判別式(代数体)

$B_\alpha B_\alpha^{\mathsf T}$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_k\sigma_k(\alpha_i)\sigma_k(\alpha_j)=\sum_k\sigma_k(\alpha_i\alpha_j)=\operatorname{Tr}(\alpha_i\alpha_j)$ である（$\sigma_k$ は環準同型で、トレースは共役の和）。よって $T_\alpha=B_\alpha B_\alpha^{\mathsf T}$ であり、両辺の行列式をとると $d(\alpha)=\det B_\alpha\cdot\det B_\alpha^{\mathsf T}=(\det B_\alpha)^2$ である。$\square$

トレースは $\mathbb{Q}$ 線形なので $\operatorname{Tr}(\beta_i\beta_j)=\sum_{k,l}p_{ik}p_{jl}\operatorname{Tr}(\alpha_k\alpha_l)$、すなわち $T_\beta=PT_\alpha P^{\mathsf T}$ である。行列式をとればよい。$\square$

$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ が 1 次従属なら、すべては $0$ でない有理数 $c_1,\dots,c_n$ で $\sum_ic_i\alpha_i=0$ となるものがある。各 $j$ について $\sum_ic_i\operatorname{Tr}(\alpha_i\alpha_j)=\operatorname{Tr}\bigl((\sum_ic_i\alpha_i)\alpha_j\bigr)=0$ なので、$T_\alpha$ の行は 1 次従属であり $d(\alpha)=0$ である。
逆に $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ が基底で $d(\alpha)=0$ と仮定する。$T_\alpha$ の列は 1 次従属なので、すべては $0$ でない有理数 $c_j$ で $\sum_jc_j\operatorname{Tr}(\alpha_i\alpha_j)=0$（すべての $i$）となるものがある。$\gamma:=\sum_jc_j\alpha_j$ は基底の 1 次独立性から $0$ でなく、$\operatorname{Tr}(\alpha_i\gamma)=0$ がすべての $i$ で成り立つ。トレースの線形性と、$\alpha_i$ が基底であることから、すべての $x\in K$ について $\operatorname{Tr}(x\gamma)=0$ である。$x=\gamma^{-1}$ とすると $\operatorname{Tr}(1)=n\ne0$ となり矛盾する。$\square$

$d\ne0$ は prop-dnf-nondegenerate による。$\beta\in\mathcal{O}_K$ を $\beta=\sum_jc_j\alpha_j$（$c_j\in\mathbb{Q}$）と書く。各 $i$ について
$$ t_i:=\operatorname{Tr}(\alpha_i\beta)=\sum_jc_j\operatorname{Tr}(\alpha_i\alpha_j) $$
であり、$\alpha_i\beta\in\mathcal{O}_K$ なので $t_i\in\mathbb{Z}$ である。すなわち $T_\alpha c=t$（$c=(c_j)$、$t=(t_i)$ は列ベクトル）である。$T_\alpha$ は整数行列で、その余因子行列 $\tilde T$ も整数行列であり $\tilde TT_\alpha=dI$ を満たすので、$dc=\tilde Tt$ の成分は整数である。よって $d\beta=\sum_j(dc_j)\alpha_j\in\mathbb{Z}\alpha_1+\cdots+\mathbb{Z}\alpha_n$ である。
$M:=\mathbb{Z}\alpha_1+\cdots+\mathbb{Z}\alpha_n$ は $\alpha_j$ の 1 次独立性から $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ を基底とする階数 $n$ の自由アーベル群である。上で示したことから $\mathcal{O}_K\subset\frac1dM$ であり、$\frac1dM$ は $\frac1d\alpha_j$ を基底とする階数 $n$ の自由アーベル群なので、自由アーベル群 の記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」により $\mathcal{O}_K$ は階数 $k\le n$ の自由アーベル群である。一方 $M\subset\mathcal{O}_K$ で $M$ は階数 $n$ だから、同じ命題を $\mathcal{O}_K\cong\mathbb{Z}^k$ の部分群 $M$ に使って $n\le k$ である。よって $k=n$ である。
仮定を満たす $\alpha_j$ は存在する：$K$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底 $\beta_1,\dots,\beta_n$ をとり、各 $\beta_j$ に $0$ でない整数 $m_j$ を掛けて $m_j\beta_j\in\mathcal{O}_K$ とできる（代数的整数 の記事の命題「代数的数の整数倍」）。$m_j\beta_j$ も基底である。
最後に、整数底 $\omega_1,\dots,\omega_n$ が $\mathbb{Q}$ 上の基底であることを示す。$x\in K$ について $mx\in\mathcal{O}_K$ となる整数 $m\ne0$ があるので $x$ は $\omega_j$ の有理数係数の 1 次結合であり、$\omega_1,\dots,\omega_n$ は $n$ 次元の $\mathbb{Q}$ ベクトル空間 $K$ を張る $n$ 個の元なので基底である。$\square$

2 つの整数底 $\omega,\omega'$ について $\omega'_i=\sum_jp_{ij}\omega_j$ となる整数行列 $P$ があり、$P$ は $\mathbb{Z}^n$ の基底の取り替えの行列なので $\det P=\pm1$ である（自由アーベル群 の記事の命題「行列式による基底の判定」）。prop-dnf-change により $d(\omega')=(\det P)^2d(\omega)=d(\omega)$ である。$d_K$ は整数の行列の行列式なので整数であり、整数底は $\mathbb{Q}$ 上の基底なので prop-dnf-nondegenerate により $0$ でない。$\square$

要点：有限指数の部分群は、最後の座標への射影と帰納法により、対角成分が正の下三角行列を行とする基底をもち、指数はその対角成分の積になる。基底どうしは行列式 $\pm1$ の整数行列で移り合うので、指数は任意の基底の行列式の絶対値に等しい。

整数底 $\omega$ により $\alpha_i=\sum_jp_{ij}\omega_j$（$P$ は整数行列）と書ける。$\alpha$ が基底なので prop-dnf-nondegenerate と prop-dnf-change から $d(\alpha)=(\det P)^2d_K\ne0$、よって $\det P\ne0$ である。lem-dnf-index-det の 1 により $[\mathcal{O}_K:M]=\lvert\det P\rvert$ である。$\square$

cor-dnf-index により $[\mathcal{O}_K:M]^2$ は $d(\alpha)$ を割り切るので、仮定から $[\mathcal{O}_K:M]=1$、すなわち $M=\mathcal{O}_K$ である。$\square$

代数体 の記事の定理「埋め込みの個数と符号数」により、$\sigma_k(\theta)$（$k=1,\dots,n$）は $f$ の $n$ 個の根をちょうど 1 回ずつ動くので、$\theta_k:=\sigma_k(\theta)$ とおける。prop-dnf-conjugates の行列は $B=(\theta_k^{\,i-1})_{i,k}$ で、Vandermonde の行列式 $\det B=\prod_{k< l}(\theta_l-\theta_k)$ により $d(1,\theta,\dots,\theta^{n-1})=(\det B)^2=\Delta(f)$ である。判別式 の記事の命題「導関数による表示」（最高次の係数 $1$）により $\Delta(f)=(-1)^{n(n-1)/2}\prod_kf'(\theta_k)$ であり、$f'(\theta_k)=\sigma_k(f'(\theta))$ なので積はノルム $N(f'(\theta))$ である。$\square$

$\mathbb{Q}$ 上の基底 $\alpha$ について $D:=\det B_\alpha=\det(\sigma_k(\alpha_i))$ とおく。埋め込み $\sigma_k$ に複素共役を合成した $\bar\sigma_k$ も埋め込みであり、実埋め込みでは $\bar\sigma_k=\sigma_k$、複素埋め込みでは $\bar\sigma_k$ はその組の相手である。したがって $B_\alpha$ の各成分の複素共役をとった行列 $\overline{B_\alpha}$ は、$B_\alpha$ の列を $r_2$ 個の互換で並べ替えたものであり、$\overline D=(-1)^{r_2}D$ である。$r_2$ が偶数なら $D$ は実数、奇数なら $D$ は純虚数であり、$D\ne0$（prop-dnf-nondegenerate と prop-dnf-conjugates）なので $d(\alpha)=D^2$ はそれぞれ正、負である。$\square$

行列式を置換についての和に展開し、偶置換の項の和を $P$、奇置換の項の和（符号を除いたもの）を $Q$ とおく：
$$ \det\bigl(\sigma_k(\alpha_i)\bigr)=\sum_{\pi\in S_n}\operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^n\sigma_{\pi(i)}(\alpha_i)=P-Q . $$
$P+Q$ と $PQ$ は整数である。実際、$\sigma_k(\alpha_i)$ を含む有限次 Galois 拡大 $L/\mathbb{Q}$ の Galois 群の各元は、埋め込みの番号の置換を引き起こし、$P$ と $Q$ を固定するか入れ替えるので、$P+Q$ と $PQ$ は Galois 群で固定されて有理数になり、しかも代数的整数である。

$A$ を第 $i$ 行が $j(\alpha_i)$ の $n$ 次実行列とする。各 $l=1,\dots,r_2$ について、$\operatorname{Re}\tau_l(\alpha_i)$ と $\operatorname{Im}\tau_l(\alpha_i)$ の 2 列に右から行列 $\begin{pmatrix}1&1\\ i&-i\end{pmatrix}$（行列式 $-2i$）を掛けると、その 2 列は $\operatorname{Re}\tau_l(\alpha_i)+i\operatorname{Im}\tau_l(\alpha_i)=\tau_l(\alpha_i)$ と $\operatorname{Re}\tau_l(\alpha_i)-i\operatorname{Im}\tau_l(\alpha_i)=\overline{\tau_l(\alpha_i)}$ に変わる。こうして得られる行列 $B'$ は $\det B'=(-2i)^{r_2}\det A$ を満たし、その列は $n$ 個の埋め込みすべての値なので、$B'$ は prop-dnf-conjugates の行列 $B_\alpha$ の列を並べ替えたものである。よって
$$ \lvert\det A\rvert=2^{-r_2}\lvert\det B'\rvert=2^{-r_2}\lvert\det B_\alpha\rvert=2^{-r_2}\sqrt{\lvert d(\alpha)\rvert} $$
である。prop-dnf-nondegenerate により $d(\alpha)\ne0$ なので $\det A\ne0$ であり、$j(\alpha_i)$ は $\mathbb{R}$ 上 1 次独立である。$j$ は加法的なので $j(M)=\{\sum_im_ij(\alpha_i)\mid m_i\in\mathbb{Z}\}=A^{\mathsf T}\mathbb{Z}^n$ は格子で、基本領域の体積は $\lvert\det A\rvert$ である。$\mathcal{O}_K$ については整数底をとればよい。$\square$

$0$ でない $a\in I$ をとる。$K$ を $\sigma_1$ で $\mathbb{C}$ の部分体とみなすと $b:=\prod_{k\ge2}\sigma_k(a)=N(a)/a$ は $K$ の元で、代数的整数の積なので代数的整数であり、$b\in\mathcal{O}_K$ である。よって $m:=\lvert N(a)\rvert=\pm ab\in I$ は $0$ でない整数で、$m\mathcal{O}_K\subset I$ である。$\mathcal{O}_K/m\mathcal{O}_K\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^n$ は有限なので $[\mathcal{O}_K:I]$ は有限である。lem-dnf-index-det の 2 により $I$ は基底 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ をもち、これは $K$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底である（$\alpha_i=\sum_jp_{ij}\omega_j$ で $\det P\ne0$）。cor-dnf-index により $d(\alpha)=[\mathcal{O}_K:I]^2d_K$ なので、thm-dnf-covolume から主張が従う。$\square$

イデアル類群 の記事の定理「Minkowskiの限界」により、単項イデアルの類（単位元の類）は、指数が $M_K:=\frac{n!}{n^n}\bigl(\frac4\pi\bigr)^{r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert}$ 以下の $0$ でないイデアルを含む。イデアルの指数は $1$ 以上なので $1\le M_K$ であり、これを書き直すと左の不等式になる。
右の不等式を示す。$r_2\le n/2$ と $\pi/4<1$ から $(\pi/4)^{2r_2}\ge(\pi/4)^n$ なので、$a_n:=(\pi/4)^{n/2}n^n/n!$ が $n\ge2$ で $1$ より大きいことを示せばよい。$a_2=\frac\pi4\cdot2=\frac\pi2>1$ であり、
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\Bigl(\frac\pi4\Bigr)^{1/2}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n\ge\frac{\sqrt\pi}2\cdot2=\sqrt\pi>1 $$
（$(1+\frac1n)^n\ge1+n\cdot\frac1n=2$ は二項展開による）なので、$a_n$ は増加し、$a_n\ge a_2>1$ である。$\square$