結晶群

要点：$\mathrm{O}(n)$ はコンパクトなので、$\lvert b\rvert\le r$ の元が無限個あれば収束する部分列がとれ、隣どうしの商が単位元に収束して離散性に反する。

$A\neq I$ とし、位数を $N>1$ とする。素数 $\ell\mid N$ をとると $A^{N/\ell}$ は位数 $\ell$ で、やはり $I$ と法 $m$ で合同なので、はじめから $A$ の位数が素数 $\ell$ だとしてよい。$A-I\neq0$ の成分がすべて $m^k$ で割り切れる最大の $k\ge1$ をとり、$A=I+m^kB$（$B$ は整数行列で、$m$ で割り切れない成分をもつ）と書く。$I$ と $B$ は可換なので
$$ 0=A^\ell-I=\ell m^kB+\sum_{j=2}^{\ell}\binom{\ell}{j}m^{jk}B^j,\qquad\text{よって}\qquad \ell B=-\sum_{j=2}^{\ell}\binom{\ell}{j}m^{(j-1)k}B^j $$
である。
$\ell\nmid m$ のとき：右辺の各項は $m^{(j-1)k}$（$j\ge2$）を含むので $m^k$ で割り切れる。$\ell$ と $m$ は互いに素なので $B$ の成分は $m^k$ で割り切れ、$B$ の取り方に反する。
$\ell\mid m$ のとき：$m$ は奇数なので $\ell\ge3$ である。$2\le j\le\ell-1$ の項は $\binom{\ell}{j}$ が $\ell$ で割り切れるので $\ell m^k$ で割り切れる。$j=\ell$ の項 $m^{(\ell-1)k}B^\ell=m^k\cdot m^{(\ell-2)k}B^\ell$ は、$(\ell-2)k\ge1$ と $\ell\mid m$ から $\ell m^k$ で割り切れる。よって $\ell B$ は $\ell m^k$ で割り切れ、$B$ は $m^k$ で割り切れて矛盾する。
後半：有限部分群の元で法 $3$ の像が $I$ のものは前半により $I$ なので、還元の写像は単射である。$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_3)$ の位数は、第 $i+1$ 列を前の $i$ 列の張る部分空間（$3^i$ 元）の外から選ぶ方法の数の積である。$\square$

1：(C1) により $\{v\in T\mid\lvert v\rvert\le r\}$ は有限なので、$T$ は $\mathbb{R}^n$ の離散部分群で、$\mathbb{R}^n$ を張るので格子である（格子(群) の定理「格子であるための条件」の 2 から 1）。平行移動の全体は $\lambda|_\Gamma$ の核なので正規部分群で、準同型定理から $\Gamma/T\cong P$ である。
2：$(A,b)\in\Gamma$ と $v\in T$ について $(A,b)t_v(A,b)^{-1}=t_{Av}\in\Gamma$ なので $A(T)\subset T$ で、$A^{-1}\in P$ にも同じことが言えるので $A(T)=T$ である。$T$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ について $Ae_j\in T$ なので、$A$ を基底で表した行列は整数行列で、その逆行列（$A^{-1}$ の行列）も整数行列である。$e_1,\dots,e_n$ は $\mathbb{R}^n$ の基底なので、行列が単位行列なら $A=I$ で、写像は単射準同型である。
3：$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ の有限部分群の位数は lem-cg-minkowski により $\lvert\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_3)\rvert$ 以下なので、$P$ が有限であることを示せばよい。$r:=\max_j\lvert e_j\rvert$、$S:=\{v\in T\mid\lvert v\rvert\le r\}$ とすると $S$ は有限集合で、$A\in P$ は長さを保ち $A(T)=T$ なので $A(S)=S$ である。$A$ は $e_1,\dots,e_n\in S$ の像で決まるので、$A\mapsto A|_S$ は単射で、$\lvert P\rvert\le\lvert S\rvert!$ である。$\square$

1：$A\in P_\Gamma$ について、線形部分が $A$ の元 $\gamma_A=(A,b_A)$ を 1 つとると、線形部分が $A$ の元の全体は $t_v\gamma_A=(A,v+b_A)$（$v\in T_\Gamma$）である。$\lvert v+b_A\rvert\le r$ となる $v\in T_\Gamma$ は有限個（格子は離散）で、$A$ も有限個なので (C1) が成り立つ。$T_\Gamma$ の基本平行体の閉包はコンパクトで、平行移動 $t_v$（$v\in T_\Gamma$）で $\mathbb{R}^n$ を覆うので、それを含む閉球について (C2) が成り立つ。
2：$A(L)=L$ から $(A,v)(A',v')=(AA',Av'+v)$ と $(A,v)^{-1}=(A^{-1},-A^{-1}v)$ は $L\rtimes P$ に属し、部分群である。平行移動であるのは $A=I$ の元だけなので $T=L$、点群は $P$ で、1 により結晶群である。$\square$

$\Gamma$ を 1 次元の結晶群とする。$\mathrm{O}(1)=\{\pm1\}$ である。$T_\Gamma=\{0\}$ なら $\lambda|_\Gamma$ は単射で $\lvert\Gamma\rvert\le2$ となり、(C2) の閉区間を有限個動かしても $\mathbb{R}$ を覆えないので矛盾する。よって $T_\Gamma\neq\{0\}$ は $\mathbb{R}$ を張る離散部分群で、thm-cg-structure の 1 により $T_\Gamma=a\mathbb{Z}$（$a>0$）である。$P_\Gamma=\{1\}$ なら $\Gamma=\{t_v\mid v\in a\mathbb{Z}\}\cong\mathbb{Z}$ である。$P_\Gamma=\{\pm1\}$ なら $\sigma=(-1,b)\in\Gamma$ があり、$\sigma^2=(1,-b+b)=1$、$\sigma t_v\sigma^{-1}=t_{-v}$ で、$\Gamma=\{t_v\}\sqcup\{t_v\sigma\}$ は $a\mathbb{Z}\rtimes\{\pm1\}$ と同型である。$x\mapsto ax+\frac b2$ で座標を取り替えると、$\Gamma$ は $x\mapsto\pm x+k$（$k\in\mathbb{Z}$）の群に移る。$D_\infty$ は位数 2 の元 $\sigma$ をもち、$\mathbb{Z}$ はもたないので、2 つは同型でない。どちらも prop-cg-semidirect の 2 により結晶群である。$\square$

$\gamma\neq1$ が点 $x$ を固定すれば、lem-cg-discrete により作用は固有不連続なので、$K=\{x\}$ について安定化群 $\Gamma_x$ は有限で、$\gamma$ は位数有限である。逆に $\gamma=(A,b)$ が位数 $m>1$ なら、任意の $x_0$ について重心 $c:=\frac1m\sum_{k=0}^{m-1}\gamma^kx_0$ をとると、$\gamma$ はアフィン写像なので $\gamma c=\frac1m\sum_{k=0}^{m-1}\gamma^{k+1}x_0=c$（$\gamma^m=1$）で、$\gamma$ は固定点をもつ。$\square$

thm-cg-bieberbach の 1 と thm-cg-structure の 2 により、$A\in P_\Gamma$ を $T_\Gamma$ の基底で表した行列は整数行列なので、トレースは整数である。$\det A=1$ なら $A$ は軸のまわりの角 $\varphi$ の回転で、トレースは $1+2\cos\varphi$ なので $2\cos\varphi\in\{-2,-1,0,1,2\}$、位数は $1,2,3,4,6$ である（壁紙群 の定理「点群の結晶学的制限」の 4 と同じ）。$\det A=-1$ なら $B:=-A$ は回転で、トレースが整数なので同じく位数 $\mathrm{ord}(B)\in\{1,2,3,4,6\}$ である。$A^k=(-1)^kB^k$ が $I$ になるのは、$-I\notin\mathrm{SO}(3)$ なので $k$ が偶数で $B^k=I$ のときに限り、$A$ の位数は $\mathrm{ord}(B)$ と $2$ の最小公倍数で、$2,2,6,4,6$ のどれかである。$\square$