Fredholm作用素

$U:=\ker T$ は閉部分空間で、商 $V/U$ は Banach 空間である（開写像定理 の記事の命題「商空間の完備性と商写像」）。$\operatorname{ran}T$ の代数的な補空間 $F$（$W=\operatorname{ran}T\oplus F$、$\dim F=r<\infty$）をとり、基底 $f_1,\dots,f_r$ を固定して、
$$ \Phi\colon V/U\oplus\mathbb K^r\to W,\qquad \Phi(x+U,a):=Tx+\sum_{i=1}^ra_if_i $$
とおく（$\mathbb K$ は係数体、左辺にはノルム $\|x+U\|+|a|$ を入れる）。$\Phi$ は代表元によらず、有界で、$\operatorname{ran}T+F=W$ から全射、$\operatorname{ran}T\cap F=0$ と $f_i$ の一次独立性と $\ker T=U$ から単射である。Banach 空間の間の有界な全単射なので、有界逆写像定理 により $\Phi^{-1}$ も有界である。$\operatorname{ran}T=\Phi(V/U\oplus0)$ は、閉部分空間 $V/U\oplus0$ の同相写像 $\Phi$ による像なので閉じている。$\square$

1：$y\in V\setminus U$ をとる。$U$ は閉なので $d:=\operatorname{dist}(y,U)>0$ である。$d/\theta>d$ だから $\|y-u_0\|< d/\theta$ となる $u_0\in U$ がある。$x:=(y-u_0)/\|y-u_0\|$ とおくと、$u\in U$ について $u_0+\|y-u_0\|u\in U$ なので
$$ \|x-u\|=\frac{\|y-(u_0+\|y-u_0\|u)\|}{\|y-u_0\|}\ge\frac{d}{\|y-u_0\|}>\theta . $$
2：$V$ が無限次元なら、一次独立な列 $y_1,y_2,\dots$ があり、$V_j:=\operatorname{span}(y_1,\dots,y_j)$ は有限次元なので閉じている（有限次元のノルム空間は完備。Banach空間 の記事の例「有限次元のノルム空間」と命題「閉部分空間と完備性」）。$V_{j-1}\subsetneq V_j$ に 1 を $\theta=1/2$ で当てて、$x_j\in V_j$、$\|x_j\|=1$、$\operatorname{dist}(x_j,V_{j-1})\ge1/2$ をとる。$i< j$ なら $x_i\in V_{j-1}$ なので $\|x_j-x_i\|\ge1/2$ であり、有界列 $(x_j)$ は収束する部分列をもたない。$\square$

要点：$KK^*$ はコンパクトなので、有界列 $(y_j)$ について $(KK^*y_j)$ が収束する部分列をとると、$\|K^*y\|^2=\langle KK^*y,y\rangle$ から $(K^*y_j)$ も Cauchy 列になる。

要点：1 は $E$ の基底の座標関数を Hahn–Banach の延長定理で $V$ 全体の連続線形汎関数に延ばし、その共通の核を $V_1$ とする。2 は、有限次元の $F$ は閉じているので、閉部分空間への直和分解の射影の有界性に帰着する。

分解．lem-fred-complement により、閉部分空間 $V_1$ と有限次元部分空間 $W_0$ で
$$ V=V_1\oplus\ker T,\qquad W=\operatorname{ran}T\oplus W_0 $$
となるものをとる。$d:=\dim\ker T$、$e:=\dim W_0=\dim\operatorname{coker}T$ とおく。$V_1\oplus W_0$ にノルム $\|v\|+\|w\|$ を入れた Banach 空間から $W$ への有界作用素
$$ \tau_S\colon V_1\oplus W_0\to W,\qquad \tau_S(v,w):=Sv+w $$
を考える。
$\tau_T$ は同型．$Tv+w=0$ なら $Tv=-w\in\operatorname{ran}T\cap W_0=0$ なので $w=0$、$v\in\ker T\cap V_1=0$。よって単射。$W=T(V)+W_0=T(V_1)+W_0$ なので全射。有界逆写像定理 により $\tau_T^{-1}$ は有界である。
$\tau_S$ も同型．$\|\tau_S-\tau_T\|\le\|S-T\|$ なので、$\varepsilon:=\|\tau_T^{-1}\|^{-1}$ とすれば、$\|S-T\|<\varepsilon$ のとき 有界逆写像定理 の記事の命題「可逆性を保つ摂動」により $\tau_S$ も有界な全単射である。以下この $S$ を考える。
$S$ の像．$S(V_1)=\tau_S(V_1\oplus0)$ は閉じていて、$W=S(V_1)\oplus\tau_S(0\oplus W_0)=S(V_1)\oplus W_0$ だから $S(V_1)$ の余次元は $e$ である。また $\tau_S$ の単射性から $\ker S\cap V_1=0$ である。
$S$ の核．商写像 $V\to V/V_1$ を $\ker S$ に制限すると、核が $\ker S\cap V_1=0$ なので単射であり、$\dim V/V_1=d$ から $\dim\ker S\le d$ である。$V_1\oplus\ker S$ は $V$ の部分空間で、$V/V_1$ は $d$ 次元だから、$\dim Z=d-\dim\ker S$ の部分空間 $Z$ があって
$$ V=V_1\oplus\ker S\oplus Z $$
となる。$S$ は $V_1\oplus Z$ の上で単射である（$S(v+z)=0$ なら $v+z\in\ker S$、直和性から $v+z=0$）。
数える．$S(V)=S(V_1)\oplus S(Z)$ で、$\dim S(Z)=\dim Z$ である。$W=S(V_1)\oplus W_0$ で $S(V)\supset S(V_1)$ だから、$S(V)$ の余次元は $e$ から $\dim S(V)/S(V_1)=\dim S(Z)$ を引いたもので、
$$ \dim\operatorname{coker}S=e-\dim Z\le e $$
である。余次元が有限なので、prop-fred-closed-auto により $S(V)$ は閉じている。よって $S$ は Fredholm 作用素で、
$$ \operatorname{ind}S=\dim\ker S-(e-\dim Z)=\dim\ker S+(d-\dim\ker S)-e=d-e=\operatorname{ind}T .\ \square $$

thm-fred-stability により $t\mapsto\operatorname{ind}T_t$ は局所定数な整数値関数である。局所定数な関数の値ごとの逆像は開集合なので、連結な $[0,1]$ の上では一定である。連結成分についても同じ議論による。$\square$

核．$x\in\ker A$ なら $\|x\|\le C\|Kx\|$ である。$\ker A$ の有界列 $(x_j)$ について、部分列をとって $(Kx_j)$ が収束するとすれば、$\|x_i-x_j\|\le C\|Kx_i-Kx_j\|$ から $(x_j)$ は Cauchy 列で、閉部分空間 $\ker A$ の中で収束する。lem-fred-riesz の 2 により $\ker A$ は有限次元である。
像．lem-fred-complement の 1 により $V=V_1\oplus\ker A$（$V_1$ は閉）とする。ある $c>0$ で $\|Ax\|\ge c\|x\|$（$x\in V_1$）となることを示せば、$V_1$ は Banach 空間で $A|_{V_1}$ は単射なので、開写像定理 の記事の命題「下からの評価と閉な像」により $\operatorname{ran}A=A(V_1)$ は閉じている。そのような $c$ がないとすると、$x_j\in V_1$、$\|x_j\|=1$、$Ax_j\to0$ となる列がある。部分列をとって $(Kx_j)$ が収束するとすれば、仮定の評価を $x_i-x_j$ に当てて $(x_j)$ は Cauchy 列になり、$x_j\to x\in V_1$、$\|x\|=1$、$Ax=0$ となる。$x\in V_1\cap\ker A=0$ なので矛盾である。$\square$

要点：$(\ker T)^\perp$ の元 $y$ に対し、$Tx\mapsto\langle x,y\rangle$ が $\operatorname{ran}T$ 上の有界線形汎関数になることを下からの評価で示し、Riesz の表現定理で $T^*z=y$ となる $z$ を作る。

核と像．$P$ を有限次元の閉部分空間 $\ker T$ への直交射影とする（有限階なのでコンパクト）。$x=x_1+Px$（$x_1\perp\ker T$）と分けると、prf-fred-adjoint と同じく $\|Tx_1\|\ge c\|x_1\|$ なので
$$ \|x\|\le\|x_1\|+\|Px\|\le c^{-1}\|Tx\|+\|Px\|\le c^{-1}\|(T+K)x\|+c^{-1}\|Kx\|+\|Px\| . $$
$K'x:=(Kx,Px)$ は $H_1$ から $H_2\oplus\ker T$ へのコンパクト作用素なので、lem-fred-estimate により $\ker(T+K)$ は有限次元、$\operatorname{ran}(T+K)$ は閉じている。
余核．lem-fred-adjoint により $T^*$ は Fredholm 作用素で、lem-fred-adjoint-compact により $K^*$ はコンパクトである。上の議論を $T^*+K^*=(T+K)^*$ に当てれば $\ker(T+K)^*$ は有限次元である。$\operatorname{ran}(T+K)$ は閉なので、その余核は $\ker(T+K)^*$ と同一視でき、有限次元である。よって $T+K$ は Fredholm 作用素である。
指数．$t\in[0,1]$ について $tK$ もコンパクトなので、同じ議論で $T+tK$ は Fredholm 作用素であり、$t\mapsto T+tK$ はノルム連続である。cor-fred-homotopy により $\operatorname{ind}(T+K)=\operatorname{ind}T$ である。$\square$

$\lambda I$ は指数 $0$ の Fredholm 作用素（全単射）で、$-K$ はコンパクトなので、thm-fred-compact-perturbation により $\operatorname{ind}(\lambda I-K)=0$ である。単射なら核が $0$ なので余核も $0$、すなわち全射であり、逆も同様である。2 は $\operatorname{ind}=0$ を lem-fred-adjoint の $\operatorname{coker}\cong\ker(\lambda I-K)^*=\ker(\bar\lambda I-K^*)$ で書き直したものである。$\square$

1 ⇒ 2．$T$ を $(\ker T)^\perp$ から $\operatorname{ran}T$ への写像とみると有界な全単射なので、有界逆写像定理 により逆 $T_0^{-1}$ は有界である。$S:=T_0^{-1}Q$（$Q$ は $\operatorname{ran}T$ への直交射影）とおくと
$$ ST=I-P_{\ker T},\qquad TS=I-P_{\ker T^*} $$
であり（$P_E$ は $E$ への直交射影）、$\ker T$ と $\ker T^*$ は有限次元なので右辺の $P$ は有限階、したがってコンパクトである。
2 ⇒ 1．$ST=I+K_1$、$TS=I+K_2$（$K_1,K_2$ はコンパクト）とする。$\|x\|\le\|STx\|+\|K_1x\|\le\|S\|\,\|Tx\|+\|K_1x\|$ なので、lem-fred-estimate により $\ker T$ は有限次元、$\operatorname{ran}T$ は閉じている。また $\operatorname{ran}T\supset\operatorname{ran}(TS)=\operatorname{ran}(I+K_2)$ で、cor-fred-alternative により $I+K_2$ は Fredholm 作用素なので、$\operatorname{ran}T$ の余次元は有限である。
指数．$S$ についても $TS-I$、$ST-I$ がコンパクトなので、同じ議論で $S$ は Fredholm 作用素である。$ST=I+K_1$ の指数は thm-fred-compact-perturbation により $0$ で、下の prop-fred-composition により $\operatorname{ind}S+\operatorname{ind}T=0$ である。$\square$

要点：まず $ST$ が Fredholm であることを次元の数え上げで確かめ、次に $V\oplus W$ から $W\oplus X$ への作用素の族を回転で結び、cor-fred-homotopy で両端の指数を比べる（Tay18b 付録 A の命題 7.6（p. 47）の証明）。