\cdots\oplus S_r^{\oplus n_r} $$
を得る。
段 3（自己準同型環）．$E_i:=\operatorname{End}_R(S_i)$ は斜体である（Schurの補題(表現論) の定理「単純加群の間の準同型」）。直和 $U=\bigoplus_{a}U_a$（有限個）の自己準同型 $f$ は、成分 $f_{ab}:=\pi_af\iota_b\in\operatorname{Hom}_R(U_b,U_a)$（$\iota_b$ は埋め込み、$\pi_a$ は射影）を並べた行列で表され、合成は $(fg)_{ac}=\sum_bf_{ab}g_{bc}$ と行列の積になる（自己準同型環 の命題「直和の自己準同型環」）。$i\neq j$ なら $S_i\not\cong S_j$ なので $\operatorname{Hom}_R(S_j,S_i)=0$ であり（Schur の補題）、行列は $S_i$ の成分どうしのブロックだけからなる。よって環の同型
$$ \operatorname{End}_R\Bigl(\bigoplus_iS_i^{\oplus n_i}\Bigr)\cong M_{n_1}(E_1)\times\cdots\times M_{n_r}(E_r) $$
がある。
段 4（反対環をとる）．$a\in R$ に右からの積 $\rho_a\colon x\mapsto xa$ を対応させると、環の同型 $R^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_R({}_RR)$ が得られる（$\rho_a\circ\rho_b=\rho_{ba}$ であり、$\varphi\in\operatorname{End}_R({}_RR)$ は $\varphi(x)=x\varphi(1)$ から $\rho_{\varphi(1)}$ に等しい。反対環 の定理「自己準同型環としての反対環」）。段 2・3 と合わせて
$$ R^{\mathrm{op}}\cong M_{n_1}(E_1)\times\cdots\times M_{n_r}(E_r) $$
である。両辺の反対環をとり（直積の反対環は反対環の直積である。反対環 の命題「反対環の基本性質」の 4）、転置による同型 $M_n(E)^{\mathrm{op}}\cong M_n(E^{\mathrm{op}})$（反対環 の定理「自己準同型環としての反対環」の 3）を使うと、
$$ R\cong M_{n_1}(E_1^{\mathrm{op}})\times\cdots\times M_{n_r}(E_r^{\mathrm{op}}) $$
となる。$D_i:=E_i^{\mathrm{op}}$ は斜体なので 3 が成り立つ。$\square$

環の同型 $\varphi\colon R\to\prod_{i=1}^rM_{n_i}(D_i)$ があるとする。左 $R$ 加群は $\varphi$ を通じて右辺の左加群と同じものなので、右辺の単純加群を調べればよい。lem-wa-product と lem-wa-matrix の 3 により、単純左加群は $V_i:=D_i^{n_i}$（第 $i$ 成分を通じて作用させたもの）のどれかと同型であり、$V_1,\dots,V_r$ は互いに同型でない。よって $r$ は単純左 $R$ 加群の同型類の個数である。
lem-wa-product の 1 と lem-wa-matrix の 4 により、$\operatorname{End}_R(V_i)=\operatorname{End}_{M_{n_i}(D_i)}(V_i)\cong D_i^{\mathrm{op}}$ であり、$V_i$ の $\operatorname{End}_R(V_i)$ 上の次元は $n_i$ である。したがって $D_i\cong\operatorname{End}_R(V_i)^{\mathrm{op}}$、$n_i=\dim_{\operatorname{End}_R(V_i)}V_i$ である。加群の同型 $g\colon V\to V'$ は環の同型 $\operatorname{End}_R(V)\to\operatorname{End}_R(V')$、$f\mapsto gfg^{-1}$ を与え、これと $g$ は作用と両立するので次元も保たれる。よって右辺の量は単純加群の同型類だけで決まり、主張が従う。$\square$

右 $R$ 加群は左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群と同じものであり（反対環 の定理「右加群は反対環上の左加群」）、右からの積による $R$ は左からの積による $R^{\mathrm{op}}$ にあたる。よって主張は「$R$ が半単純環 $\Leftrightarrow$ $R^{\mathrm{op}}$ が半単純環」である。$R\cong\prod_iM_{n_i}(D_i)$ なら、直積の反対環は反対環の直積で（反対環 の命題「反対環の基本性質」の 4）、転置により $R^{\mathrm{op}}\cong\prod_iM_{n_i}(D_i^{\mathrm{op}})$ であり、$D_i^{\mathrm{op}}$ も斜体である。thm-wa-main の 1 と 3 の同値を両向きに使えばよい（$(R^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=R$）。$\square$

$S_i$ は $0\neq x\in S_i$ について $S_i=Rx$ なので有限次元である。Schurの補題(表現論) の定理「スカラー倍しかないこと」により $E_i:=\operatorname{End}_R(S_i)=k\,\mathrm{id}_{S_i}$ であり、$E_i^{\mathrm{op}}=E_i\cong k$、$n_i=\dim_{E_i}S_i=\dim_kS_i$ である。prf-wa-main の段 3・4 の同型はどれも $k$ 線形である（$\rho_{ca}=c\rho_a$ など、$k$ の元は $R$ の中心にある）。よって $k$ 多元環の同型 $R\cong\prod_iM_{n_i}(k)$ が得られ、次元を比べて $\dim_kR=\sum_in_i^2$ である。$M_n(k)$ の中心はスカラー行列 $kI$ である（行列環 の命題「行列環の中心」）から、直積の中心は $k^r$ で、その次元は $r$ である。$\square$

体の有限直積は $n_i=1$ の場合の 3 の形なので半単純である。逆に $R\cong\prod_iM_{n_i}(D_i)$ が可換なら各因子も可換であり、$n_i\ge2$ では $E_{11}E_{12}=E_{12}\neq0=E_{12}E_{11}$ なので（行列環 の命題「行列環が可換になる場合」）$n_i=1$、$M_1(D_i)=D_i$ は可換な斜体、すなわち体である。$\square$