格子点をちょうど n 個通る円

1. 円 $x^2+y^2=25$。$x=0,\pm1,\dots,\pm5$ について $y^2=25-x^2$ が平方数になるかを調べる。$x=0$ で $y=\pm5$、$x=\pm3$ で $y^2=16$ から $y=\pm4$、$x=\pm4$ で $y^2=9$ から $y=\pm3$、$x=\pm5$ で $y=0$ である。$x=\pm1,\pm2$ では $y^2=24,21$ で平方数でない。格子点は
   $$ (0,\pm5),\ (\pm5,0),\ (\pm3,\pm4),\ (\pm4,\pm3) $$
   の $12$ 個である。
2. 円 $x^2+y^2=5$。$x=\pm1$ で $y=\pm2$、$x=\pm2$ で $y=\pm1$ で、格子点は $8$ 個である。
3. 円 $x^2+y^2=3$。$x=0,\pm1$ で $y^2=3,2$ はどちらも平方数でないので、格子点は $0$ 個である。

中心 $\left(\dfrac13,0\right)$、半径 $\dfrac53$ の円
$$ \left(x-\frac13\right)^2+y^2=\frac{25}9 $$
を考える。両辺を $9$ 倍すると $(3x-1)^2+(3y)^2=25$ である。$(-1,1)$ を代入すると $(-4)^2+3^2=25$、$(-1,-1)$ でも同じく $25$、$(2,0)$ では $5^2+0^2=25$ で、この 3 点は円の上にある。
ほかに格子点がないことは、次のように確かめる。格子点 $(x,y)$ が円の上にあれば、$u=3x-1$、$v=3y$ は $u^2+v^2=25$ を満たす整数で、ex-sch-start (1) の 12 組のどれかである。そのうち $v$ が $3$ の倍数なのは $(\pm5,0)$、$(\pm4,\pm3)$ の 6 組で、さらに $u=3x-1$ から $u$ を $3$ で割った余りは $2$ でなければならない。$5,-4$ は $3$ で割って $2$ 余り（$-4=3\cdot(-2)+2$）、$-5,4$ は $1$ 余る。残るのは $(5,0)$、$(-4,\pm3)$ の 3 組で、それぞれ $(x,y)=(2,0)$、$(-1,\pm1)$ に当たる。よって格子点はちょうど $3$ 個である。

1. $S_0$：$u^2+v^2=1$ の解は $(\pm1,0)$、$(0,\pm1)$ の $4$ 組。
2. $S_1$：$u^2+v^2=5$ の解は $(\pm1,\pm2)$、$(\pm2,\pm1)$ の $8$ 組（ex-sch-start (2)）。
3. $S_2$：$u^2+v^2=25$ の解は $(0,\pm5)$、$(\pm5,0)$、$(\pm3,\pm4)$、$(\pm4,\pm3)$ の $12$ 組（ex-sch-start (1)）。
   個数は $4$、$8$、$12$ と $4$ ずつ増えている。

$S_1$ の $(2,1)$ に当てはめると、$\varphi_+(2,1)=(4-1,\ 2+2)=(3,4)$、$\varphi_-(2,1)=(4+1,\ -2+2)=(5,0)$ である。どちらも $3^2+4^2=5^2+0^2=25$ で $S_2$ に入る。
逆向きに、$S_2$ の $(3,4)$ は $2u+v=10$ が $5$ の倍数なので $\varphi_+$ の像で、もとの組は $\left(\frac{10}5,\frac{-3+8}5\right)=(2,1)$ である。$2u-v=2$ は $5$ の倍数でないので、$(3,4)$ は $\varphi_-$ の像ではない。$S_2$ の $(5,0)$ は $2u+v=10$、$2u-v=10$ がどちらも $5$ の倍数なので、$\varphi_+$ の像でも $\varphi_-$ の像でもある（$\varphi_+(2,-1)=(5,0)$、$\varphi_-(2,1)=(5,0)$）。

$\lvert S_m\rvert$ と、prf-sch-count の $A$、$B$、$A\cap B$ の個数を、コンピュータで解を全部書き出して数えると次のとおりである。

たとえば $m=3$ では、$125=2^2+11^2=5^2+10^2$ から、$(\pm2,\pm11)$、$(\pm11,\pm2)$、$(\pm5,\pm10)$、$(\pm10,\pm5)$ の $16$ 組である。右端の列は、次の節で使う「$u$ が奇数の解」の個数で、どの行でも $\lvert S_m\rvert$ のちょうど半分である。

1. $n=4$（$k=2$）。円 $\left(x-\dfrac12\right)^2+y^2=\dfrac54$。$S_1$ の解のうち $u$ が奇数のものは $(\pm1,\pm2)$ の $4$ 組で、$x=\dfrac{u+1}2$、$y=\dfrac v2$ から格子点は $(1,\pm1)$、$(0,\pm1)$ の $4$ 個である。
2. $n=6$（$k=3$）。円 $\left(x-\dfrac12\right)^2+y^2=\dfrac{25}4$。$S_2$ の解のうち $u$ が奇数のものは $(\pm5,0)$、$(\pm3,\pm4)$ の $6$ 組で、格子点は $(3,0)$、$(-2,0)$、$(2,\pm2)$、$(-1,\pm2)$ の $6$ 個である。たとえば $(2,2)$ は $\left(\dfrac32\right)^2+2^2=\dfrac94+\dfrac{16}4=\dfrac{25}4$ を満たす。
3. $n=3$（$k=1$）は ex-sch-three の円で、格子点は $(2,0)$、$(-1,\pm1)$ の $3$ 個である。
   $n=1$ と $n=5$ の円を開く

   (4) $n=1$（$k=0$）。円 $\left(x-\dfrac13\right)^2+y^2=\dfrac19$。$S_0$ の解のうち $v$ が $3$ の倍数で $u$ の余りが $2$ のものは $(-1,0)$ だけで、格子点は $(0,0)$ の $1$ 個である。

   (5) $n=5$（$k=2$）。円 $\left(x-\dfrac13\right)^2+y^2=\dfrac{625}9$。$S_4$ の $20$ 個の解のうち、$v$ が $3$ の倍数で $u$ の余りが $2$ のものは $(-25,0)$、$(-7,\pm24)$、$(20,\pm15)$ の $5$ 組で、格子点は $(-8,0)$、$(-2,\pm8)$、$(7,\pm5)$ の $5$ 個である。$S_4$ の解は、$625=0^2+25^2=7^2+24^2=15^2+20^2$ から、$(0,\pm25)$、$(\pm25,0)$、$(\pm7,\pm24)$、$(\pm24,\pm7)$、$(\pm15,\pm20)$、$(\pm20,\pm15)$ の $2+2+4+4+4+4=20$ 組である。$v$ が $3$ の倍数なのは $(\pm25,0)$、$(\pm7,\pm24)$、$(\pm20,\pm15)$ の $10$ 組で、そのうち $u$ を $3$ で割った余りが $2$ なのは $u=-25,-7,20$ の $5$ 組である（$-25=3\cdot(-9)+2$、$-7=3\cdot(-3)+2$、$20=3\cdot6+2$）。

中心が原点で半径が正の円の上の格子点 $(x,y)$ をとる。原点のまわりに $90^\circ$ ずつ回すと
$$ (x,y)\to(-y,x)\to(-x,-y)\to(y,-x)\to(x,y) $$
ともとにもどる。4 点はどれも格子点で、原点からの距離が同じなので同じ円の上にある。4 点のうち 2 点が一致するなら、$(x,y)=(-y,x)$ または $(x,y)=(-x,-y)$ などから $x=y=0$ となり、半径が正であることに反する。よって 4 点は異なり、格子点は 4 個ずつの組に分かれる（2 つの組が 1 点を共有すれば、回し続けて組全体が一致する）。したがって個数は $4$ の倍数で、$1,2,3,5,6,7,\dots$ 個にはならない。ex-sch-start の $12$、$8$、$0$ がその例である。
中心がほかの格子点 $(p,q)$ でも、平行移動 $(x,y)\mapsto(x-p,y-q)$ は格子点を格子点に移すので、同じく $4$ の倍数である。

中心が $\left(\dfrac12,0\right)$ の円は、直線 $x=\dfrac12$ に関して対称である。この折り返しは点 $(x,y)$ を $(1-x,y)$ に移し、格子点を格子点に移す。格子点 $(x,y)$ が $(1-x,y)$ と一致するのは $x=\dfrac12$ のときだけで、これは整数でないので、どの格子点も自分とは異なる格子点と組になる。したがって円の上の格子点の個数は偶数である（図 4 は thm-sch-main の $n=6$ の円で、6 個が 3 組に分かれている）。thm-sch-main (2) の円は中心が $\left(\dfrac13,0\right)$ で、残る対称性は $x$ 軸に関する折り返し $(x,y)\mapsto(x,-y)$ だけである。この折り返しで自分自身と組になるのは $x$ 軸の上の格子点で、円と $x$ 軸の交点 $\dfrac13\pm R$（$R$ は半径）は、和が $\dfrac23$ で整数でないので、多くても一方しか整数にならない。$x$ 軸の上の格子点がちょうど 1 個のとき、個数が奇数になる。

thm-sch-main (2) の $5^{2k}$ を $5^1$ に取りかえた円 $\left(x-\dfrac13\right)^2+y^2=\dfrac59$ には、格子点が $1$ 個もない。$9$ 倍すると $(3x-1)^2+(3y)^2=5$ で、$S_1$ の解 $(\pm1,\pm2)$、$(\pm2,\pm1)$ には $v$ が $3$ の倍数のものがないからである。一般に、$5$ の奇数乗を $3$ で割った余りは $2$ で（$5=3+2$、$25$ の余りは $1$）、平方の余りの和が $2$ になるのは $1+1$ のときだけなので、$u,v$ はどちらも $3$ の倍数にならない。prf-sch-main の段 4 で「$5^{2k}$ の余りが $1$」を使ったのはこのためである。

thm-sch-main (1) の $k=3$ の円で、$5^2$ を $3^2$ に取りかえた円 $\left(x-\dfrac12\right)^2+y^2=\dfrac94$ を考える。$4$ 倍すると $(2x-1)^2+(2y)^2=9$ で、$u^2+v^2=9$ の整数解は $(\pm3,0)$、$(0,\pm3)$ の $4$ 組しかない（$v=\pm1,\pm2$ では $u^2=8,5$ が平方数でない）。$u$ が奇数のものは $(\pm3,0)$ の $2$ 組で、格子点は $(2,0)$、$(-1,0)$ の $2$ 個であり、$n=6$ 個にならない。
$u^2+v^2=3^m$ の解は増えない。$m\ge1$ なら $u^2+v^2$ は $3$ の倍数で、平方を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ なので、余りの和が $0$ になるのは $u,v$ がともに $3$ の倍数のときだけである。$u=3u'$、$v=3v'$ とおくと $u'^2+v'^2=3^{m-2}$ となり、これをくり返すと、解は $m$ が偶数なら $(\pm3^{m/2},0)$、$(0,\pm3^{m/2})$ の $4$ 組、$m$ が奇数なら $0$ 組である（$3=u^2+v^2$ の整数解はない）。$5=1^2+2^2$ と書けることが、lem-sch-maps の対応 $\varphi_\pm$ を作れる理由であった。