有限生成加群

$\varphi$ が準同型であることは、$(r_i)+(r_i')\mapsto\sum_i(r_i+r_i')x_i=\sum_ir_ix_i+\sum_ir_i'x_i$ と $r(r_i)\mapsto\sum_i(rr_i)x_i=r\sum_ir_ix_i$ から分かる。$\psi\colon R^n\to M$ が準同型で $\psi(e_i)=x_i$ なら、$(r_1,\dots,r_n)=\sum_ir_ie_i$ より $\psi(r_1,\dots,r_n)=\sum_ir_ix_i=\varphi(r_1,\dots,r_n)$ となるので、$\varphi$ はただ 1 つである。$\varphi$ の像はちょうど $Rx_1+\cdots+Rx_n$ なので、$\varphi$ が全射であることは $M=Rx_1+\cdots+Rx_n$ と同値である。
逆に全射準同型 $\psi\colon R^n\to M$ があれば、前半により $\psi$ は $x_i:=\psi(e_i)$ から作った $\varphi$ に一致し、$x_1,\dots,x_n$ は $M$ を生成する。最後の同型は、加群 の記事の定理「加群の準同型定理」を $\varphi$ に当てたものである。$\square$

$\psi$ は全射なので、各 $j=1,\dots,k$ について $\psi(y_j)=\varphi(e_j)$ となる $y_j\in N$ を選べる。prop-fg-module-surjection の前半により、$\alpha(e_j)=y_j$ を満たす準同型 $\alpha\colon R^k\to N$ がある。$\psi\circ\alpha$ と $\varphi$ はどちらも $e_j$ を $\varphi(e_j)$ に送る準同型なので、同じ命題の一意性により等しい。$\square$

$M$ は有限表示なので、全射 $\psi\colon R^n\to M$ で $K:=\ker\psi$ が有限個の元 $u_1,\dots,u_m$ で生成されるものがある。lem-fg-module-lift を 2 回使うと、準同型 $\alpha\colon R^k\to R^n$ と $\beta\colon R^n\to R^k$ で
$$ \psi\circ\alpha=\varphi,\qquad\varphi\circ\beta=\psi $$
を満たすものがある。$\ker\varphi$ が $\beta(u_1),\dots,\beta(u_m)$ と $e_j-\beta(\alpha(e_j))$（$j=1,\dots,k$）で生成されることを示す。
これらの元が $\ker\varphi$ に属すること：$\varphi(\beta(u_i))=\psi(u_i)=0$ であり、$\varphi\bigl(e_j-\beta(\alpha(e_j))\bigr)=\varphi(e_j)-\psi(\alpha(e_j))=\varphi(e_j)-\varphi(e_j)=0$ である。
$\ker\varphi$ の元がこれらで書けること：$x\in\ker\varphi$ をとり、$x=\bigl(x-\beta(\alpha(x))\bigr)+\beta(\alpha(x))$ と分ける。$\psi(\alpha(x))=\varphi(x)=0$ なので $\alpha(x)\in K$ であり、$\alpha(x)=\sum_is_iu_i$（$s_i\in R$）と書けて、第 2 項は $\beta(\alpha(x))=\sum_is_i\beta(u_i)$ である。第 1 項については、$x=\sum_jr_je_j$ と書くと $\gamma:=\mathrm{id}-\beta\circ\alpha$ は準同型なので $x-\beta(\alpha(x))=\gamma(x)=\sum_jr_j\bigl(e_j-\beta(\alpha(e_j))\bigr)$ である。よって $\ker\varphi$ は上の $m+k$ 個の元で生成される。$\square$

1：$x_1,\dots,x_n$ が $M$ を生成すれば、$g$ は全射なので $M''$ の元は $g\bigl(\sum_ir_ix_i\bigr)=\sum_ir_ig(x_i)$ と書け、$g(x_1),\dots,g(x_n)$ が $M''$ を生成する。
2：$x_1,\dots,x_n$ を $M'$ の生成系とし、$M''$ の生成系を $g(y_1),\dots,g(y_m)$（$y_j\in M$）の形にとる（$g$ は全射なので選べる）。$z\in M$ について、$g(z)=\sum_jr_jg(y_j)$ となる $r_j\in R$ がある。すると $g\bigl(z-\sum_jr_jy_j\bigr)=0$ なので、完全性から $z-\sum_jr_jy_j\in\ker g=f(M')$ であり、$z-\sum_jr_jy_j=f\bigl(\sum_is_ix_i\bigr)=\sum_is_if(x_i)$ と書ける。よって $z=\sum_is_if(x_i)+\sum_jr_jy_j$ であり、$f(x_1),\dots,f(x_n),y_1,\dots,y_m$ が $M$ を生成する。$\square$

1：直和が有限生成なら、各 $M_i$ は射影 $\pi_i$ による像なので、prop-fg-module-exact の 1 により有限生成である。逆は $n$ についての帰納法による。$n=1$ は明らかであり、$n\ge2$ では短完全列 $0\to M_1\oplus\cdots\oplus M_{n-1}\to M_1\oplus\cdots\oplus M_n\to M_n\to0$（左の写像は最後の成分に $0$ を付ける包含、右の写像は最後の成分への射影）に prop-fg-module-exact の 2 を当てる。
2：生成系 $z_1,\dots,z_m$ をとり、各 $z_l$ の $0$ でない成分の添字の集合の合併を $S$ とする。$S$ は有限集合である。$S$ の外の成分がすべて $0$ である元の全体は部分加群で、$z_1,\dots,z_m$ を含むので直和全体に等しい。よって $i\notin S$ なら、$M_i$ の元 $m$ を第 $i$ 成分に置いた元も $S$ の外の成分が $0$ であり、$m=0$ である。すなわち $M_i=0$ である。$\square$

$\Theta$ が加法を保つことは定義から分かる。$\pi_j\circ\iota_i$ は $i=j$ なら恒等写像、$i\ne j$ なら $0$ なので、$\pi_j\circ\Theta((g_i)_i)=g_j$ である。とくに $\Theta((g_i)_i)=0$ ならすべての $g_j=0$ であり、$\Theta$ は単射である（ここまでは $L$ が有限生成でなくても成り立つ）。
全射であること：$f\colon L\to\bigoplus_iM_i$ を準同型とし、$L$ の生成系 $x_1,\dots,x_n$ をとる。$f(x_1),\dots,f(x_n)$ の $0$ でない成分の添字の合併を $S$ とすると、$S$ は有限集合である。$S$ の外の成分が $0$ である元の全体は部分加群なので、$f(L)=Rf(x_1)+\cdots+Rf(x_n)$ もその中に入る。よって各 $y\in L$ について $f(y)=\sum_{i\in S}\iota_i(\pi_i(f(y)))$ であり、$i\notin S$ では $\pi_i\circ f=0$ である。したがって $(\pi_i\circ f)_{i\in I}$ は $\bigoplus_i\operatorname{Hom}_R(L,M_i)$ の元で、$\Theta((\pi_i\circ f)_i)=f$ である。$\square$

前半は Noether加群 の記事の定理「Noether環上の有限生成加群」そのものである（有限生成加群は Noether 加群である）。後半：prop-fg-module-surjection により全射 $\varphi\colon R^n\to M$ がある。$R^n$ は有限生成なので前半により Noether 加群であり、その部分加群 $\ker\varphi$ は有限生成である。よって $M$ は有限表示である。$\square$