馬蹄補題

$Q''$ は射影的で $q$ はエピ射なので、$q\circ\lambda=e''$ となる射 $\lambda\colon Q''\to K$ がある。$e:=(j\circ e',\ \lambda)\colon Q'\oplus Q''\to K$ とおく。第 1 成分は $j\circ e'$ で、$q\circ e=(q\circ j\circ e',\ q\circ\lambda)=(0,\ e'')=e''\circ\mathrm{pr}_2$ なので 1 が成り立つ。
次の図式を考える。上の行は直和の分裂する短完全列、下の行は与えられた短完全列で、縦の射は $e'$、$e$、$e''$ である。
$$ \begin{array}{ccccccccc} 0&\to&Q'&\xrightarrow{\mathrm{in}_1}&Q'\oplus Q''&\xrightarrow{\mathrm{pr}_2}&Q''&\to&0\\ &&\downarrow{\scriptstyle e'}&&\downarrow{\scriptstyle e}&&\downarrow{\scriptstyle e''}&&\\ 0&\to&K'&\xrightarrow{j}&K&\xrightarrow{q}&K''&\to&0 \end{array} $$
1 により 2 つの四角は可換である。蛇の補題 の定理「蛇の補題」から
$$ 0\to\ker e'\to\ker e\to\ker e''\to\operatorname{coker}e'\to\operatorname{coker}e\to\operatorname{coker}e''\to0 $$
は完全である。$e'$、$e''$ はエピ射なので $\operatorname{coker}e'=\operatorname{coker}e''=0$ であり、完全性から $\operatorname{coker}e=0$、すなわち $e$ はエピ射である。また $\ker e''\to\operatorname{coker}e'=0$ なので、核の列は短完全列である。$\square$

$K'_{-1}:=A'$、$K_{-1}:=A$、$K''_{-1}:=A''$ とし、$d'_0:=\varepsilon'$、$d''_0:=\varepsilon''$ とおく。$n\ge0$ について、$P'$ と $P''$ の完全性から
$$ d'_n\colon P'_n\to K'_{n-1}:=\ker d'_{n-1},\qquad d''_n\colon P''_n\to K''_{n-1}:=\ker d''_{n-1} $$
はエピ射である（$n=0$ では $\varepsilon'$、$\varepsilon''$ がエピ射であること、$n\ge1$ では $\operatorname{im}d'_n=\ker d'_{n-1}$ による）。
$n$ について帰納的に、エピ射 $e_n\colon P_n=P'_n\oplus P''_n\to K_{n-1}$ と短完全列 $0\to K'_{n}\to K_{n}\to K''_{n}\to0$（$K_n:=\ker e_n$）を作る。$n=0$ では、もとの短完全列と $e'=\varepsilon'$、$e''=\varepsilon''$ に lem-horseshoe-step を当てて $e_0=:\varepsilon$ を得る。核の列 $0\to\ker\varepsilon'\to\ker\varepsilon\to\ker\varepsilon''\to0$ は $0\to K'_0\to K_0\to K''_0\to0$ である。$n\ge1$ では、前の段で得た短完全列 $0\to K'_{n-1}\to K_{n-1}\to K''_{n-1}\to0$ と、エピ射 $d'_n$、$d''_n$ に同じ補題を当てる。$P''_n$ は射影的なので補題の仮定はみたされ、$e_n$ と、核の短完全列 $0\to\ker d'_n\to\ker e_n\to\ker d''_n\to0$、すなわち $0\to K'_n\to K_n\to K''_n\to0$ が得られる。
$n\ge1$ について $d_n\colon P_n\xrightarrow{e_n}K_{n-1}\hookrightarrow P_{n-1}$ と定める。
分解であること。$K_{n-1}\hookrightarrow P_{n-1}$ はモノ射なので $\ker d_n=\ker e_n=K_n$ であり、$e_{n+1}$ はエピ射なので $\operatorname{im}d_{n+1}=K_n$ である。よって $\operatorname{im}d_{n+1}=\ker d_n$（$n\ge1$）、$\operatorname{im}d_1=K_0=\ker\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ はエピ射である。$d_{n-1}d_n=0$ も $\operatorname{im}d_n\subset\ker d_{n-1}$ から従う。$P_n=P'_n\oplus P''_n$ は射影対象の直和なので射影的である。よって $\varepsilon\colon P\to A$ は射影分解である。
$\iota$、$\rho$ が鎖写像であること。核の列の射 $K'_{n-1}\to K_{n-1}\to K''_{n-1}$ は、包含 $\iota_{n-1}$ と射影 $\rho_{n-1}$ を核に制限したものである。補題の 1 から $e_n\circ\iota_n$ は $d'_n\colon P'_n\to K'_{n-1}$ と $K'_{n-1}\to K_{n-1}$ の合成なので、$K_{n-1}\hookrightarrow P_{n-1}$ と合成して $d_n\circ\iota_n=\iota_{n-1}\circ d'_n$ を得る。同様に、補題の 1 の後半を $P''_{n-1}$ への包含と合成すると $\rho_{n-1}\circ d_n=d''_n\circ\rho_n$ である。$n=0$ の段の補題の 1 は、主張の 2 そのものである。$\square$

要点：反対圏 で thm-horseshoe-lemma を使う。

要点：分裂すれば各段の核が直和に分かれ、逆に $P=P'\oplus P''$ なら $0$ 次のホモロジーをとって分裂を得る。

要点：次数ごとに分裂する短完全列は加法関手で保たれるので、$F$ を施しても複体の短完全列のままである。