完全列
概要
完全列（exact sequence）とは、アーベル圏における対象と射の列 $\cdots\to A_{i-1}\to A_i\to A_{i+1}\to\cdots$ であって、各対象における像と核が部分対象として一致する（$\operatorname{im}f_i=\ker f_{i+1}$）ものをいう。両端が単射・全射であることを表す特別な場合として短完全列があり、準同型定理・図式追跡を圏論の言葉で統一的に扱う基盤になる。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ における対象と射の列
$$
\cdots \longrightarrow A_{i-1} \xrightarrow{f_i} A_i \xrightarrow{f_{i+1}} A_{i+1} \longrightarrow \cdots
$$
が、任意の隣接する二射の合成について $f_{i+1}\circ f_i=0$ を満たすとき、この列を複体（complex）とよぶ。
複体 $\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_i}A_i\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+1}\to\cdots$ が対象 $A_i$ において完全（exact）であるとは、$A_i$ の部分対象として
$$
\operatorname{im}f_i=\ker f_{i+1}
$$
が成り立つことをいう。ここで $\operatorname{im}f_i:=\ker(\operatorname{coker}f_i)$ であり（アーベル圏の像の定義による）、両側に隣接する射を持つ対象を持たない列の端点では、完全性の条件は課さない（あるいは自明に成り立つとみなす）。列がすべての対象において完全であるとき、この列を完全列（exact sequence）という。
直感
複体であることは「一つ前の射の像が、次の射で必ず $0$ に送られる」という弱い条件にすぎない。完全性は、それをさらに強め「次の射で $0$ に送られるものは、必ず一つ前の射の像として説明される」ことを要求する。すなわち完全列とは、複体のうち「余分な情報を持ち込まない」列であり、各段階で「なぜ次の対象に送ると消えるのか」が直前の射だけで過不足なく説明される。
この定義は要素（元）を一切使わずに述べられているが、$\mathbf{Ab}$ や $R\text{-}\mathbf{Mod}$ では像・核はいずれも通常の部分群・部分加群と一致するため、$\operatorname{im}f_i=\ker f_{i+1}$ は「$f_i$ の値域に現れる元の集合」と「$f_{i+1}$ で $0$ になる元の集合」が完全に一致するという、なじみのある条件に還元される。
例
$\mathbf{Ab}$ や $R\text{-}\mathbf{Mod}$ において、列 $\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_i}A_i\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+1}\to\cdots$ が $A_i$ で完全であることは、通常の意味で
$$
\operatorname{im}f_i=\ker f_{i+1}\quad(\text{通常の部分群・部分加群として})
$$
が成り立つことと一致する。特に $f_{i+1}\circ f_i=0$ は $\operatorname{im}f_i\subset\ker f_{i+1}$ を、完全性はさらにその逆の包含も成り立つことを意味する。
零対象 $0$ から $A$ への（一意な）射 $0\to A$ を含む列
$$
0\longrightarrow A\xrightarrow{f}B
$$
が $A$ において完全であることは、$\ker f=\operatorname{im}(0\to A)=0$（零対象への核）と同値であり、これはアーベル圏の性質「$f$ がモノ射であることと $\ker f$ の定義域が零対象であることは同値」により、$f$ がモノ射であることと同値である。双対に、
$$
B\xrightarrow{g}C\longrightarrow 0
$$
が $C$ において完全であることは $g$ がエピ射であることと同値である。このように、完全列は単射・全射という性質を「両端に零対象を置く」ことで統一的に表現する。
性質
列 $\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_i}A_i\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+1}\to\cdots$ が $A_i$ において完全ならば、$f_{i+1}\circ f_i=0$ である。
完全性の定義より $\operatorname{im}f_i=\ker f_{i+1}$（$A_i$ の部分対象として）である。像の定義 $\operatorname{im}f_i=\ker(\operatorname{coker}f_i)$ とその構成から、$f_i$ は部分対象 $\operatorname{im}f_i\hookrightarrow A_i$ を経由して分解する射 $A_{i-1}\twoheadrightarrow\operatorname{im}f_i\hookrightarrow A_i$ を持つ。この $\operatorname{im}f_i\hookrightarrow A_i$ は仮定より $\ker f_{i+1}\hookrightarrow A_i$ と同一の部分対象であるから、核の定義（条件(1)）よりこの部分対象への包含と $f_{i+1}$ の合成は $0$ になる。したがって $f_{i+1}\circ f_i$ は、$A_{i-1}\twoheadrightarrow\operatorname{im}f_i=\ker f_{i+1}\hookrightarrow A_i\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+1}$ という分解を経由し、途中の $\ker f_{i+1}\hookrightarrow A_i\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+1}$ の部分がすでに $0$ であるから、全体として $f_{i+1}\circ f_i=0$ となる。$\blacksquare$
この命題により、完全列は自動的にdef-exact-complexの意味での複体である。逆に複体であっても完全とは限らない点が、複体と完全列の違いであり、この違いを測る量（ホモロジー）を調べることが、次の記事群（複体とホモロジー）の主題になる。
完全列 $0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to 0$ において、$f$ はモノ射であり、$g$ はエピ射であり、かつ $C\cong\operatorname{coker}f$、$A\cong\ker g$ が成り立つ。
$A$ における完全性から（ex-exact-mono-epiと同じ議論により）$f$ はモノ射である。$C$ における完全性から同様に $g$ はエピ射である。$B$ における完全性から $\operatorname{im}f=\ker g$（部分対象として）が成り立つが、$f$ がモノ射であることから $\operatorname{im}f=\ker(\operatorname{coker}f)$ への $f$ 自身の分解は同型 $A\xrightarrow{\sim}\operatorname{im}f$ を与える（モノ射は自身の像への同型を誘導する）。ゆえに $A\cong\operatorname{im}f=\ker g$。$g$ がエピ射であることとアーベル圏の正規性・余正規性の議論を余核に適用すると、同様に $C\cong\operatorname{coker}f$ が従う。$\blacksquare$
このような $0\to A\to B\to C\to 0$ の形をした（両端が零対象である）完全列は特に重要であり、短完全列として独立に扱う。
関連項目
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