Brezis–Liebの補題

$0< p\le1$ の場合。$s,t\ge0$、$s+t>0$ なら、$[0,1]$ 上で $x^p\ge x$ なので
$$ \Bigl(\frac s{s+t}\Bigr)^p+\Bigl(\frac t{s+t}\Bigr)^p\ge\frac s{s+t}+\frac t{s+t}=1, $$
すなわち $(s+t)^p\le s^p+t^p$ である。これと三角不等式から $|a+b|^p\le|a|^p+|b|^p$、$|a|^p\le|a+b|^p+|b|^p$ であり、$\bigl||a+b|^p-|a|^p\bigr|\le|b|^p$ を得る。
$1< p<\infty$ の場合。$s:=|a+b|$、$t:=|a|$ と置くと $|s-t|\le|b|$ である。$u\mapsto u^p$ に平均値の定理を使うと
$$ |s^p-t^p|\le p\max(s,t)^{p-1}|s-t|\le p(|a|+|b|)^{p-1}|b|\le p\,2^{p-1}\bigl(|a|^{p-1}|b|+|b|^p\bigr) $$
である（$(|a|+|b|)^{p-1}\le\bigl(2\max(|a|,|b|)\bigr)^{p-1}\le2^{p-1}(|a|^{p-1}+|b|^{p-1})$）。$p'=p/(p-1)$ とし、$\eta>0$ について 2 つの数の Young の不等式（凸関数 の記事の系「Youngの不等式」）を $\eta|a|^{p-1}$ と $|b|/\eta$ に使うと、$(p-1)p'=p$ から
$$ |a|^{p-1}|b|\le\frac{\eta^{p'}}{p'}|a|^p+\frac1{p\,\eta^p}|b|^p $$
である。$p\,2^{p-1}\eta^{p'}/p'\le\varepsilon$ となる $\eta$ を選べば、$C_\varepsilon:=p\,2^{p-1}\bigl(1+\frac1{p\eta^p}\bigr)$ で主張が成り立つ。$\square$

$f\in L^p$ は Fatouの補題 の記事の命題「$L^p$ ノルムの下半連続性」による（$0< p<\infty$ で、$\int|f|^p\le\liminf_n\int|f_n|^p$）。$(s+t)^p\le2^p\max(s,t)^p\le2^p(s^p+t^p)$ から
$$ S:=\sup_n\int|f_n-f|^p\,d\mu\le2^p\Bigl(\sup_n\int|f_n|^p\,d\mu+\int|f|^p\,d\mu\Bigr)<\infty $$
である。とくに $f_n$、$f$、$f_n-f$ はほとんど至る所有限な値をとる。
$\varepsilon>0$ を固定し、lem-bl-numeric の $C_\varepsilon$ をとる。
$$ \Phi_n:=\Bigl||f_n|^p-|f_n-f|^p-|f|^p\Bigr| $$
と置く。lem-bl-numeric を $a=f_n-f$、$b=f$ に使うと $\bigl||f_n|^p-|f_n-f|^p\bigr|\le\varepsilon|f_n-f|^p+C_\varepsilon|f|^p$ なので、
$$ \Phi_n\le\varepsilon|f_n-f|^p+(1+C_\varepsilon)|f|^p $$
である。そこで $W_n:=\bigl(\Phi_n-\varepsilon|f_n-f|^p\bigr)^+$ と置くと
$$ 0\le W_n\le(1+C_\varepsilon)|f|^p $$
であり、右辺は可積分である。ほとんど至る所 $f_n-f\to0$、$|f_n|^p\to|f|^p$ なので $\Phi_n\to0$、したがって $W_n\to0$ がほとんど至る所成り立つ。優収束定理 により $\int W_n\,d\mu\to0$ である。$\Phi_n\le W_n+\varepsilon|f_n-f|^p$ だから
$$ \int\Phi_n\,d\mu\le\int W_n\,d\mu+\varepsilon S $$
であり、$\limsup_n\int\Phi_n\,d\mu\le\varepsilon S$ を得る。$\varepsilon>0$ は任意なので $\int\Phi_n\,d\mu\to0$ である。後半は $\bigl|\int|f_n|^p-\int|f_n-f|^p-\int|f|^p\bigr|\le\int\Phi_n$ による（3 つの積分はどれも有限）。$\square$

収束する数列は有界なので $\sup_n\int|f_n|^p<\infty$ であり、thm-bl-main が使える。$\int|f_n-f|^p=\int|f_n|^p-\int|f|^p+o(1)$ の右辺は $0$ に近づく。$\square$

部分列の取り出し。$f$ に測度収束する列 $(h_k)$ は、ほとんど至る所 $f$ に収束する部分列をもつ。実際、$\mu(B_j)<2^{-j}$、$B_j:=\{|h_{k_j}-f|>2^{-j}\}$ となる $k_1< k_2<\cdots$ がとれる。$B:=\bigcap_m\bigcup_{j\ge m}B_j$ は $\mu(B)\le\sum_{j\ge m}2^{-j}=2^{1-m}$ がすべての $m$ で成り立つので零集合であり、$x\notin B$ ならある $m$ 以降 $|h_{k_j}(x)-f(x)|\le2^{-j}$ である。
結論。$(f_n)$ のほとんど至る所 $f$ に収束する部分列に Fatouの補題 の記事の命題「$L^p$ ノルムの下半連続性」を使えば $f\in L^p$ である。$a_n:=\int\Phi_n\,d\mu$（$\Phi_n$ は prf-bl-main と同じ）と置く。$(f_n)$ の任意の部分列も $f$ に測度収束するので、上の議論により、さらにほとんど至る所 $f$ に収束する部分列がとれ、それに沿って thm-bl-main から $a_n\to0$ である。実数列 $(a_n)$ のどの部分列も $0$ に収束する部分列をもつので、$a_n\to0$ である（そうでなければ、ある $\eta>0$ と部分列で $a_n\ge\eta$ となり矛盾する）。$\square$