条件付きの最大・最小

実数 $x$、$y$ が $x+y=1$ を満たすとき、$x^2+y^2$ の最小値を求める。
条件から $y=1-x$ である。$x$ はどんな実数でもよく、そのとき $y=1-x$ も実数になる。代入すると
$$ x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=2\left(x-\frac12\right)^2+\frac12 $$
である（平方完成。2次関数の最大・最小）。$x=\dfrac12$ のとき最小値 $\dfrac12$ をとり、そのとき $y=\dfrac12$ である。$x$ をいくらでも大きくできるので、最大値はない。

実数 $x$、$y$ が $x^2+y^2=1$ を満たすとき、$x+2y$ の最大値と最小値を求める。
点 $(x,y)$ は単位円の上にあるので、$x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$（$0\le\theta<2\pi$）と書ける。
$$ x+2y=\cos\theta+2\sin\theta=\sqrt5\sin(\theta+\varphi) $$
である。ここで $\varphi$ は $\cos\varphi=\dfrac2{\sqrt5}$、$\sin\varphi=\dfrac1{\sqrt5}$ を満たす角で、右辺は加法定理 $\sqrt5\sin(\theta+\varphi)=\sqrt5(\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi)=2\sin\theta+\cos\theta$ で確かめられる（三角関数の合成。加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）。$\sin(\theta+\varphi)$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとるので、最大値は $\sqrt5$、最小値は $-\sqrt5$ である。最大になるのは $\theta+\varphi=\dfrac\pi2$ のときで、$x=\cos\theta=\cos\left(\dfrac\pi2-\varphi\right)=\sin\varphi=\dfrac1{\sqrt5}$、$y=\sin\theta=\cos\varphi=\dfrac2{\sqrt5}$ である。

ex-cex-hs-b で、$k=\sqrt5$ のとき連立方程式 $x+2y=\sqrt5$、$x^2+y^2=1$ は実数解 $\left(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\right)$ をもつ（$\dfrac1{\sqrt5}+\dfrac4{\sqrt5}=\sqrt5$、$\dfrac15+\dfrac45=1$）。$k=3$ のときは、$x=3-2y$ を代入すると $(3-2y)^2+y^2=1$、つまり $5y^2-12y+8=0$ で、判別式は $144-160=-16<0$ なので実数解がない。よって $3$ は値ではない。

$x^2+y^2=1$ のもとで $y^2+4x$ の最大値と最小値を求める（図 2）。
段 1（消去と範囲）。条件から $y^2=1-x^2$ である。実数 $y$ が存在するには $1-x^2\ge0$、つまり $-1\le x\le1$ が必要で、逆にこの範囲の $x$ には $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ が存在する。代入すると
$$ y^2+4x=1-x^2+4x=-(x-2)^2+5 $$
で、$x$ の範囲は $-1\le x\le1$ である（ここでは $y$ の符号で 2 点が同じ $x$ に対応するが、$y^2+4x$ の値は $y$ の符号によらないので、prop-cex-elimination と同じ考え方が使える）。
段 2（1 変数の最大・最小）。$h(x)=-(x-2)^2+5$ のグラフは軸 $x=2$ の上に凸の放物線で、軸は区間 $-1\le x\le1$ の右外にある。区間では $x$ が大きいほど軸に近く、$h$ は増加する。最大値は $h(1)=4$（点 $(1,0)$）、最小値は $h(-1)=-4$（点 $(-1,0)$）である。

1. ex-cex-hs-b：$x+2y=k$、$x^2+y^2=1$。1 つ目から $x=k-2y$ で、実数 $y$ ごとに $x$ がただ 1 つ決まる。2 つ目に代入すると
   $$ (k-2y)^2+y^2=1\iff5y^2-4ky+k^2-1=0 $$
   である。$y^2$ の係数は $5\ne0$ で、判別式を $\Delta$ とすると
   $$ \frac\Delta4=(2k)^2-5(k^2-1)=5-k^2 $$
   である。$5-k^2\ge0$ から $-\sqrt5\le k\le\sqrt5$ で、最大値 $\sqrt5$、最小値 $-\sqrt5$ である。$k=\sqrt5$ のとき重解 $y=\dfrac{2k}5=\dfrac2{\sqrt5}$ で、$x=\sqrt5-\dfrac4{\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}$ である。
2. ex-cex-hs-a：$x^2+y^2=k$、$x+y=1$。$y=1-x$ を代入すると $2x^2-2x+1-k=0$ で、$\dfrac\Delta4=1-2(1-k)=2k-1$ である。$2k-1\ge0$ から $k\ge\dfrac12$ で、最小値は $\dfrac12$、最大値はない。

ex-cex-hs-a：$x+y=1$ のもとで $x^2+y^2$。
段 1（評価）。展開すると $2(x^2+y^2)-(x+y)^2=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\ge0$ なので、$x^2+y^2\ge\dfrac{(x+y)^2}2=\dfrac12$ である。
段 2（等号の点）。等号は $x-y=0$ のときで、$x+y=1$ と合わせて $x=y=\dfrac12$ である。この点は条件を満たし、値は $\dfrac12$ である。lem-cex-bound により最小値は $\dfrac12$ である。

ex-cex-hs-b：$x^2+y^2=1$ のもとで $x+2y$。
段 1（評価）。展開すると
$$ (1^2+2^2)(x^2+y^2)-(x+2y)^2=5x^2+5y^2-x^2-4xy-4y^2=4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2\ge0 $$
なので、$(x+2y)^2\le5(x^2+y^2)=5$、つまり $-\sqrt5\le x+2y\le\sqrt5$ である。これは 2 次元の Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学） の特別な場合である。
段 2（等号の点）。等号は $2x-y=0$ のときで、$x^2+y^2=1$ と合わせて $(x,y)=\pm\left(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\right)$ である。$+$ の点で $x+2y=\sqrt5$、$-$ の点で $-\sqrt5$ なので、最大値 $\sqrt5$、最小値 $-\sqrt5$ である。

$x>0$、$y>0$、$xy=4$ のもとで $x+4y$ の最小値を求める。
段 1（評価）。正の数 $a$、$b$ について $a+b\ge2\sqrt{ab}$（相加平均と相乗平均。差が $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ であることから出る）。$a=x$、$b=4y$ とすると
$$ x+4y\ge2\sqrt{4xy}=2\sqrt{16}=8 $$
である。
段 2（等号の点）。等号は $x=4y$ のときで、$xy=4$ に代入すると $4y^2=4$、$y>0$ から $y=1$、$x=4$ である。この点は条件を満たし、値は $8$ なので、最小値は $8$ である。

1. ex-cex-hs-b（図 1 の右）：$x+2y=k$ は直線で、$k$ を変えると平行に動く。直線と単位円が共有点をもつのは、原点と直線の距離 $\dfrac{|k|}{\sqrt5}$ が半径 $1$ 以下のとき（円と直線の位置関係）なので、$-\sqrt5\le k\le\sqrt5$ である。端の $k=\pm\sqrt5$ で直線は円に接する。
2. ex-cex-hs-a（図 1 の左）：$x^2+y^2=k$ は、$k>0$ なら原点を中心とする半径 $\sqrt k$ の円である。この円と直線 $x+y=1$ が共有点をもつのは、原点と直線の距離 $\dfrac{|-1|}{\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$ が半径 $\sqrt k$ 以下のとき、つまり $k\ge\dfrac12$ のときである（$k\le0$ では円は点か空集合で、直線上にない）。最小の $k=\dfrac12$ のとき、円は直線に点 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$（原点から下ろした垂線の足）で接する。

ex-cex-elimination で、$y^2=1-x^2$ を代入した $h(x)=-(x-2)^2+5$ の最大値を、$x$ の範囲を考えずに求めると、頂点の $x=2$ で $5$ となる。しかし $x=2$ のとき $y^2=1-4=-3$ で、実数 $y$ がない。条件 $x^2+y^2=1$ を満たす点で $y^2+4x=5$ となるものはなく、正しい最大値は $4$ である（図 2）。
満たさない仮定：残る文字の範囲を条件から求めて使うこと。崩れる主張：1 変数の関数 $h$ の（実数全体での）最大値が答えになること。prop-cex-elimination の $I$ を実数全体と取り違えると、$S$ の点に対応しない $x$ まで数えてしまう。

$x\ge0$、$y\ge0$、$x+y=1$ のもとで、$x^2+y^2$ の値の範囲を求める。
(1) 判別式だけを使うと、ex-cex-discriminant (2) と同じく $2x^2-2x+1-k=0$ で $k\ge\dfrac12$ となり、最大値はないように見える。
(2) しかし $x$ は $0\le x\le1$ に制限されている（$y=1-x\ge0$ から）。値の範囲は、2 次方程式が $0\le x\le1$ に解をもつ $k$ の範囲である。$h(x)=2x^2-2x+1=2\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac12$ は、$0\le x\le1$ で軸 $x=\dfrac12$ から最も遠い端 $x=0,1$ で最大値 $1$、軸で最小値 $\dfrac12$ をとる。値の範囲は $\dfrac12\le k\le1$ で、最大値は $1$（点 $(1,0)$ と $(0,1)$）である。
満たさない仮定：残る文字 $x$ が実数全体を動いてよいこと。崩れる主張：判別式 $\ge0$ だけで値の範囲が決まること。制限があるときは、決まった範囲に解をもつ条件（解の配置）を使うか、prop-cex-elimination に戻る。

$x\ge2$、$y\ge0$、$x+y=3$ のもとで、$xy$ の最大値を求める。
(1) 相加平均と相乗平均の関係から $xy\le\left(\dfrac{x+y}2\right)^2=\dfrac94$ である。しかし等号は $x=y=\dfrac32$ のときで、$x\ge2$ を満たさない。$\dfrac94$ は上界ではあるが、条件のもとでとられる値ではない。
(2) 正しくは、$y=3-x$ を代入して $xy=x(3-x)=-\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac94$ とし、$x$ の範囲 $2\le x\le3$（$y\ge0$ から $x\le3$）で考える。この範囲は軸 $x=\dfrac32$ の右にあるので $xy$ は減少し、最大値は $x=2$ での $2\cdot1=2$ である。
満たさない仮定：不等式の等号が成り立つ点が条件を満たすこと。崩れる主張：相加相乗平均で得た上界 $\dfrac94$ が最大値であること。lem-cex-bound の 2 が成り立たない例である。相加平均と相乗平均 にも、等号の点が範囲外になる例がある。

$xy=1$ のもとで $x+y$ を考える（図 3）。
段 1（接する $k$）。$x+y=k$ とおいて $y=k-x$ を代入すると $x^2-kx+1=0$ で、判別式は $k^2-4$ である。$k=\pm2$ のとき重解をもち、直線 $x+y=2$ は双曲線に点 $(1,1)$ で、$x+y=-2$ は点 $(-1,-1)$ で接する。
段 2（値の範囲）。$x=0$ は $xy=1$ を満たさないので、$y=k-x$ を代入した方程式の実数解 $x$ と連立方程式の解は 1 対 1 に対応する。prop-cex-discriminant により、値の範囲は $k^2-4\ge0$、つまり $k\le-2$ または $k\ge2$ である。$k$ はいくらでも大きく、いくらでも小さくできるので、最大値も最小値もない。
満たさない仮定：条件の曲線が有界であること（双曲線は遠くまで伸びる）。崩れる主張：最大値・最小値が存在し、それらは接するときの $k$ の中にあること。ここでは最大値も最小値もなく、接するときの $k=\pm2$ はどちらも最大・最小ではない。$k=2$ は、$x>0$ の側の枝だけに限ったときの最小値で、$k=-2$ は $x<0$ の側の枝だけに限ったときの最大値である。
逆に、曲線が有界でも、接するときの $k$ がすべて最大値か最小値になるわけではない。接するときの $k$ は候補にすぎない（ex-cex-two-circles。ex-cex-lagrange (2) の「必要条件」の注意と同じことである）。

条件 $(x^2+y^2-1)\bigl((x-5)^2+y^2-1\bigr)=0$ のもとで $f=x$ を考える。条件を満たす点の集合 $S$ は、原点を中心とする半径 $1$ の円と、点 $(5,0)$ を中心とする半径 $1$ の円を合わせたもので、有界である。
段 1（接する $k$）。等高線 $x=k$ は $y$ 軸に平行な直線である。$k=-1$、$1$ のとき 1 つ目の円に点 $(-1,0)$、$(1,0)$ で接し、$k=4$、$6$ のとき 2 つ目の円に点 $(4,0)$、$(6,0)$ で接する。
段 2（値の範囲）。1 つ目の円の点では $x^2\le x^2+y^2=1$ から $-1\le x\le1$、2 つ目の円の点では同じように $4\le x\le6$ である。逆に、$-1\le k\le1$ なら点 $\bigl(k,\sqrt{1-k^2}\bigr)$ が 1 つ目の円の上にあり、$4\le k\le6$ なら点 $\bigl(k,\sqrt{1-(k-5)^2}\bigr)$ が 2 つ目の円の上にある。よって値の範囲は $-1\le k\le1$ または $4\le k\le6$ で、最小値は $-1$、最大値は $6$ である。
段 3（接しても最大・最小でない $k$）。$k=1$ と $k=4$ では直線 $x=k$ が $S$ に接しているが、$1$ も $4$ も最大値でも最小値でもない。
この例は有界という仮定を満たしている。崩れる主張：接するときの $k$ は、どれも最大値か最小値であること。有界で成り立つのは、最大値と最小値が存在し、それらが接するときの $k$ の中にあることまでである（$f$、$g$ が多項式で、曲線がなめらかなとき。存在は大学で学ぶ最大値の定理により、接することは rem-cex-lagrange-general による。この記事では証明しない。この例では $-1$、$1$、$4$、$6$ の中に最小値 $-1$ と最大値 $6$ がある）。候補の中から、値を比べて選ぶ必要がある。

$f=x^3y+xy^2$ とする。$y$ を定数とみて $x$ で微分すると $f_x=3x^2y+y^2$、$x$ を定数とみて $y$ で微分すると $f_y=x^3+2xy$ である。

1. ex-cex-hs-b：$f=x+2y$ なので $f_x=1$、$f_y=2$ である。$1=2\lambda x$、$2=2\lambda y$ から $\lambda\ne0$ で、$x=\dfrac1{2\lambda}$、$y=\dfrac1\lambda$ である。$x^2+y^2=1$ に代入すると $\dfrac1{4\lambda^2}+\dfrac1{\lambda^2}=1$、$\lambda^2=\dfrac54$ で、候補は $\pm\left(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\right)$ の 2 点、値は $\pm\sqrt5$ である。単位円は有界で、$f$ は最大値と最小値をとる（ex-cex-hs-b で確かめた）ので、それらは候補の中にある。値を比べて、最大値 $\sqrt5$、最小値 $-\sqrt5$ である。最大の点では、直線 $x+2y=\sqrt5$ の法線ベクトル $(1,2)$ と円の法線ベクトル $\left(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\right)$ が $(1,2)=\sqrt5\left(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\right)$ と平行である（図 4）。
2. ex-cex-hyperbola：条件が円でないので thm-cex-circle-lagrange は使えないが、一般の場合の同じ条件（rem-cex-lagrange-general）を $f=x+y$、$g=xy-1$ に使うと、$(1,1)=\lambda(y,x)$ から $x=y$ で、$xy=1$ と合わせて候補は $(1,1)$、$(-1,-1)$ である。しかし ex-cex-hyperbola で見たとおり、どちらも最大・最小の点ではない。条件は必要条件であって、候補が最大・最小になることまでは保証しない。

$x^2+y^2=1$ のもとで $f=3x^2+2xy+3y^2$ の最大値と最小値を求める。
(1) 未定乗数：$f_x=6x+2y$、$f_y=2x+6y$ なので、thm-cex-circle-lagrange の条件は $6x+2y=2\lambda x$、$2x+6y=2\lambda y$、つまり
$$ \begin{pmatrix}3&1\\ 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$
である。$\lambda$ は係数を並べた行列の固有値で、$(x,y)$ は長さ $1$ の固有ベクトルである。$(3-\lambda)^2-1=0$ から $\lambda=4$ または $\lambda=2$ で、$\lambda=4$ のとき $(x,y)=\pm\dfrac1{\sqrt2}(1,1)$、$\lambda=2$ のとき $\pm\dfrac1{\sqrt2}(1,-1)$ である。値は、$\dfrac1{\sqrt2}(1,1)$ で $\dfrac32+1+\dfrac32=4$、$\dfrac1{\sqrt2}(1,-1)$ で $\dfrac32-1+\dfrac32=2$ である。候補の値を比べて、最大値 $4$、最小値 $2$ である。
(2) 確かめ：$x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ とすると $f=3(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta=3+\sin2\theta$ で、$2\le f\le4$ である。
最大値・最小値が、係数を並べた対称行列の固有値そのものになっている。条件のもとでの 2 次式の最大・最小と固有値の関係は、2 次曲線の軸を求める 2次曲線と2次形式 で使われる。