速度と加速度

真上に投げたボールの、$t$ 秒後の高さが $h(t)=20t-5t^2$（メートル）だとする。速度と加速度は
$$ v(t)=h'(t)=20-10t,\qquad a(t)=v'(t)=-10 $$
である。

速度の符号は向きを表す。$0\le t<2$ では $v>0$ で上向きに動き、$t=2$ で $v=0$ となって最高点 $20$ メートルに達し、$2< t\le4$ では $v<0$ で下向きに動く。速度の絶対値 $|v|$ を速さという。$t=1$ と $t=3$ では、速さはどちらも $10$ で、向きが反対である。加速度はいつも $-10$ で、速度は 1 秒に $10$ ずつ減っていく（下向きの重力による）。

点が $P(t)=(2\cos3t,\ 2\sin3t)$ と動くとする。原点を中心とする半径 $2$ の円の上を、反時計回りに回る運動である。各座標を $t$ で微分すると（連鎖律（高校数学））
$$ \vec v(t)=(-6\sin3t,\ 6\cos3t),\qquad \vec a(t)=(-18\cos3t,\ -18\sin3t) $$
である。

1. 速さは $|\vec v|=\sqrt{36\sin^23t+36\cos^23t}=6$ で、いつも一定である。
2. 加速度は $\vec a(t)=-9\,(2\cos3t,\ 2\sin3t)=-9\,\overrightarrow{OP}$ で、いつも中心 $O$ の向きを向き、大きさは $9\cdot2=18$ である。$18=\dfrac{6^2}{2}$（速さの 2 乗 ÷ 半径）になっている。
3. $t=0$ では、点は $(2,\,0)$、速度は $(0,\,6)$（真上）、加速度は $(-18,\,0)$（中心向き）である（図1）。
   速さは一定なのに、加速度は $\vec0$ でない。速度の向きが変わり続けるからである。

ex-vac-circle-start の運動で $t=0$ とする。$h=0.01$ の平均速度は
$$ \left(\frac{2\cos0.03-2}{0.01},\ \frac{2\sin0.03}{0.01}\right)=(-0.0899\ldots,\ 5.9991\ldots) $$
で、速度 $\vec v(0)=(0,\,6)$ に近い。第 1 成分が少し負なのは、点が円に沿って左へ曲がり始めているからである。

点が $P(t)=(10t,\ 20t-5t^2)$ と動くとする（ex-vac-ball のボールを、横に毎秒 $10$ メートルで動かしながら投げた運動）。$x=10t$ から $t=\dfrac x{10}$ で、軌道は
$$ y=20\cdot\frac x{10}-5\left(\frac x{10}\right)^2=2x-\frac{x^2}{20} $$
という放物線である。
$t=1$ では、点は $(10,\,15)$、速度は $\vec v(1)=(10,\ 20-10)=(10,\,10)$ である。命題の式では、接線の傾きは $\dfrac{10}{10}=1$ である。放物線の式を微分すると $y'=2-\dfrac x{10}$ で、$x=10$ では $1$ となり、一致する。

1. ex-vac-circle-start の等速円運動では、$\vec p\cdot\vec v=2\cos3t\cdot(-6\sin3t)+2\sin3t\cdot6\cos3t=0$、$\vec v\cdot\vec a=(-6\sin3t)(-18\cos3t)+6\cos3t\cdot(-18\sin3t)=0$ で、1 と 2 の両方が成り立つ。
2. ex-vac-tangent-check の放物運動では、$\vec v=(10,\ 20-10t)$、$\vec a=(0,\,-10)$ で、$\vec v\cdot\vec a=-10(20-10t)=100t-200$ である。これは $t=2$ でだけ $0$ になり、つねに $0$ ではないので、速さは一定でない。実際、$|\vec v|^2=100+(20-10t)^2$ は $t$ によって変わる。

1. ex-vac-circle-start では $r=2$、$V=6$ で、$\dfrac{V^2}r=\dfrac{36}2=18$ である。直接計算した $|\vec a|=18$ と一致する。
2. 半径 $r$ の円を角速度 $\omega$（1 秒に $\omega$ ラジアン）で回る運動 $\bigl(r\cos\omega t,\ r\sin\omega t\bigr)$ では、速さは $V=r\omega$ で、加速度の大きさは $\dfrac{(r\omega)^2}r=r\omega^2$ である。
3. 半径 $50$ メートルのカーブを毎秒 $20$ メートルで曲がる車の加速度の大きさは $\dfrac{20^2}{50}=8$ メートル毎秒毎秒で、重力による加速度（およそ $9.8$）に近い。速さを 2 倍にすると、加速度は 4 倍になる。
4. 中心 $(1,\,2)$、半径 $3$ の円を速さ $5$ で回る運動 $\left(1+3\cos\dfrac{5t}3,\ 2+3\sin\dfrac{5t}3\right)$ では、成分を 2 回微分すると $\vec a=-\dfrac{25}9\left(3\cos\dfrac{5t}3,\ 3\sin\dfrac{5t}3\right)$ で、定理の $-\dfrac{V^2}{r^2}(\vec p-\vec c)=-\dfrac{25}{9}(\vec p-\vec c)$ と一致する。大きさは $\dfrac{25}3$ である。

点が単位円の上を $P(t)=(\cos t^2,\ \sin t^2)$（$t>0$）と動くとする。
$$ \vec v=(-2t\sin t^2,\ 2t\cos t^2),\qquad |\vec v|=2t $$
で、速さはだんだん大きくなる。$\vec a=(-4t^2\cos t^2-2\sin t^2,\ -4t^2\sin t^2+2\cos t^2)$ である。
$t=1$ では、$|\vec a|^2=(4\cos1+2\sin1)^2+(4\sin1-2\cos1)^2=16+4=20$ である。接線成分は、prop-vac-tangential により $\dfrac d{dt}(2t)=2$ で、法線成分の大きさは $\sqrt{20-2^2}=4$ である。法線成分の大きさ $4$ は、その瞬間の速さ $2$ で半径 $1$ の円を回るときの向心加速度 $\dfrac{2^2}1=4$ に等しい。
加速度は中心を向いていない（接線成分 $2$ が残る）。thm-vac-circular の仮定「速さが一定」を外すと、「加速度は中心向き」は崩れる。

ex-vac-tangent-check の運動 $\vec p(t)=(10t,\ 20t-5t^2)$（$0\le t\le4$）を調べる。速度は $\vec v=(10,\ 20-10t)$、加速度は $\vec a=(0,\,-10)$ で、加速度はいつも真下を向き、一定である。

速さは $|\vec v|=10\sqrt{(t-2)^2+1}$ で、その導関数 $\dfrac{10(t-2)}{\sqrt{(t-2)^2+1}}$ は、$t=0$ で $-\dfrac{20}{\sqrt5}=-4\sqrt5=-8.944\ldots$ である。これは表の接線成分と一致する（prop-vac-tangential）。上りでは接線成分が負で減速し、頂点 $t=2$ で $0$（加速度が速度に垂直）、下りでは正で加速する。速さは頂点で最小の $10$ になる（図2）。
横方向の速度 $10$ は変わらない。加速度の横の成分が $0$ だからである。

半径 $1$ の車輪が $x$ 軸の上を滑らずに転がり、中心が毎秒 $1$ の速さで右へ進むとする。はじめ原点にあった車輪の上の点は、$\vec p(t)=(t-\sin t,\ 1-\cos t)$ と動く（この式の導き方と、描かれる曲線サイクロイドの長さは 媒介変数表示と曲線の長さ で扱う）。

1. 速度は $\vec v=(1-\cos t,\ \sin t)$ で、速さは $|\vec v|=\sqrt{2-2\cos t}=2\left|\sin\dfrac t2\right|$ である。$t=0$、$2\pi$（点が地面に触れる瞬間）では速さ $0$ で、点は一瞬止まる。$t=\pi$（点がいちばん上にある瞬間）では $\vec v=(2,\,0)$ で、速さ $2$ は中心の速さ $1$ の 2 倍である。
2. 加速度は $\vec a=(\sin t,\ \cos t)$ で、大きさはいつも $1$ である。時刻 $t$ の車輪の中心は $(t,\,1)$ なので、
   $$ (t,\,1)-(t-\sin t,\ 1-\cos t)=(\sin t,\ \cos t)=\vec a $$
   で、加速度はいつも点から車輪の中心へ向かう（図3）。$t=0$ では速度は $\vec0$ だが、加速度は $(0,\,1)$ で、真上を向いている。
3. 2 の理由：点の位置は「中心の位置 $(t,\,1)$」と「中心から見た位置 $(-\sin t,\ -\cos t)$」の和である。中心は一定の速度 $(1,\,0)$ で動くので加速度は $\vec0$ であり、点の加速度は、中心から見た半径 $1$、速さ $1$ の等速円運動の加速度に等しい。thm-vac-circular により、それは中心向きで大きさ $\dfrac{1^2}1=1$ である。

1. $\vec p(t)=(t^3,\ t^2)$ とする。$\vec v=(3t^2,\ 2t)$ で、$t=0$ で $\vec v=\vec0$ である。$t\ne0$ では $\vec v=t\,(3t,\ 2)$ で、$t\to0$ のとき向きは $(0,\,\pm1)$ に近づく。$t<0$ では点は上から原点へ下りてきて、$t>0$ では原点から上へ戻っていく。曲線 $y=\bigl(\sqrt[3]x\bigr)^2$（$y=\lvert x\rvert^{\frac23}$）は原点でとがっていて（尖点）、1 本の接線をもたない。
2. $\vec p(t)=(t^3,\ t^3)$ とする。点は直線 $y=x$ の上を動き、曲線はなめらかで接線は $y=x$ である。しかし $t=0$ で $\vec v=(0,\,0)$ なので、速度から接線の向きは読めない。
   1 では曲線がとがり、2 では曲線はなめらかである。どちらも $t=0$ で $\vec v=\vec0$ なので、prop-vac-tangent の仮定（$x'(t_0)\ne0$ または $y'(t_0)\ne0$）を満たさない。速度が $\vec0$ になる時刻では、曲線の形は速度だけからは分からない。ex-vac-cycloid の $t=0$ も、同じく速度が $\vec0$ になる時刻で、サイクロイドは地面に触れる点でとがっている。

$\vec p(t)=(2\cos t,\ \sin t)$ は楕円 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ の上を 1 周 $2\pi$ 秒で回る。$\vec v=(-2\sin t,\ \cos t)$、$\vec a=(-2\cos t,\ -\sin t)=-\vec p$ で、加速度はいつも原点を向く。

1. $xy'-yx'=2\cos t\cdot\cos t-\sin t\cdot(-2\sin t)=2(\cos^2t+\sin^2t)=2$ で一定である。面積速度は $1$ である。
2. 1 周（$2\pi$ 秒）で掃く面積は $1\cdot2\pi=2\pi$ である。楕円の面積 $\pi\cdot2\cdot1=2\pi$ と一致する。
3. 速さは、原点から遠い点 $(2,\,0)$（$t=0$）では $1$、原点に近い点 $(0,\,1)$（$t=\frac\pi2$）では $2$ である。面積速度が一定なので、原点に近いところでは速く動く。
   この運動の加速度は原点からの距離に比例する（$\vec a=-\vec p$）。惑星の運動では、力は太陽からの距離の 2 乗に反比例し、太陽は楕円の中心ではなく焦点にある（2次曲線の焦点と準線 の極方程式）。どちらの場合も、命題の仮定（加速度が位置ベクトルに平行）は満たされるので、面積速度は一定である。